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Trigonometrische Funktion: Idee: sin(3x)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Mo 14.12.2015
Autor: Piba

Aufgabe
Sei $x$ eine reale Zahl. Zeigen Sie:
c) $sin(3x) = [mm] 3sin(x)-4sin(x)^{3}$ [/mm]

Hallo zusammen,

ich habe angefangen die Aufgabe von oben zu bearbeiten und bin soweit gekommen:

$sin(3x) = sin(x+2x) = sin(x)cos(2x)+cos(x)sin(2x) = [mm] sin(x)2cos(x)^{2}-1 [/mm] + cos(x)2sin(x)cos(x)$, wie komme ich jetzt aber nach [mm] $3sin(x)-4sin(x)^{3}$ [/mm] hat jemand hier einen Tipp für mich und ist das überhaupt der richtige Ansatz?

Grüße
Piba

        
Bezug
Trigonometrische Funktion: Additionstheorem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:30 Mo 14.12.2015
Autor: Roadrunner

Hallo Piba!


> ich habe angefangen die Aufgabe von oben zu bearbeiten und  bin soweit gekommen:
>
> [mm]sin(3x) = sin(x+2x) = sin(x)cos(2x)+cos(x)sin(2x)[/mm]

[ok]

> [mm] = sin(x)2cos(x)^{2}-1 + cos(x)2sin(x)cos(x)[/mm],

Zum einen fehlen hier um den Term [mm] $2*\cos^2(x)-1$ [/mm] entscheidende Klammern.

Aber einfacher wird es auch, wenn du hier einsetzt (einschließlich Klammern ;-) ):  [mm] $\cos(2x) [/mm] \ = \ [mm] 1-2*\sin^2(x)$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Mo 14.12.2015
Autor: Piba

Danke für die schnelle Antwort. Ich habe es eingesetzt so wie du es gesagt hast:

$sin(3x) = sin(x+2x) = sin(x)cos(2x)+cos(x)sin(2x) = [mm] sin(x)[1-2sin^{2}(x)] [/mm] + [mm] cos^{2}(x)2sin(x) [/mm] = sin(x) - [mm] 2sin^{3}(x) [/mm] + [mm] cos^{2}(x)2sin(x)$ [/mm]

Ich befürchte ich habe Schwierigkeiten hier das ganze rauszuziehen. Oder übersehe ich eine Regel hier?

Bezug
                        
Bezug
Trigonometrische Funktion: trigonometrischer Pythagoras
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Mo 14.12.2015
Autor: Roadrunner

Hallo Piba!


[ok] Nun noch mittels [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ den Cosinus aus diesem Term eliminieren und anschließend zusammenfassen.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                
Bezug
Trigonometrische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Mo 14.12.2015
Autor: Piba

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

ok, habe folgendes hingezaubert:

$ ... = sin(x) - 2sin^{3}(x) + cos^{2}(x)2sin(x) = sin(x) - 2sin(x)[sin^{2}(x)+cos^{2}(x)}] = sin(x) - 2sin(x)[1] = 3sin(x)$

Irgendwas ist verloren gegangen.

Bezug
                                        
Bezug
Trigonometrische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Mo 14.12.2015
Autor: Jule2

Das stimmt auch nicht es gilt:

[mm] .....=sin(x)-2sin^3(x)+cos^2(x)2sin(x)=sin(x)-2sin^3(x)+(1-sin^2(x))2sin(x) [/mm]

LG
Jule

Bezug
                                                
Bezug
Trigonometrische Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:13 Mo 14.12.2015
Autor: Piba

Danke. Die Erweiterung mit einer 'Null' habe ich irgendwie nicht gesehen. Ich bedanke mich bei euch!

Bezug
        
Bezug
Trigonometrische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mo 14.12.2015
Autor: fred97

Komplex Zahlen machen Spass....

Es ist ( mit [mm] \Im [/mm] = Imaginärteil)

  [mm] $\sin(3x)= \Im (e^{3ix})= \Im( [/mm] ( [mm] \cos [/mm] ( x)+i [mm] \sin (x))^3)$. [/mm]

Stures Ausrechnen und Pythagoras liefern

  $ [mm] \Im( (\cos [/mm] (x)+i [mm] \sin (x))^3)=3 \sin(x)-4 \sin^3(x)$. [/mm]

FRED

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