goniometrische gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Mo 17.01.2005 | | Autor: | fidelio |
hallo und guten morgen!
ich soll folgende goniometrische gleichungen lösen und habe dabei einige problem!
1.) cos(x/2)=0,2
das ist aus meiner sicht ja noch in seiner form für mich klar.
es handelt sich hierbei um eine cosinusfunktion (cos(X/2) und einer geraden im abstand von 0,2 zur x-Achse die parallel zu einander verlaufen (x-achse und gerade)
Kosinus (A=1, b=1/2)
Gerade = o,2
cos(1/2x)=0,2
1/2x=arccos0,2
[mm] x=2\*arccos0,2
[/mm]
das würde dan für [mm] x_{1}=156,93° [/mm] und für [mm] x_{2}=180°-x_{1}=23,07° ergeben\Rightarrow
[/mm]
[mm] x_{1,k}=156,93°+k\*180 [/mm] oder [mm] x_{1,k}=2,739+k\*\pi
[/mm]
[mm] x_{2,k}=23,07°+k\*180 [/mm] oder [mm] x_{2,k}=0,403+k\*\pi
[/mm]
nun meine frage dazu ist habe ich das irgendwie auch nur ansatzmäßig richtig gemacht!?
2.)sin(2x)-4.cos(2x)=0
ich gehe davon aus, daß es sich hierbei um eine summenfunktion der beiden funktionen
[mm] f_{1}:y=sin(2x)=\pi
[/mm]
[mm] f_{2}:y=-4.cos(2x) [/mm] .......hierzu meine frage was ist cos(2x) wenn ich einen graphen zeichne über eine wertetabelle dann ist das genauso wie sin(2x) nur um einen betrag nach links auf der x-achse verschoben.
das -4 vor dem cosinus sagt ja nur aus, daß die kurve im bereich der y-achse bei -4 die y-achse kreuzt.
wenn ich nun versuche die gleichungen ähnlich zu lösen wie bei meinem ersten beispiel ......ja dann hängt es mich auf.....
und von meinem letzten beispiel mit der funktion 2sin²x+3cosx-3=0 will ich gleich gar nicht mehr draufkommen was da abläuft!
nun ich hoffe das eines der genies hier mir einen oder mehrer tips geben kann diese 3 (spanischen dörfer) für mich zu erobern!
danke im voraus für eure mühe
und gruß aus österreich fidelio
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Hallo fidelio,
der "Trick" bei (2.) ist, die Gleichung durch cos(2x) zu dividieren,
bei (3.) verwende sin²x + cos²x = 1
dann
entsteht für die Unbekannte cos(x) eine quadratische Gleichung.
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Hallo fidelio,
> ich soll folgende goniometrische gleichungen lösen und habe
> dabei einige problem!
>
> 1.) cos(x/2)=0,2
>
> das ist aus meiner sicht ja noch in seiner form für mich
> klar.
> es handelt sich hierbei um eine cosinusfunktion (cos(X/2)
> und einer geraden im abstand von 0,2 zur x-Achse die
> parallel zu einander verlaufen (x-achse und gerade)
>
> Kosinus (A=1, b=1/2)
> Gerade = o,2
>
> cos(1/2x)=0,2
> 1/2x=arccos0,2
> [mm]x=2\*arccos0,2
[/mm]
>
> das würde dan für [mm]x_{1}=156,93°[/mm] und für
> [mm]x_{2}=180°-x_{1}=23,07° ergeben\Rightarrow
[/mm]
>
> [mm]x_{1,k}=156,93°+k\*180[/mm] oder [mm]x_{1,k}=2,739+k\*\pi
[/mm]
> [mm]x_{2,k}=23,07°+k\*180[/mm] oder [mm]x_{2,k}=0,403+k\*\pi
[/mm]
> nun meine frage dazu ist habe ich das irgendwie auch nur
> ansatzmäßig richtig gemacht!?
Im Prinzip ja, aber die Periode ist jetzt nicht mehr [mm] 2\pi, [/mm] sondern [mm] 4\pi!
[/mm]
Das solltest du bei den wiederholten Schnittstellen/Lösungen beachten!
Ich habe heute einiges zu den  Winkelfunktionen zusammengestellt; es passt zwar nicht zu diesen Aufgaben, aber vielleicht hilft's dir dennoch.
> 2.)sin(2x)-4.cos(2x)=0
so sieht der Graph aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
schnell zeichnen kannst du solche Funktionen mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot,
dann kannst du dir leicht einen Überblick verschaffen.
> ich gehe davon aus, daß es sich hierbei um eine
> summenfunktion der beiden funktionen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]f_{1}:y=sin(2x)=\pi[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
warum [mm] \pi [/mm] ??
> [mm]f_{2}:y=-4.cos(2x)[/mm] .......hierzu meine frage was ist
> cos(2x) wenn ich einen graphen zeichne über eine
> wertetabelle dann ist das genauso wie sin(2x) nur um einen
> betrag nach links auf der x-achse verschoben.
> das -4 vor dem cosinus sagt ja nur aus, daß die kurve im
> bereich der y-achse bei -4 die y-achse kreuzt.
ja, der Graph wird um Faktor 4 gestreckt [mm] \gdw [/mm] alle Funktionswerte werden mit 4 multipliziert.
Der Faktor vor dem x verändert die Periode (siehe oben!).
> wenn ich nun versuche die gleichungen ähnlich zu lösen wie
> bei meinem ersten beispiel ......ja dann hängt es mich
> auf.....
[mm] $\sin(2x)-4*\cos(2x)=0$ [/mm] | : $ [mm] \cos(2x) [/mm] $
[mm] $\bruch{\sin 2x}{\cos 2x}-4 [/mm] = [mm] \tan [/mm] 2x -4=0$ [mm] \Rightarrow $\tan [/mm] 2x = 4$
$x = 0,5 * [mm] \arctan(4) \approx [/mm] 0.6629088318$
> und von meinem letzten beispiel mit der funktion
> 2sin²x+3cosx-3=0 will ich gleich gar nicht mehr draufkommen
> was da abläuft!
Dazu muss man wissen, dass [mm] $\sin^2 [/mm] x + [mm] \cos^2 [/mm] x = 1$ gilt! (siehe Winkelfunktion)
Das hat Friedrich Laher gemeint in der anderen Antwort.
Damit erhältst du:
[mm] $2\sin^2 x+3*\cos [/mm] x - 3 = [mm] 2(1-\cos^2 [/mm] x)+ [mm] 3*\cos [/mm] x - 3 = 0$
setze: $z = [mm] \cos [/mm] x$
$2 - [mm] 2z^2 [/mm] + 3 z - 3 = 0$
Das ist jetzt eine quadratische Gleichung, die du bestimmt allein lösen kannst.
> nun ich hoffe das eines der genies hier mir einen oder
> mehrer tips geben kann diese 3 (spanischen dörfer) für mich
> zu erobern!
>
> danke im voraus für eure mühe
>
> und gruß aus österreich fidelio
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mo 17.01.2005 | | Autor: | fidelio |
hallo herr laher hallo informix!
danke für die informationen!
das zweite beispiel habe ich mit der information von herrn lahner lösen können.
es kommt für:
[mm] x_{1,k}=37,98°+k\*180 \vee x_{1,k}=0,663+k\*\pi [/mm] (rad)
[mm] x_{2,k}=142,02°+k\*180 \vee x_{2,k}=2,479+k\pi [/mm] (rad)
beim letzten beispiel verstehe ich nicht wie die auflösung der formel sin²x+cos²x=1 in die gleichung eingesetzt werden soll.
ich verstehe nicht das endergebnis welches dann die quadratische gleichung ergibt. abschreiben kann ich es ja und auch die quadratische gleichung mit der formel p/q lösen sollte kein problem sein aber ich möchte den zusammenhang verstehen.
danke für den link zu funkyplot - habe mir den schon geladen wie ich mit meinem "steckenpferd" winkelfunktionen begonnen habe
danke für info und gruß
stephan
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nochmal ausführlicher:
> und von meinem letzten beispiel mit der funktion
> 2sin²x+3cosx-3=0 will ich gleich gar nicht mehr draufkommen
> was da abläuft!
Dazu muss man wissen, dass $ [mm] \sin^2 [/mm] x + [mm] \cos^2 [/mm] x = 1 $ gilt!
[mm] \Rightarrow $\sin^2 [/mm] = 1 - [mm] \cos^2 [/mm] x$
Damit erhältst du:
$ [mm] 2\sin^2 x+3\cdot{}\cos [/mm] x - 3 = [mm] 2(1-\cos^2 [/mm] x)+ [mm] 3\cdot{}\cos [/mm] x - 3 = 0 $
Jetzt wird substituiert: das heißt, man setzt eine kürzere Variable für einen längeren Term ein:
setze: $ z = [mm] \cos [/mm] x $
$ 2 - [mm] 2z^2 [/mm] + 3 z - 3 = 0 $
Das ist jetzt eine quadratische Gleichung, die du bestimmt allein lösen kannst.
Und schon sieht die Gleichung doch viel einfacher und übersichtlicher aus 
[mm] $2z^2 [/mm] + 3z -1 = 0$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] z^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}z [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 0$
mit PQFormel berechnest du z: verbessert!
$z = - [mm] \bruch{3}{2*2} \pm \sqrt{(-\bruch{3}{2*2})^2 - (-\bruch{1}{2})}$
[/mm]
$z = - [mm] \bruch{3}{4} \pm \sqrt{\bruch{9}{16}+\bruch{1}{2}}$
[/mm]
$z = - [mm] \bruch{3}{4} \pm \sqrt{\bruch{17}{16}}$
[/mm]
Jetzt musst natürlich noch die Substitution rückgängig machen: $z = [mm] \cos [/mm] x$
alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mo 17.01.2005 | | Autor: | fidelio |
hi,
jetzt ist es mir auch klar - die goniometrische formel sin²x+cos²x = 1 habe ich gestern abend auch in meinen unterlagen gefunden und auch verstanden - aber da in der goniometrie ja die beziehungen zwischen kreisfunktionen behandelt werden hatte ich keinen "dunst" davon wie ich diese formel richtig einsetzen soll.
übrigens das zweite beispiel habe ich gestern am abend schon gelöst gehabt - doch war die unsicherheit größer als der glaube an mein wissen!
danke schön
gruß
aus österreich
stephan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mo 17.01.2005 | | Autor: | fidelio |
hallo informix,
sorry, daß ich dich nochmals dazu "quälen" muß, aber wenn ich die quadratischen gleichung durch 2 dividiere, dann erhalte ich doch für den letzten wert in der gleichung -1/2 !? oder?
wenn ich nun in die formel [mm] z=-p/2\pm\wurzel{p²/4-q}
[/mm]
bei mir sieht die formel dann wie folgt aus:
[mm] z=-3/4\pm\wurzel{9/16+1/2}
[/mm]
[mm] z=-3/4\pm\wurzel{17/16}
[/mm]
kann das sein!?
bitte um info
danke und gruß
stephan
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Hallo Stephan,
du hast recht, ich habemich im Zahlengewusel vertippt.
Aber mein erstes "Ergebnis" ging so glatt auf und war so "schön "
> hallo informix,
>
> sorry, daß ich dich nochmals dazu "quälen" muß, aber wenn
> ich die quadratischen gleichung durch 2 dividiere, dann
> erhalte ich doch für den letzten wert in der gleichung -1/2
> !? oder?
>
> wenn ich nun in die formel [mm]z=-p/2\pm\wurzel{p²/4-q}
[/mm]
>
> bei mir sieht die formel dann wie folgt aus:
>
> [mm]z=-3/4\pm\wurzel{9/16+1/2} [/mm]
> [mm]z=-3/4\pm\wurzel{17/16} [/mm]
>
> kann das sein!?
> bitte um info
> danke und gruß
> stephan
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mo 17.01.2005 | | Autor: | fidelio |
... ich habe jetzt leider keine ganze zahl im ergebnis wie in deinen berechnngen sondern leider bleibt mir die wurzel stehen:
[mm] z_{1}=-3/4+\wurzel{17}/4
[/mm]
[mm] z_{2}=-3/4-\wurzel{17}/4
[/mm]
[mm] z_{1} [/mm] für cosx eingesetzt ergibt:
[mm] 2\*(1+(-3/4+\wurzel{17}/4)²)+3\*(-3/4+\wurzel{17}/4)
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] für cosx eingesetzt ergibt:
[mm] 2\*(1+(-3/4-\wurzel{17}/4)²)+3\*(-3/4-\wurzel{17}/4)
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] ich bekomme dann eigentlich [mm] x_1; x_2; x_3; x_4 [/mm] als werte....oder
ich hoffe das ist so richtig.......
mathe macht ja doch spaß....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Mo 17.01.2005 | | Autor: | fidelio |
....ich meinte eigentlich die probe, denn das andere hatte ich schon gerechnet.....
ich glaube ich habe nun etwas mehr verständnis für dieses ganze "zeugs" mit den winkelfunktionen als zu der zeit als ich noch zur schule gehen durfte...... ist ja doch schon zwanzig jahre her als ich abitur machte!
wie auch immer ....danke für die super erklärungen und auskünfte.... so macht glaube ich jedem mathe spaß 
gruß aus österreich stephan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mo 17.01.2005 | | Autor: | fidelio |
hallo informix,
noch eine frage zum ersten beispiel: warum ist die periode [mm] 4\*\pi [/mm] und nicht [mm] 2\*\pi
[/mm]
ich verstehe das nicht auch wenn ich mir den plot des grapfen anschaue verstehe komme ich nicht auf die [mm] 4\*\pi
[/mm]
danke für die wie immer sehr geschätze info
gruß
stephan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Fuechsin |
hallo informix!(und an alle anderen natürlich auch ein fröhliches "Hallo"!)
mensch, deine tipps und links sind echt INFORMativ, also diese seite, wo man diesen funkyplot runterladen kann, das ist ja klasse!
ich hab nämlich auch gerade in mathe die trigonometrischen winkelfunktionen und -gleichungen und mit diesem kleinen programm kann man ja super vergleichen, ob man die auch richtg zeichnet und so! echt klasse! also muss ich auch ma danke sagen, für deine wertvollen tipps, sind ja auch noch viele andere hier, die einem immer richtig gut helfen, aber dieser link, den fand ich gerade einfach ma gut, deshalb musste ich das jetzt unbedingt mal sagen!! *grins*
viele grüße an alle, und einen schönen abend noch!
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