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| Aufgabe | | Es ist zu bestimmen, für welche Punkte [mm] (x_{0},y_{0}) [/mm] die Gleichung F(x,y) = 0 mit F(x,y) = [mm] (x^{2}+y^{2}-1)^{3} [/mm] + [mm] 27x^{2}y^{2} [/mm] lokal nach y auflösbar ist. |
Ich habe das Beispiel wie folgt gelöst: Berechnungen mit Mathematica ergeben eine Lösungsmenge, die aus (numerischen) Werten besteht. Nun scheiden aber die Punkte (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0) aus, da es in diesen Punkten keine (bzw. zumindest keine eindeutige) lokale Auflösung nach y gibt. Von den anderen Punkten habe ich einen exemplarisch ausgewählt und für diesen mithilfe eines Satzes nachgeprüft, ob die Gleichung dort nach y auflösbar ist.
Nun meine Frage: Mich irritiert das rein numerische Lösungsverfahren am Beginn des Beispiels ein wenig; aber m.E. gibt es keine andere Möglichkeit, die Punkte zu bestimmen.
Ich freue mich auf Kommentare und Anregungen zu meiner Lösung,
lg Georg
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> Es ist zu bestimmen, für welche Punkte [mm](x_{0},y_{0})[/mm] die
> Gleichung F(x,y) = 0 mit F(x,y) = [mm](x^{2}+y^{2}-1)^{3}[/mm] +
> [mm]27x^{2}y^{2}[/mm] lokal nach y auflösbar ist.
> Ich habe das Beispiel wie folgt gelöst: Berechnungen mit
> Mathematica ergeben eine Lösungsmenge, die aus
> (numerischen) Werten besteht. Nun scheiden aber die Punkte
> (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0) aus, da es in diesen Punkten
> keine (bzw. zumindest keine eindeutige) lokale Auflösung
> nach y gibt. Von den anderen Punkten habe ich einen
> exemplarisch ausgewählt und für diesen mithilfe eines
> Satzes nachgeprüft, ob die Gleichung dort nach y
> auflösbar ist.
>
> Nun meine Frage: Mich irritiert das rein numerische
> Lösungsverfahren am Beginn des Beispiels ein wenig; aber
> m.E. gibt es keine andere Möglichkeit, die Punkte zu
> bestimmen.
Hallo,
das soll man mithilfe des ![[]](/images/popup.gif) Satzes von der impliziten Funktion (für Fred: über implizit definierte Funktionen) machen.
Du mußt dann schauen, für welche [mm] (x_0, y_0) [/mm] mit [mm] F(x_0, y_0)=0 [/mm] die fragliche Matrix invertierbar ist.
In diesen Punkten ist die Funktion lokal nach y auflösbar.
Die verbleibenden Punkte müssen einzeln untersucht werden auf lok. Auflösbarkeit.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Fr 27.05.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > Es ist zu bestimmen, für welche Punkte [mm](x_{0},y_{0})[/mm] die
> > Gleichung F(x,y) = 0 mit F(x,y) = [mm](x^{2}+y^{2}-1)^{3}[/mm] +
> > [mm]27x^{2}y^{2}[/mm] lokal nach y auflösbar ist.
> > Ich habe das Beispiel wie folgt gelöst: Berechnungen
> mit
> > Mathematica ergeben eine Lösungsmenge, die aus
> > (numerischen) Werten besteht. Nun scheiden aber die Punkte
> > (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0) aus, da es in diesen Punkten
> > keine (bzw. zumindest keine eindeutige) lokale Auflösung
> > nach y gibt. Von den anderen Punkten habe ich einen
> > exemplarisch ausgewählt und für diesen mithilfe eines
> > Satzes nachgeprüft, ob die Gleichung dort nach y
> > auflösbar ist.
> >
> > Nun meine Frage: Mich irritiert das rein numerische
> > Lösungsverfahren am Beginn des Beispiels ein wenig; aber
> > m.E. gibt es keine andere Möglichkeit, die Punkte zu
> > bestimmen.
>
> Hallo,
>
> das soll man mithilfe des
> Satzes von der impliziten Funktion
> (für Fred: über implizit definierte Funktionen)
Hallo Angela,
schön , dass wenigstens Du mich verstehst. Heute sind die Temperaturen aber kühl und hoffentlich werden morgen die Preise wieder billiger.
Gruß FRED
> machen.
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> Du mußt dann schauen, für welche [mm](x_0, y_0)[/mm] mit [mm]F(x_0, y_0)=0[/mm]
> die fragliche Matrix invertierbar ist.
> In diesen Punkten ist die Funktion lokal nach y
> auflösbar.
>
> Die verbleibenden Punkte müssen einzeln untersucht werden
> auf lok. Auflösbarkeit.
>
> Gruß v. Angela
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Vorerst einmal herzlichen Dank für eure Vorschläge!
Der Satz über implizite Funktionen ist mir natürlich bekannt. Das Problem ist eben nur, dass es ziemlich viele Punkte gibt, welche die Gleichung f(x0,y0) = 0 erfüllen 
man müsste ja eigentlich alle diese Punkte bezüglich der inversen Matrix testen, um eine vollständige Lösung des Problems zu erhalten - das ist der Kern der Frage, die ich mir stelle!
lg Georg
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> Vorerst einmal herzlichen Dank für eure Vorschläge!
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> Der Satz über implizite Funktionen ist mir natürlich
> bekannt. Das Problem ist eben nur, dass es ziemlich viele
> Punkte gibt, welche die Gleichung f(x0,y0) = 0 erfüllen
>
> man müsste ja eigentlich alle diese Punkte bezüglich der
> inversen Matrix testen, um eine vollständige Lösung des
> Problems zu erhalten - das ist der Kern der Frage, die ich
> mir stelle!
Hallo,
wie sieht denn Deine Matrix aus?
Mir scheint das Problem nicht sehr umfangreich zu sein.
Gruß v. Angela
>
> lg Georg
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Meinst Du die Teilmatrix [mm] \bruch{\partial F}{\partial y} [/mm] ?
Das Problem, das ich sehe, ist nur Folgendes: Die Überprüfung der Invertierbarkeit dieser Matrix ist ja lediglich eine der Voraussetzungen für die Anwendung des Satzes - das heißt aber nicht, dass es außer den Punkten, für die die Matrix invertierbar ist, nicht noch weitere geben kann, die man eben gesondert betrachten muss, wie Du geschrieben hast!
Oder sehe ich hier etwas nicht richtig?
lg Georg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Sa 28.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Meinst Du die Teilmatrix [mm]\bruch{\partial F}{\partial y}[/mm] ?
> Das Problem, das ich sehe, ist nur Folgendes: Die
> Überprüfung der Invertierbarkeit dieser Matrix ist ja
> lediglich eine der Voraussetzungen für die Anwendung des
> Satzes - das heißt aber nicht, dass es außer den Punkten,
> für die die Matrix invertierbar ist, nicht noch weitere
> geben kann, die man eben gesondert betrachten muss, wie Du
> geschrieben hast!
> Oder sehe ich hier etwas nicht richtig?
Doch, das siehst Du richtig. Hoffentlich der Aufgabensteller auch
FRED
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> lg Georg
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