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| Aufgabe | Bilde von folgender Funktion das Integral:
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{9-x^{2}}}dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, diese Aufgabe kam gestern in meiner Mathe-LK-Klausur (2.Semester). Ich kam jetzt im Nachhinein auf drei verschiedene Ergebnisse und Rechnungen. Frage mich jetzt natürlich, was falsch ist oder ob die drei Funktionen vergleichbar sein könnten.
1. Herangehensweise
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{9-x^{2}}}dx}
[/mm]
Substitution:
x = [mm] \wurzel{-z^2-6z}
[/mm]
z = [mm] \wurzel{9-x^2}-3
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{9-x^{2}}}dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{\wurzel{-z^2-6z}}{z+3}dx}
[/mm]
x' umformen:
dx = [mm] \bruch{-2z-6}{2\wurzel{-z^2-6z}} [/mm] dz = - [mm] \bruch{z+3}{\wurzel{-z^2-6z}} [/mm] dz
dx eingesetzt und abschließende Resubstitution:
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{9-x^{2}}}dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{\wurzel{-z^2-6z}}{z+3}dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{\wurzel{-z^2-6z}}{z+3} * (-\bruch{z+3}{\wurzel{-z^2-6z}}) dz} [/mm] = [mm] \integral{(-1) dz} [/mm] = -z = 3 - [mm] \wurzel{9-x^2}
[/mm]
2. Herangehensweise
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{9-x^{2}}}dx}
[/mm]
Substitution:
x = [mm] \wurzel{9-z^2}
[/mm]
z = [mm] \wurzel{9-x^2}
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{9-x^{2}}}dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{\wurzel{9-z^2}}{z}dx}
[/mm]
x' umformen:
dx = [mm] \bruch{-2z}{2\wurzel{9-z^2}} [/mm] dz = - [mm] \bruch{z}{\wurzel{9-z^2}} [/mm] dz
dx eingesetzt und abschließende Resubstitution:
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{9-x^{2}}}dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{\wurzel{9-z^2}}{z}dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{\wurzel{9-z^2}}{z} * (- \bruch{z}{\wurzel{9-z^2}}) dz} [/mm] = [mm] \integral{(-1) dz} [/mm] = -z = [mm] -\wurzel{9-x^2}
[/mm]
3. Herangehensweise
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{9-x^{2}}}dx}
[/mm]
Substitution:
x = [mm] \wurzel{(\sin{z})^2 + 8}
[/mm]
z = [mm] \arcsin{\wurzel{x^2-8}}
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{9-x^{2}}}dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{\wurzel{(\sin{z})^2 + 8}}{\cos{z}}dx}
[/mm]
x' umformen:
dx = [mm] \bruch{2\cos{z} * \sin{z}}{2\wurzel{\(sin{z})^2+8}} [/mm] dz = [mm] \bruch{\cos{z} * \sin{z}}{\wurzel{\(sin{z})^2+8}} [/mm] dz
dx eingesetzt und abschließende Resubstitution:
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{9-x^{2}}}dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{\wurzel{(\sin{z})^2 + 8}}{\cos{z}}dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{\wurzel{(\sin{z})^2 + 8}}{\cos{z}} * \bruch{\cos{z} * \sin{z}}{\wurzel{\(sin{z})^2+8}} dz} [/mm] = [mm] \integral{\sin{z} * dz} [/mm] = [mm] -\cos{z} [/mm] = [mm] -\cos{\arcsin{\wurzel{x^2-8}}}
[/mm]
So, ich wiederhole nochmal die drei Ergebnisse:
1.: [mm] 3-\wurzel{9-x^2}
[/mm]
2.: [mm] -\wurzel{9-x^2}
[/mm]
3.: [mm] -\cos{\arcsin{\wurzel{x^2-8}}}
[/mm]
Wo liegt der Fehler (oder die Fehler)?
Mit freundlichen Grüßen, Thomas
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Hiho,
erstmal vorweg: Dein "Fehler" beginnt schon in deiner unsauberen Art und Weise zu substituieren.
Du solltest dir immer EINE Substitution auswählen, d.h. dein Ausdruck wird substituiert. Eine Umstellung nach der Ursprungsvariablen ist in 99% der Fälle nicht notwendig!
Demzufolge musst du die Ursprungsvariable so gut wie nie ebenfalls substituieren. Das passiert fast immer nur dann, wenn du Winkelfunktionen verwendest.
Eine saubere Art des Aufschreibens wäre hier also:
$z = [mm] 9-x^2$
[/mm]
[mm] $\bruch{dz}{dx} [/mm] = -2x [mm] \quad \gdw \quad \bruch{-1}{2}dz [/mm] = x dx$
und damit:
[mm] $\integral \bruch{x}{9-x^2}dx [/mm] = [mm] \integral \bruch{1}{9-x^2} [/mm] *xdx$
[mm] $=\integral \bruch{1}{\sqrt{z}} [/mm] * [mm] \bruch{-1}{2}dz [/mm] = - [mm] \integral \bruch{1}{2\sqrt{z}} [/mm] dz$
$= - [mm] \sqrt{z} [/mm] + c = - [mm] \sqrt{9 - x^2} [/mm] + c $
Nun zu deinen Ergebnissen. Ich hab das "Fehler" oben ja in Anführungszeichen gesetzt, denn einen wirklichen Fehler hast du nicht gemacht!
Deine Ergebnisse sind korrekt. Beachte, dass bei Bildung einer Stammfunktion immer eine additivite Konstante hinzukommt.
Das hast du bei all deinen Lösungen vergessen.
D.h. deine Lösung von 1. und 2. stimmen offensichtlich schonmal überein, beide Wege sind also möglich und führen zum Ziel.
Bei deiner dritten Lösung verwende die Identität:
[mm] $\cos\arcsin(x) [/mm] = [mm] \sqrt{1-x^2}$
[/mm]
und du wirst auf das gleiche Ergebnis wie beim Zweiten kommen.
MFG,
Gono.
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Dankeschön für deine Erklärung. Ich hatte mit Substitution anscheinend noch nicht genügend gemacht. Bin froh, dass es trotzdem aufgeht und ich es jetzt auch verstanden habe. Wusste auch bisher noch nicht, dass die Konstante C auch schon mitdefiniert sein kann. Müsste ich das C auch da hinzufügen. wo ich "3" herausbekommen habe bzw. müsste ich die"3" dann einfach streichen, als wäre sie Teil der Konstante? Schließlich ist es dann auch möglich per andere (unsaubere) Substitutionen andere Konstanten zu ermitteln.
Auf jeden Fall eine ganz interessant Geschichte. Dankeschön nochmal!
Ließe sich das eigentlich dann als Beweis für die von die angegebene Regel nutzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Wusste auch bisher noch nicht, dass die Konstante C auch schon mitdefiniert sein kann.
Nein, sie ist nicht "mitdefiniert".
Aber als Stammfunktion ist $f(x) + c$ eben das gleiche wie $f(x) + 3 + c$, da das [mm] $c\in\IR$ [/mm] beliebig ist.
> Müsste ich das C auch da hinzufügen. wo ich "3" herausbekommen habe
> bzw. müsste ich die"3" dann einfach streichen, als wäre sie Teil der Konstante?
Wie du magst, du darfst nur die additive Konstante nicht vergessen.
Im "Normalfall" lässt man sie aber in das c mit aufgehen.
> Ließe sich das eigentlich dann als Beweis für die von die angegebene Regel nutzen?
Ja.
Wobei du durch dein Substitution erstmal nur gezeigt hast, dass die Funktionen gleich sind bis auf eine Konstante, d.h.
[mm] $\cos\arcsin(x) [/mm] = [mm] \sqrt{1-x^2} [/mm] + c$
Um das c zu bestimmen, müsstest du noch einen Funktionswert ermitteln, bspw. bei $x=0$ 
MFG,
Gono.
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