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logarithmus: frage zu einem beispiel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Mo 21.03.2005
Autor: fidelio

hallo und schönen abend!

ich habe da ein beispiel zu rechnen und dachte eigentlich es wäre richtig gewesen - jetzt habe ich es zurückbekommen mit der bemerkung lösung viel einfacher und zu der gleichung eine umwandlung mit der ich nichts anfangen kann!

ursprüngliches beispiel:

[mm] 5\*7^{x+1}+7\*5^{x+2}=5\*7^{x+2}-7\*5^{x+1} [/mm]

lehrer hat darunter geschrieben:

[mm] 7\*5^{x+1}\*(5+1)=5\*7^{x+2}\*(7-1) [/mm]

ich habe bei meinem ansatz einfach alles auslogarithmiert und am ende einen wert für x bekommen.

deffinitionsmenge [mm] D={\in\IR\wedgex>-1} [/mm]

vieleicht kann mir jemande helfen und hat eine idee zu der ominösen gleichung vom lehrer!

ich danke schon im voraus und gruß
fidelio

        
Bezug
logarithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:30 Di 22.03.2005
Autor: Dude

Hallo Fidelio,

Du kannst die ursprüngliche Funktion folgendermaßen umwandeln

[mm] 5*7^{x+1}+7*5^{x+2}=5*7^{x+2}-7*5^{x+1} [/mm]  
Zuerst werden die einzelnen Summanden entsprechend der Basis geordnet.

[mm] 7*5^{x+2}+7*5^{x+1}=5*7^{x+2}-5*7^{x+1} [/mm]
Danach werden die höheren Potenzen um eins verringert ( [mm] a^{x+2}=a^{x+1}*a) [/mm]

[mm] 7*5^{x+1}*5+7*5^{x+1}=5*7^{x+1}*7-5*7^{x+1} [/mm]
Jetzt kann die Basis ausgeklammert werden.

[mm] 7*5^{x+1}*(5+1)=5*7^{x+1}*(7-1) [/mm]
Da in beiden Klammern 6 steht kansst du diese wegkürzen. Auf beiden Seiten wird die Potenz nochmals um 1 verringert.

[mm] 7*5^{x}*5=5*7^{x}*7 [/mm]
Die ganze Gleichung kann jetzt nochmal durch 5*7 geteilt werden.

[mm] 5^x=7^x [/mm]

Von hier aus kann x durch logarithmieren bestimmt werden.

Gruß,

Dude
Bezug
        
Bezug
logarithmus: danke für info
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:42 Di 22.03.2005
Autor: fidelio

hallo dude,
danke für die erklärung!

jetzt sehe ich auch was der lehrer meinte!

danke und schönen tag
fidelio
Bezug
        
Bezug
logarithmus: lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:20 Di 22.03.2005
Autor: fidelio

hallo dude,

ich hätte da als lösung dann:

[mm] x=\bruch{lg7}{lg5} [/mm]

damit erhalte ich für x den wert x=1,21

hast du dieses ergebnis auch bekommen?

danke für info
gruß
fidelio
Bezug
                
Bezug
logarithmus: Leider falsch ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Di 22.03.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Stephan!


> [mm]x=\bruch{lg7}{lg5}[/mm]
> damit erhalte ich für x den wert x=1,21

[notok] Das ist leider falsch ...


Ihr wart ja angekommen bei:

[mm] $5^x [/mm] \ = \ [mm] 7^x$ [/mm]

Nun auf beiden Seiten logarithmieren:
[mm] $\lg\left(5^x\right) [/mm] \ = \ [mm] \lg\left(7^x\right)$ [/mm]

MBLogarithmusgesetz anwenden:
$x * [mm] \lg(5) [/mm] \ = \ x * [mm] \lg(7)$ [/mm]     $| \ - x * [mm] \lg(5)$ [/mm]

$0 \ = \ x * [mm] \lg(7) [/mm] - x * [mm] \lg(5) [/mm] \ = \ x * [mm] \left[\lg(7) - \lg(5)\right]$ [/mm]     $| \ : \ [mm] \left[\lg(7) - \lg(5)\right] [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$

$0 \ = \ x$


Nun klar(er) ?


Du kannst Dein errechnetes Ergebnis ja auch schnell überprüfen, indem Du es in Deine Ausgangsgleichung einsetzt ...


Grüße
Loddar

Bezug
                        
Bezug
logarithmus: dort war ich auch schon....
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:02 Di 22.03.2005
Autor: fidelio

hallo thorsten,


bei dieser lösung war ich auch und dann ist mir was komisches bei der probe rausgekommen......unsicherheit und den rest kennst du dann ja schon....


x=0 war für mich irgendwie kein wirkliches ergebnis!

danke jedenfalls
gruß
stephan
Bezug
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