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H, ich muss diese aufgabe so schnell es geht lösen, komme jedoch überhaupt nicht weiter :-(
Aufgabe: Geben sie die ZAhlen a,b,c so an , dass die gerade ax+by+c=0
die Kreislinie k in genau einem Punkt berührt.
Ok also nun habe ich zunächst die geradengleichung nach y umgeformt:
y = (-ax-c)/b
Gegeben war außerdem: Kreismittelpunkt M(2,2) mit radius r=1
Kreisgleichung: [mm] (x-2)^2+(y-2)^2=1
[/mm]
ok, nun habe ich mir gedacht, dass ich die geradengleichung y=... in diese Kreisgleichung einsetze. dann müsste ich ja eigentlich eine quadratische gleichung erhalten bei der die Diskriminante NULL sein muss, damit ich nur eine lösung bekomme. D.h. ich muss a,b,c so bestimmen das diese Diskriminante NULL ergibt.
Nach dem einsetzen und umformen komme ich jedoch auf unlösbare ultrakomplexe gleichungen, die ich überhaupt nicht lösen kann :--( habe wirklich die ganze zeit rumgerechnet, aber schaffe es nicht .... kann mir vieleicht jemand diese aufgabe lösen ? würde mich echt sehr freuen. Oder vieleicht einen tip geben ob ich irgendwas falsch gemacht habe....
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Hallo Asterobix
Dein Plan ist absolut richtig, und ich weiss nicht, wo du scheitern konntest?!
Die Gradengleichung teilen wir durch b, und erhalten.
[mm]y=mx+n,\qquad m=-\bruch{a}{b},\qquad n=-\bruch{c}{b}[/mm]
[mm]\left( x-2 \right)^{2}+(mx+n-2)^{2}=1[/mm]
n-2 bezeichnest du mit p, und nachher ersetzt du zurück.
Am Ende erhältst du die Bedingung:
[mm]2(a-b)=c[/mm]
Alles klar?
Schöne Grüße, 
Ladis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Asterobix |
wow so hab ich es noch gar nicht probiert :), werde ich später direkt mal ausprobieren und meine Ergebnisse hier posten. Dankeschön
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AAARGH :)
Kriege es leider trotzdem nicht hin :(
Habe das nun alles so eingesetzt wie du gesagt hast, jedoch stehe ich nun vor einer Riesenmauer und komme nicht drüber :(
also: $ [mm] \left( x-2 \right)^{2}+(mx+n-2)^{2}=1 [/mm] $
ok nun habe ich einfach da die klammern ausquadriert und danach [mm] x^2 [/mm] und x jeweils ausgeklammert.
Dann steht da: [mm] x^2*(1+m^2)-x*(4-2mp)+p^2-1=0
[/mm]
Nur wie mache ich da nun weiter ? Soll ich durch [mm] (1+m^2) [/mm] teilen, damit ich eine quadratische gleichung in normalenform habe um dann mithilfe der pq formel die diskriminante zu bestimmen?
kriege es voll nicht hin, da der term ziemlich komplex ist und ich nicht weiss ob es nicht vieleicht doch einfacher geht, hoffe ihr könnt mir helfen, mfg, asterobix
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Hallo Asterobix,
> Kriege es leider trotzdem nicht hin :(
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> Habe das nun alles so eingesetzt wie du gesagt hast, jedoch
> stehe ich nun vor einer Riesenmauer und komme nicht drüber
> :(
>
> also: [mm]\left( x-2 \right)^{2}+(mx+n-2)^{2}=1[/mm]
>
> ok nun habe ich einfach da die klammern ausquadriert und
> danach [mm]x^2[/mm] und x jeweils ausgeklammert.
>
> Dann steht da: [mm]x^2*(1+m^2)-x*(4-2mp)+p^2-1=0[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Nur wie mache ich da nun weiter ? Soll ich durch [mm](1+m^2)[/mm]
> teilen, damit ich eine quadratische gleichung in
> normalenform habe um dann mithilfe der pq formel die
> diskriminante zu bestimmen?
genau - auch wenn es ziemlich unübersichtlich wird!
>
> kriege es voll nicht hin, da der term ziemlich komplex ist
> und ich nicht weiss ob es nicht vieleicht doch einfacher
> geht, hoffe ihr könnt mir helfen, mfg, asterobix
da musst du dich schon mal durchwühlen, ich probier's auch mal.
Tipp:
wenn du diese quadratische Gleichung löst, bekommst du ja zwei Lösungen.
Es soll aber nur einen Schnittpunkt (=Berührpunkt) geben.
Was bedeutet das für die Wurzel??
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Asterobix |
ja die wurzel muss dann natürlich null sein ... oooh ist super unübersichtlich wenn ich einsetze... ich versuche es aber weiter und hoffe das es mich zum richtigen ergebnis führt....
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Nach etlichem umformen und Rückensetzen von m, n und p komme ich nun auf folgende formel für die Diskriminante bei der MITTERNACHTSFORMEL:
D= [mm] 4*b^2+3*(a^2*c^2)/b^2+12*(a^2*c)/b+16*a^2-16*a*c-32*a*b-4*c^2-16*b*c
[/mm]
So und dieser lange Term muss nun gleich Null sein..... Gibt es hier irgendeinen schlauen Menschen der diesen Term lösen kann ?!?
BItte um hilfe :-(
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Hallo,
so 'was ähnliches habe ich auch 'raus und auch eigenltich keine Lust gehabt, weiter zu suchen.
keine Ahnung wie Ladis auf seine kurze Bedingung gekommen ist.
Gruß informix
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Hmmm... irgendwer muss doch hier rat wissen..., bittööö... es geht immerhin um 2 bonuspunkte für die klausr :-(
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Hallo ihr Lieben
Ich rechne es mal euch vor:
(Ih habe mich vorhin ein bischen verrechnet.)
[mm](x-2)^{2}+(mx+p))^{2}=1[/mm]
[mm]\gdw[/mm]
[mm]x^{2}-4x+4+m^{2}x^{2}+2mpx+p^{2}=1[/mm]
[mm]\left( 1+m^{2} \right) x^{2}+2\left( mp-2 \right) x+p^{2}+3=0[/mm]
Das ist die Quadratische Gleichung in x.
Die Diskriminante muss also 0 sein.
Wir schreiben die Diskriminante mit der abc-Formel ([mm]\Delta=\left
\bruch{b}{2}\right)^{2}-ac[/mm]).
[mm]\left(mp-2\right)^{2}-\left( m^{2}+1 \right)
\left( p^{2}+3 \right)=0[/mm]
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Hallo ihr Lieben
Ich rechne es mal euch vor:
(Ich habe mich vorhin ein bischen verrechnet.)
[mm](x-2)^{2}+(mx+p))^{2}=1[/mm]
[mm]\gdw[/mm]
[mm]x^{2}-4x+4+m^{2}x^{2}+2mpx+p^{2}=1[/mm]
[mm]\left( 1+m^{2} \right) x^{2}+2\left( mp-2 \right) x+p^{2}+3=0[/mm]
Das ist die Quadratische Gleichung in x.
Die Diskriminante muss also 0 sein.
Wir schreiben die Diskriminante mit der abc-Formel ([mm]\Delta=\left(
\bruch{b}{2}\right)^{2}-ac[/mm]).
[mm]\left( mp-2\right)^{2}-\left( m^{2}+1 \right)
\left( p^{2}+3 \right)=0[/mm]
Diese Bedingung kann man nur verkoplizieren, und nicht vereinfachen.
In meiner vorherigen Beitrag habe ich mich in der weiteren Berechnung verrechnet. Ist es sicher, dass der Radius nicht 2 ist?
Schöne Grüße,
Ladis
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