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kan. rat. Form und Jord. NF: Aufgabenhilfe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:09 So 09.05.2010
Autor: Ultio

Aufgabe
Bestimmen Sie die kanonisch rationale Form über [mm] \IR [/mm] und die Jordansche Normalform über [mm] \IC [/mm] der Matrix
[mm] \pmat{ -2&5 &-1 &0&6&2 \\ -1& 2 &0 &0&0&1\\ 0& 0 &0&-1&0&-4\\ 0& 0 &0 &0&1&0\\ 0& 0& 0&0&0&-1\\ 0&0 &-1&0&6&0} [/mm]
und die zugehörigen Transformationsmatrzen.

Hallöchen,
wollte mal fragen ob mir jemand bei der Suche nach einer geeigneten Basis für die Transformationsmatrizen zu helfen.
Danke an alle, die mir so bereitwillig helfen.
Lösung:
charpol(A)= [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^3 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Eigenwerte [mm] x_1 [/mm] = i und [mm] x_2 [/mm] = -i
[mm] \Rightarrow [/mm] Eigenvektoren zum Eigenwert x= i: [mm] v_1=\vektor{2-i\\1\\0\\0\\0\\0} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{-0,2 i\\0\\1\\-0,2 i\\0,2\\-0,2 i} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Eigenvektoren zum Eigenwert x= -i: [mm] v_1=\vektor{2+i\\1\\0\\0\\0\\0} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{0,2 i\\0\\1\\0,2 i\\0,2\\0,2 i} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]  1 mal einen 4x4 und 1 mal einen 2x2 Block
[mm] Rg(A^2-E)=2 [/mm]
[mm] Rg((A^2-E)^2)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Minimalpolynom [mm] m_{A}(x)= (x^2+1)^2 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]  Minimalpolynom [mm] m_{Block1}(x)= (x^2+1)^2 [/mm] und  Minimalpolynom [mm] m_{Block2}(x)= (x^2+1) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
kanonisch rationale Form Q= [mm] \pmat{0&0&0&-1&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&1&0&-1&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&1&0} [/mm]

[mm] ker(A^2-E) [/mm] = < [mm] e_1, e_2, \vektor{0\\0\\0\\1\\0\\1}, \vektor{0\\0\\1\\0\\5\\0} [/mm] >

[mm] b_1= e_3 [/mm]
[mm] b_2=Ab_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1\\0\\0\\0\\0\\-1} [/mm]
[mm] b_3=A^2b_1=Ab_2= \vektor{0\\0\\4\\0\\1\\0} [/mm]
[mm] b_4=A^3b_1=...= \vektor{2\\0\\0\\1\\0\\2} [/mm]
[mm] b_5 [/mm] kann als [mm] e_5 [/mm] oder [mm] e_6 [/mm] gewählt werden und
infolge dessen [mm] b_6 [/mm] = [mm] Ab_5 [/mm]
aber irgendwie komme ich auf keine Lösung die richtig ist, wo ist denn meine Fehler?

So nun zur Jordanschen Normalform:
ich habe für jeden Eigenwert zwei Eigenvektoren also insgesamt vier Blöcke
zu i gibt es einen 2x2 und einen 1x1 block
zu -i genauso
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] J=\pmat{i&0&0&0&0&0\\0&i&0&0&0&0\\0&1&i&0&0&0\\0&0&0&-i&0&0\\0&0&0&1&-i&0\\0&0&0&0&0&-i} [/mm]
und wie erhalte ich hier diese Transformationsmatrix?

Vielen Dank.
Gruß
Felix

        
Bezug
kan. rat. Form und Jord. NF: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mi 12.05.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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