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Forum "Topologie und Geometrie" - Topologie
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Topologie: Seperabilität
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:25 Mi 04.11.2015
Autor: Hias

Aufgabe
Zu zeigen: für [mm] $1\leq [/mm] p [mm] \leq \infty$, $l_p(I,K)$ [/mm] ist seperabel, genau dann wenn I abzählbar ist und [mm] $l_\infty(I,K)$ [/mm] ist seperabel, genau dann wenn I endlich ist.



Hallo,
der [mm] $l_p(I,K)$, [/mm] bzw. [mm] $l_\infty(I,K)$ [/mm]  ist wie folgt definiert:
[mm] $l_p(I,K)=\{f:I\to K: ||f||_p<\infty\}$ [/mm]
[mm] $l_\infty(I,K)=\{f:I\to K:||f||_\infty = sup_{x\in I } |f(x)|<\infty\}$ [/mm]
wobei [mm] $K\in \{\IR,\IC\}$ [/mm]
In der Vorlesung hatten wir folgendes Lemma, was ich wohl nutzen muss, aber nicht weis wie:
Lemma: ein normierter Raum $ [mm] (X,||\cdot [/mm] ||)$ ist seperabel, genau dann wenn es eine abzählbare Menge S von X gibt, so dass [mm] $X=\overline{span(S)}$ [/mm] gilt.
In unserem Fall ist [mm] $X=l_p(I,K)$, [/mm] bzw. [mm] $l_\infty(I,K)$. [/mm] Aus der Vorlesung weis ich, dass das ein normierter Raum ist und ein Banach Raum.
Ich habe leider keinen Ansatz ein geeignetes S zu finden, oder anderweitig auf die Lösung zu kommen, sodass ich leider keinen Ansatz von mir geben kann.
Für Tipps wäre ich dankbar.
Hias

        
Bezug
Topologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:57 Do 05.11.2015
Autor: Ladon

Hallo,

vielleicht kennst du den []Schwartz-Raum [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] der unendlich oft differenzierbaren Funktionen $f$ mit [mm] $\sup_{x\in\IR^n}\left|x^\alpha D^\beta f(x)\right|<\infty$ $\forall \alpha,\beta\in\IN_0^n$. [/mm]
[mm] $\mathcal{S}$ [/mm] liegt dicht in [mm] $L_p$ [/mm] und ist separabel. Mit [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] besitzt nun auch [mm] $L_p$ [/mm] eine abzählbare Basis.

Einen weiteren Beweis findest du in Werners Funktionalanalysis, S. 33.

LG
Ladon

PS: Ich schreibe lieber [mm] $L_p$ [/mm] statt [mm] $l_p$. [/mm] Letzteres beschreibt für mich einen Folgenraum!

Bezug
        
Bezug
Topologie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Fr 06.11.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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