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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - rekursive funktion
rekursive funktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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rekursive funktion: problem beim beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Sa 17.11.2007
Autor: JROppenheimer

Aufgabe
[mm] T(n)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } n = 2 \\ 2T(\bruch{^n}{2})+n, & \mbox{für } n = 2^{k} , k > 1 \end{cases} [/mm]

Zeige per Induktion, dass wenn n eine Potenz von 2, also n = [mm] 2^{k} \Rightarrow [/mm] T(n) = n [mm] log_{2} [/mm] n

Annahme:
[mm] T(2^{k}) [/mm] = n [mm] log_{2}n [/mm]

Induktionsbeginn:
Sei k = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] n = [mm] 2^{1} [/mm] = 2 [mm] \Rightarrow [/mm] T(2) = 2 = 2 [mm] log_{2}2 [/mm] = n [mm] log_{2} [/mm] n

Induktionsschritt:
k [mm] \mapsto [/mm] k+1
[mm] T(2^{k+1}) [/mm] = [mm] 2T(2^{k})+2^{k+1} [/mm] nach Definition von T(n)
Nach Annahme gilt [mm] T(2^{k}) [/mm] = [mm] 2^{k} log_{2}2^{k} [/mm]

[mm] \Rightarrow 2T(2^{k}) [/mm] + [mm] 2^{k+1} [/mm] = [mm] 2*2^{k} log_{2}2^{k} [/mm] + [mm] 2^{k+1} [/mm] = [mm] 2^{k+1}log_{2}2^{k}+2^{k+1}*log_{2}2 [/mm] = [mm] 2^{k+1}(log_{2}2^{k} [/mm] + [mm] log_{2}2) [/mm] = [mm] 2^{k+1}*log_{2}(2^{k}*2) [/mm] = [mm] 2^{k+1}*log_{2}2^{k+1} [/mm] = [mm] n*log_{2}n \Box [/mm]
w.z.b.w. (was zu befürchten war!)

Und ich dachte schon ich wäre doof!

Mit der richtigen Funktion ist das natürlich viel einfacher zu beweisen!

Danke, Gruß, und sorry für die Fehler :D

        
Bezug
rekursive funktion: Umformung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 So 18.11.2007
Autor: Loddar

Hallo JROppenheimer!


Aus $n \ = \ [mm] 2^k$ [/mm] folgt doch $k \ = \ [mm] \log_{2}(n) [/mm] $ . Setze dies mal in Deinen Induktionsschritt ein.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
rekursive funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:54 So 18.11.2007
Autor: JROppenheimer

Im Induktionsschritt arbeite ich aber doch mit n = k+1. Bzw. ich wüsste jetzt nicht genau an welcher Stelle, ich das verwenden sollte...

Könntest Du das ETWAS genauer beschreiben?

Musst es nicht lösen, aber wäre nett, wenn Du mir noch ein bisschen auf die Sprünge helfen könntest.

Danke!

Bezug
        
Bezug
rekursive funktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:10 Mo 19.11.2007
Autor: JROppenheimer

Ich hab gerade mal bissie rumprobiert, aber irgendwie geht das bei mir auch nicht auf mit dem n log n

gegeben ist die reurssive Funktion:

$ [mm] T(n)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } n = 2 \\ 2T(\bruch{^n}{2}), & \mbox{für } n = 2^{k} , k > 1 \end{cases} [/mm] $

okay....schrittweise:

T(2) = 2
T(4) = 2T(2) = 4
T(8) = 2T(4) = 8
.
.
.

oder steh ich gerade so krass aufm schlauch?!

Bezug
                
Bezug
rekursive funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:12 Mo 19.11.2007
Autor: JROppenheimer

*räusper .... mir ist ein schwerwiegender Fehler unterlaufen .... die rekursive Funktion lautet anders....

$ [mm] T(n)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } n = 2 \\ 2T(\bruch{^n}{2})+n, & \mbox{für } n = 2^{k} , k > 1 \end{cases} [/mm] $

Ich hoffe ihr könnt mir verzeihen ... ich fang noch mal von vorn an!

Bezug
                        
Bezug
rekursive funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:31 Mo 19.11.2007
Autor: Karl_Pech

Hallo JROppenheimer,


Folgende Aufgabe ist deiner ähnlich.



Viele Grüße
Karl




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