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Hallo!
Habe hier hier eine Aufgaben. Ich soll die Aussage mit vollständiger Induktion beweisen und komme leider nicht weiter. Für n=1 ist alles klar. Nur im zweiten Schritt komme ich da irgendwie nicht weiter.
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
Sind [mm] x_1,...,x_n [/mm] positive reelle Zahlen, so ist
[mm] (\summe_{k=1}^{N} x_k)*(\summe_{k=1}^{N} \bruch{1}{x_k} )\ge n^2
[/mm]
Will es jetzt für n+1 zeigen:
[mm] (\summe_{k=1}^{N+1} x_k)*(\summe_{k=1}^{N+1} \bruch{1}{x_k})\ge (n+1)^2
[/mm]
[mm] ((\summe_{k=1}^{N+1} x_k)+x_{n+1})*((\summe_{k=1}^{N+1} \bruch{1}{x_k})+ \bruch{1}{x_{n+1}})\ge (n+1)^2
[/mm]
[mm] (\summe_{k=1}^{N} x_k)*(\summe_{k=1}^{N} \bruch{1}{x_k} )+(\summe_{k=1}^{N} x_k)*\bruch{1}{x_{n+1}}+x_{n+1}*(\summe_{k=1}^{N} \bruch{1}{x_k} )+x_{n+1}*\bruch{1}{x_{n+1}}\ge (n+1)^2
[/mm]
[mm] (\summe_{k=1}^{N} x_k)*(\summe_{k=1}^{N} \bruch{1}{x_k} )+(\summe_{k=1}^{N} x_k)*\bruch{1}{x_{n+1}}+x_{n+1}*(\summe_{k=1}^{N} \bruch{1}{x_k} )+1\ge (n+1)^2
[/mm]
Was kann ich denn daraus schließen?
Wäre cool, wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß Jenny
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Jenny
ich denke, du bist auf dem richtigen Weg. Nur: mit den Indexgrenzen musst du etwas genauer aufpassen. Zum Einen würde ich nicht $N_$ nehmen, wenn dann rechts der Formel ein kleines $n_$ steht.
Zum Anderen hast du vor dem Ausmultiplizieren noch $N+1_$ als obere Grenze gehabt, wo es schon nur noch $N_$ resp. $n_$ hätte heissen sollen.
Ich korrigiere es gleich:
[mm] $(\summe_{k=1}^{n+1} x_k)*(\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{x_k})\ge (n+1)^2$
[/mm]
[mm] $((\summe_{k=1}^{n} x_k)+x_{n+1})*((\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{x_k})+ \bruch{1}{x_{n+1}})\ge (n+1)^2$
[/mm]
[mm] $(\summe_{k=1}^{n} x_k)*(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{x_k} )+(\summe_{k=1}^{n} x_k)*\bruch{1}{x_{n+1}}+x_{n+1}*(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{x_k} )+x_{n+1}*\bruch{1}{x_{n+1}}\ge (n+1)^2$
[/mm]
[mm] $(\summe_{k=1}^{n} x_k)*(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{x_k} )+(\summe_{k=1}^{n} x_k)*\bruch{1}{x_{n+1}}+x_{n+1}*(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{x_k} )+1\ge (n+1)^2$
[/mm]
Das stammte jetzt alles von dir. Hier würde ich etwa so weiterfahren:
Rechts ausmultiplizieren:
[mm] $(\summe_{k=1}^{n} x_k)*(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{x_k} )+(\summe_{k=1}^{n} x_k)*\bruch{1}{x_{n+1}}+x_{n+1}*(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{x_k} )+1\ge n^{2}+2n+1$
[/mm]
Da kann rechts und links eine $1_$ subtrahiert werden:
[mm] $(\summe_{k=1}^{n} x_k)*(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{x_k} )+(\summe_{k=1}^{n} x_k)*\bruch{1}{x_{n+1}}+x_{n+1}*(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{x_k} [/mm] ) [mm] \ge n^{2}+2n$
[/mm]
Weil nach Induktionsvoraussetzung gilt:
[mm] $(\summe_{k=1}^{n} x_k)*(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{x_k} [/mm] ) [mm] \ge n^{2}$
[/mm]
muss wohl nur noch gezeigt werden:
[mm] $(\summe_{k=1}^{n} x_k)*\bruch{1}{x_{n+1}}+x_{n+1}*(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{x_k} [/mm] ) [mm] \ge [/mm] 2n$
Das kann etwas zusammengefasst werden:
[mm] $(\summe_{k=1}^{n} \bruch{x_k}{x_{n+1}})+(\summe_{k=1}^{n} \bruch{x_{n+1}}{x_k} [/mm] ) [mm] \ge [/mm] 2n$
[mm] $\summe_{k=1}^{n} (\bruch{x_k}{x_{n+1}}+ \bruch{x_{n+1}}{x_k}) \ge [/mm] 2n$
Jetzt haben wir also $n_$ Summanden. Wenn man zeigen könnte, dass jeder einzelne Summand [mm] $\ge [/mm] 2$ ist, wären wir fertig.
Versuchen wir das:
[mm] $\bruch{x_k}{x_{n+1}}+ \bruch{x_{n+1}}{x_k} \ge [/mm] 2$
Multipliziert mit den Nennern: (die sind nach Voraussetzung positiv, womit sich das Vergleichszeichen nicht verändert)
[mm] $x_{k}^2+x_{n+1}^2 \ge 2x_{k}x_{n+1}$
[/mm]
oder:
[mm] $x_{k}^2-2x_{k}x_{n+1}+x_{n+1}^2 \ge [/mm] 0$
[mm] $(x_{k}-x_{n+1})^{2} \ge [/mm] 0$
Jetzt sind wir fertig, weil linkerhand eine Quadratzahl steht, und die ist ja bekanntlich immer [mm] $\ge [/mm] 0$ 
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Pirmin |
Hallo Jenny,
auf das erste Produckt aus den beiden Summen in deiner letzten Gleichung musst Du
die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Dann erhätst du:
$ [mm] (\sum_{k=1}^{N} x_k)\cdot{}(\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{x_k} )+(\sum_{k=1}^{N} x_k)\cdot{}\frac{1}{x_{n+1}}+x_{n+1}\cdot{}(\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{x_k} [/mm] )+1 $
$ [mm] \ge [/mm] $
$ [mm] n^2 +(\sum_{k=1}^{N} x_k)\cdot{}\frac{1}{x_{n+1}}+x_{n+1}\cdot{}(\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{x_k} [/mm] )+1$
$ = $
$ [mm] n^2 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{N}(\frac{x_{n+1}}{x_{k}} [/mm] + [mm] \frac{x_{k}}{x_{n+1}}) [/mm] + 1 $
Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass gilt:
$ [mm] \frac{a}{b} [/mm] + [mm] \frac{b}{a} \ge [/mm] 2 $ für positive reelle Zahlen a,b [mm] $\neq [/mm] 0$
und dass kann man mit der 2. Binomischen Formel zeigen.
Probier es einfach mal.
Liebe Grüsse,
Sven
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:55 Di 02.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
> [mm]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2[/mm] für reelle Zahlen a,b [mm]\neq 0[/mm]
Diese Ungleichung kann man nur zeigen in den folgenden Fällen:
Fall 1: $a>0$ und $b>0$
oder
Fall 2: $a<0$ und $b<0$.
Man erkennt es auch am Beweis, dass es schiefgeht, wenn $a$ und $b$ (jeweils von $0$ verschieden) verschiedene Vorzeichen haben, also:
Obige Ungleichung gilt nicht in den Fällen:
Fall 3: $a>0$ und $b<0$
bzw.
Fall 4: $a<0$ und $b>0$
Oder man überlegt es sich so:
Im Fall 3 bzw. im Fall 4 gilt nämlich:
[mm] $\frac{a}{b}<0$ [/mm] und [mm] $\frac{b}{a}<0$, [/mm] und deswegen:
[mm] $\underbrace{\frac{a}{b}}_{<0}+\underbrace{\frac{b}{a}}_{<0}<0<2$.
[/mm]
Aber:
Für die Aufgabe kommt eh nur der Fall 1 in Betracht (siehe Voraussetzungen), und für diesen Fall (also $a>0$ und $b>0$) gilt ja:
[mm] $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge [/mm] 2$
Das nur als kleine Korrektur dieser Aussage!
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Di 02.11.2004 | | Autor: | Pirmin |
hallo zusammen,
marcel hat natürlich recht. es muss gezeigt werden, dass
$ [mm] \frac{a}{b} [/mm] + [mm] \frac{b}{a} \ge [/mm] 2 $ für positive reelle
zahlen gilt, so wie in der aufgabe auch vorausgesetzt.
sorry und liebe grüsse
sven
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