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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Rechnen mit Komplexen Zahlen
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Rechnen mit Komplexen Zahlen: Frage: Lösungsansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Mo 07.03.2005
Autor: Machi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo liebe Forengemeinde,


ich löse gerade ein paar Übungsaufgaben und bin mir nicht sicher, ob meine Lösung stimmt.

Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus: Gegeben sind [mm] z_1 = 3\wurzel {3} - 3i[/mm] und [mm] z_2 = -3(1+i) [/mm].

Berechnen Sie [mm] z = \bruch{z_1^3}{z_2^4}[/mm] in der Darstellung [mm] z = x+yi[/mm].

Zunächst habe ich 3 aus der Gleichung [mm] z_1 [/mm] ausgeklammert.

[mm] z_1 = 3(\wurzel {3} - i) [/mm].


[mm] z = \bruch{(3(\wurzel {3} - i))^3}{(-3(1+i))^4}[/mm]

den nächsten Schritt habe ich mal ausführlich hingeschrieben. Wir dürfen in Klausuren keinen Taschenrechner verwenden, weshalb ich die Wurzel durchschleppe.

Mittels Binomischer Formel ausmultipliziert:

[mm] z = \bruch{3^3*(\wurzel {3}^3-(3* \wurzel{3}^2*-i)+(3\wurzel{3}*i^2) - i^3)}{-3^4* (1^4+(4*1^3*i)+(6*1^2*i^2)+(4*1*i^3)+i^4)}[/mm]

Vereinfacht.

[mm] z = \bruch{27*(\wurzel {3}^3+9i-3\wurzel{3}+ i)}{81* (1+4i-6-4i+1)}[/mm]

[mm] z = \bruch{1*(\wurzel {3}^3-3\wurzel{3}+10i )}{3* (-4)}[/mm]

[mm] z = \bruch{\wurzel {3}^3-3\wurzel{3} }{-12}+ \bruch{10 }{-12}i[/mm]

Wenn ich [mm] \wurzel{3} [/mm] ausklammer verschwindet mein Realteil und ich hätte nur noch

[mm] z = - \bruch{5 }{6}i[/mm] übrig.

Ist das soweit richtig oder habe ich mich gründlich verfahren?

Währe nett, wenn jemand was dazu posten würde.

CU Mark



        
Bezug
Rechnen mit Komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Mo 07.03.2005
Autor: Paulus

Hallo Mark

[willkommenmr]

>
> ich löse gerade ein paar Übungsaufgaben und bin mir nicht
> sicher, ob meine Lösung stimmt.
>  

Nun, dein Vorgehen ist sicher korrekt. (Wenngleich es in diesen Spezialfall auch etwas anders ginge: Darstellung von [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] in der Darstellung [mm] $r_k*e^{ik};\, (k\in [/mm] {1,2}$, weil es hier "schöne" Winkel gibt. In dieser Darstellung rechnen und am Schluss wieder die Darstellung ändern.)

> Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus: Gegeben sind [mm]z_1 = 3\wurzel {3} - 3i[/mm]
> und [mm]z_2 = -3(1+i) [/mm].
>  
> Berechnen Sie [mm]z = \bruch{z_1^3}{z_2^4}[/mm] in der Darstellung [mm]z = x+yi[/mm].
>  
>
> Zunächst habe ich 3 aus der Gleichung [mm]z_1[/mm] ausgeklammert.
>  
> [mm]z_1 = 3(\wurzel {3} - i) [/mm].
>  
>
> [mm]z = \bruch{(3(\wurzel {3} - i))^3}{(-3(1+i))^4}[/mm]
>  
> den nächsten Schritt habe ich mal ausführlich
> hingeschrieben. Wir dürfen in Klausuren keinen
> Taschenrechner verwenden, weshalb ich die Wurzel
> durchschleppe.
>  
> Mittels Binomischer Formel ausmultipliziert:
>  
> [mm]z = \bruch{3^3*(\wurzel {3}^3-(3* \wurzel{3}^2*-i)+(3\wurzel{3}*i^2) - i^3)}{-3^4* (1^4+(4*1^3*i)+(6*1^2*i^2)+(4*1*i^3)+i^4)}[/mm]
>  
>

[notok] Da hast du einen Vorzeichenfehler drin!

[mm] $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ [/mm]

Du hingegen hast genommen:

[mm] $(a-b)^3=a^3-3a^2*(-b)+3ab^2-b^3)$ [/mm]

Dann noch: ich glaube, es müsste der erste Summand im Zähler so stehen: [mm] $(-3)^3$, [/mm] und nicht [mm] $-3^3$. [/mm]

Man könnte auch noch direkt ausnutzen, dass gilt: [mm] $\wurzel{3}^3=3*\wurzel{3}$ [/mm]

> Vereinfacht.
>  
> [mm]z = \bruch{27*(\wurzel {3}^3+9i-3\wurzel{3}+ i)}{81* (1+4i-6-4i+1)}[/mm]
>  
>
> [mm]z = \bruch{1*(\wurzel {3}^3-3\wurzel{3}+10i )}{3* (-4)}[/mm]
>  
>
> [mm]z = \bruch{\wurzel {3}^3-3\wurzel{3} }{-12}+ \bruch{10 }{-12}i[/mm]
>  
>
> Wenn ich [mm]\wurzel{3}[/mm] ausklammer verschwindet mein Realteil
> und ich hätte nur noch
>
> [mm]z = - \bruch{5 }{6}i[/mm] übrig.
>  
> Ist das soweit richtig oder habe ich mich gründlich
> verfahren?

>

Nicht verfahren, aber leicht verrechnet! Der Weg stimmt, aber du hast deinen Fuss einmal in einem Schlagloch vertreten.
  
Mit lieben Grüssen

Paul

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Rechnen mit Komplexen Zahlen: Rückfragen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Di 08.03.2005
Autor: Machi

Hallo Paul,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Hatte auch schon überlegt, ob ich  [mm] \wurzel{3}^3 [/mm] anders schreiben soll. Nämlich [mm] 3^\bruch{3}{2} [/mm] bin aber nicht darauf gekommen, dass [mm] a^m*a^n=a^{m+n} [/mm] gilt und man [mm] 3^1*3^\bruch{1}{2}=3*\wurzel{3} [/mm] schreiben könnte. Danke für diesen Hinweis. Denn diese Tatsache vereinfacht die nachfolgenden Schritte.

[mm]z = \bruch{3^3*(\wurzel {3}^3-(3* \wurzel{3}^2*i)+(3\wurzel{3}*i^2) - i^3)}{-3^4* (1^4+(4*1^3*i)+(6*1^2*i^2)+(4*1*i^3)+i^4)}[/mm]

[mm]z = \bruch{1*(3*\wurzel {3}-9i-3*\wurzel{3} +i)}{3* (1+4i-6+4i+1)}[/mm]

[mm]z = \bruch{-8i}{-12}=\bruch{2}{3}i[/mm]


> Nun, dein Vorgehen ist sicher korrekt. (Wenngleich es in
> diesen Spezialfall auch etwas anders ginge: Darstellung von
> [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] in der Darstellung [mm]r_k*e^{ik};\, (k\in {1,2}[/mm],
> weil es hier "schöne" Winkel gibt. In dieser Darstellung
> rechnen und am Schluss wieder die Darstellung ändern.)

Hier bin leider schon recht früh gescheitert, aber ich kann ja mal zeigen, wie weit ich gekommen bin.

[mm] z_1=3* \wurzel{3}-3i [/mm]
[mm] z_2=3*(1+i) [/mm]

[mm]r_1 = \wurzel{(3* \wurzel{3})^2+(-3)^2}= \wurzel{36}=6[/mm]
[mm]sin \varphi_1 = \bruch{y_1}{|z_1|} = \bruch{3}{6}= \bruch{1}{2}[/mm]

[mm]\varphi_1 = 30° oder \bruch{ \pi}{6} [/mm]

[mm]r_2=3* \wurzel{1^2+1^2}= 3* \wurzel{2} [/mm]

[mm]tan \varphi_2 = \bruch{y_2}{x_2} = \bruch{1}{1}= 1[/mm]

[mm]\varphi_2 = 45° oder \bruch{ \pi}{4}[/mm]

Formal in die Formel [mm] z=x+yi=|z|*(cos\varphi+isin\varphi)=r*e^{i\varphi}[/mm] einsetzen.

[mm]z_1= 6* e^{i\bruch{ \pi}{6}} [/mm]

[mm]z_2= 3* \wurzel{2} *e^{i\bruch{ \pi}{4}}[/mm]

Die Augabe war ja: [mm]z= \bruch{z_1^3}{z_2^4}[/mm]

[mm]z= \bruch{ (6*e^{i\bruch{ \pi}{6}})^3}{(3* \wurzel{2} *e^{i\bruch{ \pi}{4}})^4}[/mm]


[mm]z= \bruch{ 6^3*e^{i\bruch{ 3\pi}{6}}}{(3* \wurzel{2})^4 *e^{i\bruch{ 4\pi}{4}}}[/mm]

[mm]z= \bruch{ 6^3*e^{i\bruch{ \pi}{2}}}{(3* \wurzel{2})^4 *e^{i\pi}}[/mm]

[mm]z= \left( \bruch{ 6^3}{(3* \wurzel{2})^4} \right)*e^{i(\bruch{ \pi}{2}-\pi)} [/mm]

und jetzt kommt die Selle, wo es klemmt:

[mm]z= \left( \bruch{ 49}{81} \right)*e^{i(-\bruch{ \pi}{2})} [/mm]

Leider kann ich mit dem [mm]-\bruch{ \pi}{2}[/mm] nichts anfangen und weiß deshalb auch nicht, wie ich es in die z=x+yi Darstellung zurück transformieren soll - mal abesehen davon, dass ich mir nicht sicher bin, ob ich soweit richtig vorgegangen bin.

Währen sehr freundlich, wenn das mal jemand durchschauen könnte und mir vielleicht den einen oder anderen Hinweis geben könnte.


Vielen Dank noch mals.

mit freundlichen Grüssen
Mark



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Rechnen mit Komplexen Zahlen: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 Di 08.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Mark!



> [mm]z = \bruch{3^3*(\wurzel {3}^3-(3* \wurzel{3}^2*i)+(3\wurzel{3}*i^2) - i^3)}{\red{(}-3\red{)}^4* (1^4+(4*1^3*i)+(6*1^2*i^2)+(4*1*i^3)+i^4)}[/mm]

[aufgemerkt] Achtung: bitte mit Klammern aufpassen !!
(Du rechnest nachher ja richtig weiter ...)



> [mm]z = \bruch{1*(3*\wurzel {3}-9i-3*\wurzel{3} +i)}{3* (1+4i-6\red{-}4i+1)}[/mm]

(Wahrscheinlich) Kleiner Tippfehler ... (siehe Korrektur)!



> [mm]z = \bruch{-8i}{-12}=\bruch{2}{3}i[/mm]

[daumenhoch] Prima!!



Und nun der andere Weg ...

> Hier bin leider schon recht früh gescheitert, aber ich kann
> ja mal zeigen, wie weit ich gekommen bin.

Das sieht schon mal nicht schlecht aus ...



> [mm]z_1=3* \wurzel{3}-3i[/mm]
> [mm]z_2=3*(1+i)[/mm]
>  
> [mm]r_1 = \wurzel{(3* \wurzel{3})^2+(-3)^2}= \wurzel{36}=6[/mm]

[daumenhoch]


> [mm]\sin \varphi_1 = \bruch{y_1}{|z_1|} = \bruch{3}{6}= \bruch{1}{2}[/mm]

[notok] Du mußt den Wert für [mm] $y_1$ [/mm] mit Vorzeichen einsetzen:
[mm]\sin \varphi_1 = \bruch{y_1}{|z_1|} = \bruch{\red{-}3}{6}= \red{-}\bruch{1}{2}[/mm]

[mm] $\Rightarrow$[/mm]  [mm]\varphi_1 = \red{-}30°[/mm] oder  [mm]\varphi_1 = \red{-}\bruch{\pi}{6}[/mm]
Das sieht man auch ganz gut in der Zahlenebene:
[mm] $z_1$ [/mm] liegt ja unterhalb der x-Achse.




> [mm]r_2=3* \wurzel{1^2+1^2}= 3* \wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]\tan \varphi_2 = \bruch{y_2}{x_2} = \bruch{\red{3}}{\red{3}} = \bruch{1}{1} = 1[/mm]
>  
> [mm]\varphi_2 = 45°[/mm]  oder  [mm]\varphi_1 = \bruch{ \pi}{4}[/mm]

[daumenhoch]



> Formal in die Formel [mm]z=x+yi=|z|*(\cos\varphi+i*\sin\varphi)=r*e^{i\varphi}[/mm] einsetzen.
>  
> [mm]z_1= 6 * e^{i*\bruch{\red{-} \pi}{6}}[/mm]
>  
> [mm]z_2= 3* \wurzel{2} *e^{i*\bruch{ \pi}{4}}[/mm]


> Die Aufgabe war ja: [mm]z= \bruch{z_1^3}{z_2^4}[/mm]
>  
> [mm]z= \bruch{ (6*e^{i*\left(\red{-}\bruch{ \pi}{6}\right)})^3}{(3* \wurzel{2} *e^{i*\bruch{ \pi}{4}})^4}[/mm]
>  
> [mm]z= \bruch{ 6^3*e^{i*\left(\red{-} \bruch{ 3\pi}{6}\right)}}{(3* \wurzel{2})^4 *e^{i\bruch{ 4\pi}{4}}}[/mm]
>  
>
> [mm]z= \bruch{ 6^3*e^{i*\left(\red{-} \bruch{ \pi}{2}\right)}}{(3* \wurzel{2})^4 *e^{i*\pi}}[/mm]
>  
>
> [mm]z= \left( \bruch{ 6^3}{(3* \wurzel{2})^4} \right)*e^{i*\left(\red{-} \bruch{ \pi}{2}-\pi\right)}[/mm]
>  
>
> und jetzt kommt die Selle, wo es klemmt:
>  
> [mm]z= \left( \bruch{ 49}{81} \right)*e^{i*\left(-\bruch{ \red{3} \pi}{2}\right)}[/mm]

[notok]

Hier habe ich erhalten:
[mm]z= \left( \bruch{2}{3} \right)*e^{i*\left(-\bruch{ \red{3} \pi}{2}\right)}[/mm]

>  
>
> Leider kann ich mit dem [mm]-\bruch{\red{3} \pi}{2}[/mm] nichts anfangen
> und weiß deshalb auch nicht, wie ich es in die z=x+yi
> Darstellung zurück transformieren soll - mal abesehen
> davon, dass ich mir nicht sicher bin, ob ich soweit richtig
> vorgegangen bin.

Der Wert [mm]- \ \bruch{3}{2}\pi[/mm] entspricht ja nun genau unserem Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] der gesuchten Zahl $z$.

Über die Winkelfunktionen und mit dem Betrag $|z| \ = \ r \ = \ [mm] \bruch{2}{3}$ [/mm] kann man nun den Realteil $x$ sowie den Imaginärteil $y$ zurückrechnen:

[mm] $\sin( \varphi [/mm] ) \ = \ [mm] \bruch{y}{r}$ $\gdw$ [/mm]   $y \ = \ r * [mm] \sin( \varphi [/mm] )$

[mm] $\cos( \varphi [/mm] ) \ = \ [mm] \bruch{x}{r}$ $\gdw$ [/mm]   $x \ = \ r * [mm] \cos( \varphi [/mm] )$


Hier müsste ja dann auch $x \ = \ 0$ bzw. $y \ = \ [mm] \bruch{2}{3}$ [/mm] herauskommen (was es ja auch wirklich tut)...


Gruß
Loddar


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Rechnen mit Komplexen Zahlen: Vielen Dank
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:34 Mi 09.03.2005
Autor: Machi

Hallo Paul und Loddar,

vielen Dank Euch beiden für die umfassende Hilfe.
Hab's nochmal durchgerechnet und jetzt klapp's auf beiden Wegen. Danke nochmals.

> > [mm]z = \bruch{3^3*(\wurzel {3}^3-(3* \wurzel{3}^2*i)+(3\wurzel{3}*i^2) - i^3)}{\red{(}-3\red{)}^4* (1^4+(4*1^3*i)+(6*1^2*i^2)+(4*1*i^3)+i^4)}[/mm]
>  
> [aufgemerkt] Achtung: bitte mit Klammern aufpassen !!
>  (Du rechnest nachher ja richtig weiter ...)

Ups, auf meinem Zettel stand's richtig, aber irgendwie bin ich beim Editieren der Formel durcheinander gekommen. Danke für den Hinweis.


Habe hier den 2. Weg nochmal ausführlich nachgerechnet, falls mal jemand über diese Aufgabe stolpert und diese selber als Übung nachrechnen möchte.

[mm]z_1=3* \wurzel{3}-3i[/mm]
[mm]z_2=3*(1+i)[/mm]

[mm]r_1 = \wurzel{(3* \wurzel{3})^2+(-3)^2}= \wurzel{36}=6[/mm]

Vielen Dank für die Korrektur an den folgenden Schritten (in Loddars Antwort)

[mm]\sin \varphi_1 = \bruch{y_1}{|z_1|} = \bruch{-3}{6}= -\bruch{1}{2}[/mm]

[mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\varphi_1 = -30°[/mm] oder  [mm]\varphi_1 = -\bruch{\pi}{6}[/mm]

> Das sieht man auch ganz gut in der Zahlenebene:
>  [mm]z_1[/mm] liegt ja unterhalb der x-Achse.



[mm]r_2=3* \wurzel{1^2+1^2}= 3* \wurzel{2}[/mm]

[mm]\tan \varphi_2 = \bruch{y_2}{x_2} = \bruch{1}{1} = 1[/mm]

[mm]\varphi_2 = 45°[/mm]  oder  [mm]\varphi_1 = \bruch{ \pi}{4}[/mm]

Formal in die Formel
[mm]z=x+yi=|z|*(\cos\varphi+i*\sin\varphi)=r*e^{i\varphi}[/mm]
einsetzen.

[mm]z_1= 6 * e^{i*\bruch{- \pi}{6}}[/mm]

[mm]z_2= 3* \wurzel{2} *e^{i*\bruch{ \pi}{4}}[/mm]

Die Aufgabe war ja: [mm]z= \bruch{z_1^3}{z_2^4}[/mm]

[mm]z= \bruch{ (6*e^{i*\left(-\bruch{ \pi}{6}\right)})^3}{(3* \wurzel{2} *e^{i*\bruch{ \pi}{4}})^4}[/mm]

[mm]z= \bruch{ 6^3*e^{i*\left(-\bruch{ 3\pi}{6}\right)}}{(3* \wurzel{2})^4 *e^{i\bruch{ 4\pi}{4}}}[/mm]

[mm]z= \bruch{ 6^3*e^{i*\left(- \bruch{ \pi}{2}\right)}}{(3* \wurzel{2})^4 *e^{i*\pi}}[/mm]

[mm]z= \left( \bruch{ 6^3}{(3* \wurzel{2})^4} \right)*e^{i*\left(\- \bruch{ \pi}{2}-\pi\right)}[/mm]


> > und jetzt kommt die Selle, wo es klemmt:
>  >  
> > [mm]z= \left( \bruch{ 49}{81} \right)*e^{i*\left(-\bruch{ \red{3} \pi}{2}\right)}[/mm]
>  
> [notok]
>  
> Hier habe ich erhalten:
>  [mm]z= \left( \bruch{2}{3} \right)*e^{i*\left(-\bruch{ \red{3} \pi}{2}\right)}[/mm]

Ich jetzt auch: irgendwie bin ich auf 196 für [mm] 6^3 [/mm] gekommen - bitte nicht lachen.


> Der Wert [mm]- \ \bruch{3}{2}\pi[/mm] entspricht ja nun genau
> unserem Winkel [mm]\varphi[/mm] der gesuchten Zahl [mm]z[/mm].

Danke für die Erklärung - ich war mir nicht sicher, ob ich den Wert einfach in die Formeln, nach denen ich oben die Winkel bestimmt habe einsetzen darf. Das Minus hat mich ein wenig gestört.


> Über die Winkelfunktionen und mit dem Betrag [mm]|z| \ = \ r \ = \ \bruch{2}{3}[/mm]
> kann man nun den Realteil [mm]x[/mm] sowie den Imaginärteil [mm]y[/mm]
> zurückrechnen:
>  
> [mm]\sin( \varphi ) \ = \ \bruch{y}{r}[/mm]   [mm]\gdw[/mm]   [mm]y \ = \ r * \sin( \varphi )[/mm]
>  
>
> [mm]\cos( \varphi ) \ = \ \bruch{x}{r}[/mm]   [mm]\gdw[/mm]   [mm]x \ = \ r * \cos( \varphi )[/mm]

Na dann versuch ich's mal:

[mm]y \ = \ r * \sin( \varphi ) \ = \bruch{2}{3}*\sin\left(- \bruch{13}{2} \pi\right)[/mm]


[mm]y \ = \ r * \sin( \varphi ) \ = \bruch{2}{3}*(-(- 1))=\bruch{2}{3} [/mm]

Imaginärteil ist also: [mm]y = i* \bruch{2}{3} [/mm]

[mm]x = r * \cos( \varphi ) =\bruch{2}{3}*\cos\left(- \bruch{13}{2} \pi\right) \ = \bruch{2}{3}*0 = 0[/mm]

der Realteil ist also [mm]x = 0[/mm]


Vielen Dank

Mit freundlichen Grüssen
Mark

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Rechnen mit Komplexen Zahlen: (Mini-)Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Mi 09.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Mark!


> Hab's nochmal durchgerechnet und jetzt klapp's auf beiden
> Wegen. Danke nochmals.

[daumenhoch] Prima ...



> Ich jetzt auch: irgendwie bin ich auf 196 für [mm]6^3[/mm] gekommen
> - bitte nicht lachen.

Macht ja nix - kann ja mal passieren ...



> Na dann versuch ich's mal:
> [mm]y \ = \ r * \sin( \varphi ) \ = \bruch{2}{3}*\sin\left(- \bruch{13}{2} \pi\right)[/mm]

[notok] Bestimmt nur'n Tippfehler:
[mm]y \ = \ r * \sin( \varphi ) \ = \bruch{2}{3}*\sin\left(- \bruch{\red{3}}{2} \pi\right)[/mm]

> Imaginärteil ist also: [mm]y = i* \bruch{2}{3}[/mm]

[notok] Der Imaginärteil ist lediglich die Zahl vor dem $i$:
[mm] $Im\left( z \right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}$ [/mm]  (also ohne $i$) !



> [mm]x = r * \cos( \varphi ) =\bruch{2}{3}*\cos\left(- \bruch{13}{2} \pi\right) \ = \bruch{2}{3}*0 = 0[/mm]

[notok] siehe oben!
[mm]x = r * \cos( \varphi ) =\bruch{2}{3}*\cos\left(- \bruch{\red{3}}{2} \pi\right) \ = \bruch{2}{3}*0 = 0[/mm]


> der Realteil ist also [mm]x = 0[/mm]

[daumenhoch]


Grüße
Loddar


Bezug
                                                
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Rechnen mit Komplexen Zahlen: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:45 Mi 09.03.2005
Autor: Machi

Hallo Loddar,

> > Imaginärteil ist also: [mm]y = i* \bruch{2}{3}[/mm]
>  [notok] Der
> Imaginärteil ist lediglich die Zahl vor dem [mm]i[/mm]:
>  [mm]Im\left( z \right) \ = \ \bruch{2}{3}[/mm]  (also ohne [mm]i[/mm]) !...

Achso. Stimmt. Meine Zahl währe ja yi und nicht y.


Vielen Dank, dass Du Dir noch mal die Mühe gemacht hast und alles noch mal durchgeschaut hast.

Mit freudnlichen Grüssen
Mark

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