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Hallo,
Kann mir moeglicherweise jemand einige Beispiele verschiedener
Skalarprodukte auf [mm] R^2 [/mm] geben? Mein Skript ist da nicht so
ausfuehrlich. Und wie kann man sich solche Beispiele allgemein
konstruieren?
waere fuer eine Antwort sehr dankbar...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Di 08.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo margarita,
> Kann mir moeglicherweise jemand einige Beispiele
> verschiedener
> Skalarprodukte auf [mm] R^2 [/mm] geben? Mein Skript ist da nicht so
>
> ausfuehrlich. Und wie kann man sich solche Beispiele
> allgemein
> konstruieren?
ein Skalarprodukt ist ja eine symmetrische und positiv definite Bilinearform (zu all diesen Begriffen dürftest du hier im MatheRaum bereits etwas finden).
Eine Bilinearform [mm] \beta [/mm] kann beschrieben werden durch eine Matrix S:
[mm] $\beta(v,w)=v^t*S*w$
[/mm]
Damit [mm] $\beta$ [/mm] zu einem Skalarprodukt wird, muß die Matrix S symmetrisch (also [mm] $S=S^t$) [/mm] und positiv definit (alle Eigenwerte positiv) sein.
Wenn du also eine solche Matrix S findest, kannst du dir wie oben beschrieben ein Skalarprodukt "basteln".
Übrigens ergibt sich für [mm] $S=E_n$ [/mm] (also die Einheitsmatrix) das Standardskalarprodukt, das man bereits aus der Schule kennt.
Beispiel:
[mm] $\beta_1(v,w)=v^t*E_2*w=(v_1,v_2)*\pmat{1&0\\0&1}*\vektor{w_1\\w_2}=(v_1,v_2)*\vektor{w_1\\w_2}=v_1*w_1+v_2*w_2$ [/mm] (Standardskalarprodukt im [mm] $\IR^2$)
[/mm]
[mm] $\beta_2(v,w)=(v_1,v_2)*\pmat{2&0\\0&3}*\vektor{w_1\\w_2}=(v_1,v_2)*\vektor{2w_1\\3w_2}=2v_1*w_1+3v_2*w_2$ [/mm] (ein anderes lustiges Skalarprodukt)
Falls dich meine Antwort nicht zufrieden stellt, frage einfach nochmal nach! 
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Di 08.06.2004 | | Autor: | margarita |
Hallo Marc,
vielen Dank fuer Deine Antwort, sie war prima.
Vor allem Deine Erklaerung, wie man sich ein Skalarprodukt
mit Hilfe einer Matrix "bastelt", hat mir auch sehr geholfen.
Danke
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