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Potenzreihen: Mac Laurinsche Reihe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Sa 02.01.2016
Autor: sonic5000

Hallo,

folgende Funktion soll mit Hilfe der Mac Laurinschen Reihe entwickelt werden (einzeln Entwicklen und dann gliedweise ausmultiplizieren)

[mm] f(x)=e^{-2x}*cos(x) [/mm]

Meine erste Frage: Wenn ich gliedweise ausmultipliziere muss ich dann immer gleich viele Ableitungen multiplizieren oder gleichviele Glieder? (Beispiel: Wenn ich cos(x) viermal ableite bekomme ich zwei Glieder... Wenn ich [mm] e^{-2x} [/mm] ableite bekomme ich 4 Glieder...)

Auserdem ist danach gefragt in welchem Bereich die Reihe konvergiert. Das Ergebnis im Buch sieht so aus:

[mm] f(x)=e^{-2x}*cos(x)=1-2x+\br{3}{2}x^2-\br{1}{3}x^3-\br{7}{24}x^4 [/mm] Konvergenzbereich [mm] |x|<\infty [/mm]

Woher wissen die das? Die Formel geht ja so:

[mm] \lim_{n\to\infty}|\br{a_n}{a_{n+1}}| [/mm]

Ich wüsste nicht wie man aus der Reihe ein Bildungsgesetz formulieren sollte?



        
Bezug
Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Sa 02.01.2016
Autor: abakus

Ich würde jetzt argumentieren, dass bei den beteiligten Reihen der cos-Funktion und der e-Funktion der Konvergenzradius jeweils unendlich ist.
Das sollte (? - gibt es so einen Satz?) dann auch für das Produkt der Reihen gelten.

Bezug
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