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Huhu Leute
Ich habe da eine Aufgabe, bei der ich leider nur auf eine Lösung von zwei komme. In der Lösung steht auch, dass man eine quadratische Gleichung bilden muss. Dann ist natürlich klar, wieso die auf 2 Lösungen kommen...ich mit meiner linearen Gleichung leider nur auf eine.
Also die Aufgabe lautet:
Welche Punkte der x-Achse haben vom Punkt A(12;12;-6) dopppelte Entfernung wie vom Punkt B (15;6;3)?
Meine Überlegung:
-k [mm] \* \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{12 \\ 12 \\ -6} [/mm] = 2 [mm] \* [/mm] (-k [mm] \* \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{15 \\ 6 \\ 3})
[/mm]
-k + 12 = 2 [mm] \* [/mm] (-k+15)
-k + 12 = -2k + 30
k = 18
Somit erste Lösung: [mm] \vektor{18 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Leider gibt es noch die Zahl 14... die bringe ich jedoch nicht hin...kann mir da jemand weiterhelfen?
Lieber Gruss Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 So 25.05.2008 | | Autor: | aram |
Hallo Nicole.
> Huhu Leute
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> Ich habe da eine Aufgabe, bei der ich leider nur auf eine
> Lösung von zwei komme. In der Lösung steht auch, dass man
> eine quadratische Gleichung bilden muss. Dann ist natürlich
> klar, wieso die auf 2 Lösungen kommen...ich mit meiner
> linearen Gleichung leider nur auf eine.
>
> Also die Aufgabe lautet:
>
> Welche Punkte der x-Achse haben vom Punkt A(12;12;-6)
> dopppelte Entfernung wie vom Punkt B (15;6;3)?
>
> Meine Überlegung:
>
> -k [mm]\* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{12 \\ 12 \\ -6}[/mm] = 2 [mm]\*[/mm]
> (-k [mm]\* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{15 \\ 6 \\ 3})[/mm]
>
> -k + 12 = 2 [mm]\*[/mm] (-k+15)
> -k + 12 = -2k + 30
> k = 18
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Somit erste Lösung: [mm]\vektor{18 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Leider gibt es noch die Zahl 14... die bringe ich jedoch
> nicht hin...kann mir da jemand weiterhelfen?
Hey, du bist ja fast am Ziel: Du musst deine Überlegungen nur ein bisschen weiterführen, und zwar so:
In der ersten Lösung hast du den Faktor 2 genommen, weil der Abstand doppelt so groß sein muss. Da du es auf diese Weise gerechnet hast, und nicht mittels einer quadratischen Gleichung, musst du auch die RICHTUNG beachten, denn in die entgegengesetzte Richtung ist dein Faktor -2.
Einfach ab hier (-k + 12 = 2 [mm]\*[/mm] (-k+15)) die -2 einsetzen, dann kommst du auch auf deine 14
>
> Lieber Gruss Nicole
Mfg Aram
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Hallo Aram
Vielen Dank für deine Antwort. Ich sehe es, dass man mit -2 zur richtigen Lösung kommt. Jedoch frage ich mich, wieso man nicht den Vektor
k $ * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ verwenden kann, also dass man hier k positiv macht.
Denn wenn ich aus dem Faktor 2 --> -2 mache, dann scheint das für mich, als würde ich nur den Vektor umkehren, somit sollte ich doch wieder auf die 18 kommen...irgendwie habe ich da einen Überlegungsfehler...
Lieber Gruss und Danke Nicole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 So 25.05.2008 | | Autor: | aram |
> Hallo Aram
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> Vielen Dank für deine Antwort. Ich sehe es, dass man mit -2
> zur richtigen Lösung kommt. Jedoch frage ich mich, wieso
> man nicht den Vektor
>
> k [mm]* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] verwenden kann, also dass man hier
> k positiv macht.
Schau dir mal das an: k-12 = -2k+30 k= 14
du kannst nich einfach bei k alleine das Vorzeichen wechseln. Wenn, dann musst du die ganze linke Seite *(-1) nehmen.
>
> Denn wenn ich aus dem Faktor 2 --> -2 mache, dann scheint
> das für mich, als würde ich nur den Vektor umkehren, somit
> sollte ich doch wieder auf die 18 kommen...irgendwie habe
> ich da einen Überlegungsfehler...
Überleg mal, du gehst vom gleichen Ausgangspunkt los, aber jeweils in eine andere Richtung.
16+2=18 und 16-2=14 Du gehst um den gleichen Betrag, und zwar |2|, von deinem Ausgangspunkt weg und landest auf zwei Punkten, die den gleichen Abstand vom Ausgangspunkt haben.
Mfg Aram
>
> Lieber Gruss und Danke Nicole
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Huhu
Entschuldigung...aber ich sehe es leider noch nicht so ein mit den -2. Ich habe da mal eine Skizze gezeichnet... Für mich haben da beide Vektoren die genau gleiche Richtung...ich kann mir einfach nicht vorstellen wo jetzt die -2 sein sollten, da ja kein Vektor entgegengerichtet zeigt...hum...oder stimmt etwa die Skizze nicht?
Ich danke dir für deine Mühe!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 So 25.05.2008 | | Autor: | Nicole1989 |
Artikel wurde ebenfalls unter: www.matheplanet.com veröffentlicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 So 25.05.2008 | | Autor: | aram |
> Huhu
Hallo nochmal Nicole!
Ich gebe dir jetzt mal einen kompletten Lösungsweg deiner Aufgabe, damit du dich mal von den Überlegungen über die Richtung der Vektoren "befreien" kannst.![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Entschuldigung...aber ich sehe es leider noch nicht so ein
> mit den -2. Ich habe da mal eine Skizze gezeichnet...
Wir haben die A(12/12/-6) und B(15/6/3) und suchen die Punkte [mm] P_{1}(x_{1}/0/0) [/mm] und [mm] P_{2}(x_{2}/0/0)
[/mm]
Wir wissen weiter, dass [mm] \overrightarrow{PA} [/mm] = [mm] 2\overrightarrow{PB}, [/mm] also [mm] \vektor{12-x \\ 12-0\\ -6-0} [/mm] = [mm] 2*\vektor{15-x \\ 6-0\\ 3-0} [/mm]
Um die Länge der jeweiligen Vektoren zu erhalten, nehmen wir jeweils den Betrag und kommen zu der Gleichung
[mm] \wurzel{(12-x)^{2}+12^{2}+(-6)^{2}} [/mm] = 2* [mm] \wurzel{(15-x)^{2}+6^{2}+3^{2}}
[/mm]
Diese Gleichung gelöst, kommt man zu den beiden Ergebnissen [mm] x_{1}=14 [/mm] und [mm] x_{2}=18 [/mm]
Somit sind die gesuchten Punkte [mm] P_{1}(14/0/0) [/mm] und [mm] P_{2}(18/0/0)
[/mm]
> Für
> mich haben da beide Vektoren die genau gleiche
> Richtung...ich kann mir einfach nicht vorstellen wo jetzt
> die -2 sein sollten, da ja kein Vektor entgegengerichtet
> zeigt
verschiedene Richtungen haben die Vektoren schon(sie haben auf keinen Fall genau die gleiche Richtung), sind aber auch nich genau entgegengesetzt. Das wäre nur der Fall, wenn der Ausgangspunkt auch auf der x-achse liegen würde.
...hum...oder stimmt etwa die Skizze nicht?
Ach ja, bei deiner Skizze stimmt tatsächlich was nicht, und zwar die x-achse: sie ist nämlich schief! 
>
> Ich danke dir für deine Mühe!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
Mfg Aram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 27.05.2008 | | Autor: | Nicole1989 |
*gg* Danke Aram:)
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> Welche Punkte der x-Achse haben vom Punkt A(12;12;-6)
> dopppelte Entfernung wie vom Punkt B (15;6;3)?
>
> Meine Überlegung:
>
> -k [mm]\* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{12 \\ 12 \\ -6}[/mm] = 2 [mm]\*[/mm] (-k [mm]\* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{15 \\ 6 \\ 3})[/mm]
Diese Überlegung ist schon deshalb falsch, weil links ein Vektor steht, der nicht nur doppelt so lang wie der rechts stehende ist, sondern auch noch in die selbe Richtung zeigt, und das ist ja gar nicht nötig und normaler Weise auch falsch. Dass es dafür überhaupt eine Lösung gibt, ist wohl nur Zufall.
So ist z.B. der Punkt (6|12|4) vom Ursprung [mm] \wurzel{36+144+16}=14 [/mm] entfernt und damit doppelt so weit wie (2|3|6), aber trotzdem ist nicht [mm] \vektor{6 \\ 12 \\ 4}=2*\vektor{2 \\ 3 \\ 6}.
[/mm]
Der einzig richtige Ansatz steht in arams letzter Antwort.
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