schiefsymmetrische Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:53 Mi 02.06.2004 | | Autor: | margarita |
Hi!
Ich bin neu hier und wollte dieses Forum mal ausprobieren.
Also, meine Frage ist folgende: A ist eine nxn schiefsymmetrische
Matrix. Ich muss beweisen, dass erstens I + A invertierbar ist und
zweitens (I - A)[(I+A)^-1] orthogonal ist. (wobei I die Einheitsmatrix).
Ich hoffe, meine Schreibweise ist verstaendlich.
Hat jemand einen Tip?
Danke schon mal...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Do 03.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo margarita!
Willkommen im Matheraum! ![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
Zunächst mal machen wir uns klar, dass eine schiefsymmetrische Matrix $A$ außer $0$ keine weiteren rellen Eigenwerte haben kann. Ist nämlich [mm] $\lambda$ [/mm] ein reeller Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor $v$, so folgt:
[mm]\lambda \Vert x \Vert^2 = = = = <-Ax,x> = - = -<\lambda x,x> = -\lambda \Vert x \Vert^2[/mm],
woraus wegen [mm] $\Vert x\Vert [/mm] >0$ die Behauptung folgt.
So, wenn aber doch $-1$ kein Eigenwert ist, dann ist in jedem Fall
[mm] $\det(A+I) [/mm] = [mm] \det(A-(-1)I) [/mm] = [mm] CP_A(-1) \ne [/mm] 0$,
d.h. $A+I$ ist invertierbar.
Hast du bis dahin alles verstanden? Wenn nicht, dann frage bitte nach. 
Den Nachweis der Orthogonalität kannst du ja zunächst einmal selber versuchen. Poste doch mal einen Vorschlag oder eine Idee. Wenn du nicht weiterkommst, dann meldest du dich einfach wieder. ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Julius,
vielen Dank fuer Deine Hilfe.
Ich konnte mir die Antwort erst jetzt durchschauen.
Es ist eine sehr elegante Loesung.
Was ich nicht verstanden habe ist folgendes.
Du hast geschrieben, dass:
det(A+I)=det(A-(-1)I) = CP(-1) != 0.
Was ist hier C?
Das mit der Orthogonalitaet schau ich mir jetzt gleich nochmal an.
Wenn ich nich weiter komme, melde ich mich wieder.
Vielen Dank nochmal.
Viele Gruesse, margarita
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:50 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo margarita,
> Was ich nicht verstanden habe ist folgendes.
> Du hast geschrieben, dass:
> det(A+I)=det(A-(-1)I) = CP(-1) != 0.
> Was ist hier C?
Mit [mm] $CP_A$ [/mm] meinte Julius das charakteristische Polynom, und mit [mm] $CP_A(-1)$ [/mm] dann das charakteristische Polynom, in das der Wert -1 eingesetzt wird.
Viele Grüße,
Marc
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