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Logarithmusreihe: vs. Logarithmusfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Fr 09.04.2010
Autor: Pacapear

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zur Logarithmusreihe.
Und zwar zum Zusammenhang zwischen der Logarithmusreihe und der Logarithmusfunktion.

Im Buch ist die Logarithmusreihe definiert als [mm] L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n} [/mm] für [mm] x\in(-1,1) [/mm]

Dann steht dort weiter:

Die Logarithmusreihe divergiert für $x>1$, obwohl die Logarithmusfunktion dort definiert ist. Für $x=1$ ist die Logarithmusreihe noch konvergent. Es ist aber keineswegs selbstverständlich, dass sie auch dort die Logarithmusfunktion darstellt. Das dies doch der Fall ist, besagt die faszinierende Formel [mm] ln(2)=\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\bruch{1}{k} [/mm]

Diesen Abschnitt verstehe ich nicht.
Zuerst sagen wir, dass die Log-Reihe für x-Werte größer als 1 nicht mehr gegen einen bestimmten Wert strebt, die Log-Funktion für solche x-Werte aber definiert ist.
Heißt das, für $x>1$ stimmen Log-Reihe und Log-Funktion nicht überein?
Dann steht da, dass für $x=1$ die Log-Reihe konvergiert, dass es aber nicht verständlich ist, dass sie dort (also an der Stelle $x=1$) die Logfunktion darstellt, was sie aber tut.
Was genau heißt es, dass die Log-Reihe die Log-Funktion darstellt?
Heißt dass, dass der Wert der Log-Reihe und der Log-Funktion an der Stelle x gleich sind?
Und was hat die Formel für $ln(2)$ mit der Konvergenz der Log-Reihe im Punkt $x=1$ zu tun?
Wie kann die Log-Reihe überhaupt für $x=1$ konvergieren, wenn sie für $x=1$ gar nicht definiert ist?
Und was ist mit den x-Werten kleiner als 1?

Dann haben wir noch eine Formel.
Sie ist quasi identisch mit der Log-Reihe: [mm] ln(1+x)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n} [/mm] für [mm] x\in(-1,1) [/mm]
Heißt das, die Logarithmusreihe ist gleich dem Logarithmus von $1+x$?

Ich blicke da irgendwie nicht durch, wie die Logarithmusreihe und die Logarithmusfunktion zusammenhängen.

Kann mir jemand weiterhelfen?

LG Nadine

        
Bezug
Logarithmusreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Fr 09.04.2010
Autor: abakus


> Hallo zusammen!
>  
> Ich habe eine Frage zur Logarithmusreihe.
>  Und zwar zum Zusammenhang zwischen der Logarithmusreihe
> und der Logarithmusfunktion.
>  
> Im Buch ist die Logarithmusreihe definiert als
> [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}[/mm] für
> [mm]x\in(-1,1)[/mm]

Vorsichtig!
Das ist nicht die Reihenentwicklung für ln x, sondern für ln(1+x).
Da x von -1 bis 1 gehen darf (Konvergenzradius 1), kann man damit -grob gesagt- die natürlichen Logarithmern zwischen 0 und 2 berechnen.
Wie sieht es mit den Grenzen aus?
Für x=-1 kann man den Logarithmus NICHT berechnen, den ln(1-1)=ln 0 ist nicht definiert. Für x=1 kann man - wie im Artikel steht - gerade noch den Wert für ln(1+1)=ln 2 erhalten.
Für x>1 divergiert die Reihe (probviere es doch einfach mal mit Excel o.ä. aus.)
Gruß Abakus

>  
> Dann steht dort weiter:
>  
> Die Logarithmusreihe divergiert für [mm]x>1[/mm], obwohl die
> Logarithmusfunktion dort definiert ist. Für [mm]x=1[/mm] ist die
> Logarithmusreihe noch konvergent. Es ist aber keineswegs
> selbstverständlich, dass sie auch dort die
> Logarithmusfunktion darstellt. Das dies doch der Fall ist,
> besagt die faszinierende Formel
> [mm]ln(2)=\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\bruch{1}{k}[/mm]
>  
> Diesen Abschnitt verstehe ich nicht.
>  Zuerst sagen wir, dass die Log-Reihe für x-Werte größer
> als 1 nicht mehr gegen einen bestimmten Wert strebt, die
> Log-Funktion für solche x-Werte aber definiert ist.
>  Heißt das, für [mm]x>1[/mm] stimmen Log-Reihe und Log-Funktion
> nicht überein?
>  Dann steht da, dass für [mm]x=1[/mm] die Log-Reihe konvergiert,
> dass es aber nicht verständlich ist, dass sie dort (also
> an der Stelle [mm]x=1[/mm]) die Logfunktion darstellt, was sie aber
> tut.
>  Was genau heißt es, dass die Log-Reihe die Log-Funktion
> darstellt?
>  Heißt dass, dass der Wert der Log-Reihe und der
> Log-Funktion an der Stelle x gleich sind?
>  Und was hat die Formel für [mm]ln(2)[/mm] mit der Konvergenz der
> Log-Reihe im Punkt [mm]x=1[/mm] zu tun?
>  Wie kann die Log-Reihe überhaupt für [mm]x=1[/mm] konvergieren,
> wenn sie für [mm]x=1[/mm] gar nicht definiert ist?
>  Und was ist mit den x-Werten kleiner als 1?
>  
> Dann haben wir noch eine Formel.
>  Sie ist quasi identisch mit der Log-Reihe:
> [mm]ln(1+x)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}[/mm] für
> [mm]x\in(-1,1)[/mm]
>  Heißt das, die Logarithmusreihe ist gleich dem
> Logarithmus von [mm]1+x[/mm]?
>  
> Ich blicke da irgendwie nicht durch, wie die
> Logarithmusreihe und die Logarithmusfunktion
> zusammenhängen.
>  
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>  
> LG Nadine


Bezug
                
Bezug
Logarithmusreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Fr 09.04.2010
Autor: Pacapear

Hallo!


> > Im Buch ist die Logarithmusreihe definiert als
> > [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}[/mm] für
> > [mm]x\in(-1,1)[/mm]

>  Vorsichtig!
>  Das ist nicht die Reihenentwicklung für ln x, sondern
> für ln(1+x).

Also heißt das, für x zwischen -1 und 1 ist die Logarithmusreihe von x gleich dem natürlichen Logarithmus von x+1?



> Da x von -1 bis 1 gehen darf (Konvergenzradius 1), kann
> man damit -grob gesagt- die natürlichen Logarithmern
> zwischen 0 und 2 berechnen.

Warum grob gesagt?

Wenn n ganz ganz ganz groß wird, dann ist doch der Grenzwert der Log-Reihe genau der Wert des natürlichen Logarithmus, oder?

[Eine Frage: Wenn man bei Reihen sagt, dass n ganz groß wird, also wenn man den Limes für n gegen Unendlich betrachtet, wird dann nur der Summand für n="ganz groß" betrachtet oder alle Summanden bis n="ganz groß"?]



> Wie sieht es mit den Grenzen aus?
> Für x=-1 kann man den Logarithmus NICHT berechnen, den
> ln(1-1)=ln 0 ist nicht definiert.

Aber mit $ [mm] L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n} [/mm] $ kann ich doch einen Wert für x=-1 berechnen, oder nicht?

D.h. nicht so wirklich, oder, das Ergebnis wird immer immer kleiner:

[mm] L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{(-1)^n}{n}=-1-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}-... [/mm]



> Für x=1 kann man - wie
> im Artikel steht - gerade noch den Wert für ln(1+1)=ln 2
> erhalten.

Aber warum kann ich ln(2) berechnen, wenn L(x) nicht definiert ist für 1?

Die Log-Reihe divergiert bei mir auch:

[mm] L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{1^n}{n}=1+(-1)+1+(-1)+-...=-1 [/mm] oder 1



LG Nadine

Bezug
                        
Bezug
Logarithmusreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:35 Fr 09.04.2010
Autor: abakus


> Hallo!
>  
>
> > > Im Buch ist die Logarithmusreihe definiert als
> > > [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}[/mm] für
> > > [mm]x\in(-1,1)[/mm]
>  
> >  Vorsichtig!

>  >  Das ist nicht die Reihenentwicklung für ln x, sondern
> > für ln(1+x).
>  
> Also heißt das, für x zwischen -1 und 1 ist die
> Logarithmusreihe von x gleich dem natürlichen Logarithmus
> von x+1?
>  
>
>
> > Da x von -1 bis 1 gehen darf (Konvergenzradius 1), kann
> > man damit -grob gesagt- die natürlichen Logarithmern
> > zwischen 0 und 2 berechnen.
>  
> Warum grob gesagt?
>  
> Wenn n ganz ganz ganz groß wird, dann ist doch der
> Grenzwert der Log-Reihe genau der Wert des natürlichen
> Logarithmus, oder?
>  
> [Eine Frage: Wenn man bei Reihen sagt, dass n ganz groß
> wird, also wenn man den Limes für n gegen Unendlich
> betrachtet, wird dann nur der Summand für n="ganz groß"
> betrachtet oder alle Summanden bis n="ganz groß"?]
>  
>
>
> > Wie sieht es mit den Grenzen aus?
>  > Für x=-1 kann man den Logarithmus NICHT berechnen, den

> > ln(1-1)=ln 0 ist nicht definiert.
>
> Aber mit
> [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}[/mm] kann
> ich doch einen Wert für x=-1 berechnen, oder nicht?
>  
> D.h. nicht so wirklich, oder, das Ergebnis wird immer immer
> kleiner:
>  
> [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{(-1)^n}{n}=-1-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}-...[/mm]
>  
>
>
> > Für x=1 kann man - wie
> > im Artikel steht - gerade noch den Wert für ln(1+1)=ln 2
> > erhalten.
>  
> Aber warum kann ich ln(2) berechnen, wenn L(x) nicht
> definiert ist für 1?
>  
> Die Log-Reihe divergiert bei mir auch:
>  
> [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{1^n}{n}=1+(-1)+1+(-1)+-...=-1[/mm]
> oder 1

Hallo, du hast das "geteilt durch n" vergessen.
Gruß Abakus

>  
>
>
> LG Nadine


Bezug
                                
Bezug
Logarithmusreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:01 Sa 10.04.2010
Autor: Pacapear

Hallo!



> [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{1^n}{n}=1+(-1)+1+(-1)+-...=-1[/mm]
> > oder 1
>  Hallo, du hast das "geteilt durch n" vergessen.

Ok.

Dann hab ich [mm] 1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+-... [/mm]

Aber wenn die Log-Reihe für x=1 konvergiert, warum ist sie dann für x=1 nicht definiert?

Das verstehe ich nicht.



Kannst du mir auch meine anderen Fragen beantworten?

1)

> Also heißt das, für x zwischen -1 und 1 ist die
> Logarithmusreihe von x gleich dem natürlichen Logarithmus
> von x+1?

2)

> Warum grob gesagt?
>  
> Wenn n ganz ganz ganz groß wird, dann ist doch der
> Grenzwert der Log-Reihe genau der Wert des natürlichen
> Logarithmus, oder?
>  
> [Eine Frage: Wenn man bei Reihen sagt, dass n ganz groß
> wird, also wenn man den Limes für n gegen Unendlich
> betrachtet, wird dann nur der Summand für n="ganz groß"
> betrachtet oder alle Summanden bis n="ganz groß"?]



LG Nadine

Bezug
                                        
Bezug
Logarithmusreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:01 Sa 10.04.2010
Autor: angela.h.b.



> Aber wenn die Log-Reihe für x=1 konvergiert, warum ist sie
> dann für x=1 nicht definiert?
>  
> Das verstehe ich nicht.

Hallo,

ich weiß nun nicht genau, was in Deinem Buch so alles getan wurde, könnte mir aber vorstellen, daß es dieses ist:

man hat die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n} [/mm] $ , und nun möchte man erstmal wissen, für welche x sie konvergiert.

Dazu berechnet man den Konvergenzradius R und stellt fest: R=1.

Weil man gut aufgepaßt hat, weiß man hiermit, daß für |x|<1 die Reihe konvergiert und für |x|>1 divergiert.

Weil sie für |x|=1 konvergiert, ist es überhaupt erst sinnvoll, eine Funktion L: [mm] (-1,1)\to \IR [/mm] zu definieren mit $ [mm] L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n} [/mm] $

Nun kann man der Sache noch etwas genauer auf den Grund gehen und schauen, was an den Intervallgrenzen passiert.

Dies wurde getan mit dem Ergebnis: Divergenz für x=-1, Konvergenz für x=1.

Wenn man Lust hat, kann man also eine Funktion [mm] \overline{L}:(-1,1]\to \IR [/mm] definieren mit [mm] \overline{L}(x)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}. [/mm]



>  
>
>
> Kannst du mir auch meine anderen Fragen beantworten?
>  
> 1)
>  > Also heißt das, für x zwischen -1 und 1 ist die

>  > Logarithmusreihe von x gleich dem natürlichen

> Logarithmus
>  > von x+1?

Ja.
Mir ist bisher nicht ganz klar, wie Ihr den ln definiert habt, hierfür gibt es mehrer gleichwertige Möglichkeiten.
Die eine Möglichkeit ist die, daß man sagt: ln(x+1):=L(x),

es kann aber auch sein, daß der ln bereits vorher da war und festgestellt wurde: juchhee, zwischen -1 und 1 ist L(x) ja gerade ln(x+1).

>
> 2)
>  > Warum grob gesagt?

Die Angabe "zwischen -1 und 1" ist halt nicht ganz präzise, und doch war sie im Zusammenhang brauchbar.

>  >  
> > Wenn n ganz ganz ganz groß wird, dann ist doch der
>  > Grenzwert der Log-Reihe genau der Wert des natürlichen

>  > Logarithmus, oder?

Ja, natürlich betrachten wir hier die unendliche Reihe.

>  >  
> > [Eine Frage: Wenn man bei Reihen sagt, dass n ganz groß
>  > wird, also wenn man den Limes für n gegen Unendlich

>  > betrachtet, wird dann nur der Summand für n="ganz

> groß"
>  > betrachtet oder alle Summanden bis n="ganz groß"?]

???

Endliche Reihe: [mm] \summe_{k=0}^{n}a_k=a_0+a_1+...+a_n, [/mm]

unendliche Reihe [mm] \summe_{k=0}^{n\infty}a_k=a_0+a_1+a_2+.... [/mm]


Vielleicht verwirrt Dich auch dies: [mm] \summe_{k=0}^{n\infty}a_k [/mm] steht nämlich für zweierlei.

1. Für die Folge der Partialsummen
2. Für den Grenzwert derselbigen


Gruß v. Angela

Bezug
                                                
Bezug
Logarithmusreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Sa 28.08.2010
Autor: Pacapear

Hallo Angela!

Es ist ja nun doch schon eine ganze Weile her, aber ich hab doch noch eine Frage hierzu.

> Mir ist bisher nicht ganz klar, wie Ihr den ln definiert
> habt, hierfür gibt es mehrer gleichwertige
> Möglichkeiten.
> Die eine Möglichkeit ist die, daß man sagt:
> ln(x+1):=L(x)

Ja, so haben wir das auch gemacht.

Aber damit hat man ja im Grunde nur die Logarithmen $ln(x+1)$ für x zwischen $(-1,1]$ definiert, also bis $ln(2)$.

Mehr wurde bei uns auch nicht gemacht.

Wie aber werden nun die restlichen Logarithmen für $x>1$ definiert, also $ln(3)$ usw.?

Und wo wrid definiert, dass für negative Argumente, also für $x<-1$ der Logarithmus gar nicht definiert ist?

LG Nadine


Bezug
                                                        
Bezug
Logarithmusreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Sa 28.08.2010
Autor: abakus


> Hallo Angela!
>  
> Es ist ja nun doch schon eine ganze Weile her, aber ich hab
> doch noch eine Frage hierzu.
>  
> > Mir ist bisher nicht ganz klar, wie Ihr den ln definiert
> > habt, hierfür gibt es mehrer gleichwertige
> > Möglichkeiten.
>  > Die eine Möglichkeit ist die, daß man sagt:

> > ln(x+1):=L(x)
>  
> Ja, so haben wir das auch gemacht.
>  
> Aber damit hat man ja im Grunde nur die Logarithmen [mm]ln(x+1)[/mm]
> für x zwischen [mm](-1,1][/mm] definiert, also bis [mm]ln(2)[/mm].
>  
> Mehr wurde bei uns auch nicht gemacht.
>  
> Wie aber werden nun die restlichen Logarithmen für [mm]x>1[/mm]
> definiert, also [mm]ln(3)[/mm] usw.?

Hallo,
entweder wählst du für die Taylorreihe einen anderen Entwicklungspunkt, damit du mit dessen Konvergenzradius wieder ein Stück des Def-Bereichs von ln(x) abdeckst,
oder du nutzt die Logarithmengesetze.
Da z.B. gilt [mm] ln(3)=-ln\bruch{1}{3}, [/mm] kannst du den ln von 1/3 ausrechnen und das Vorzeichen wechseln.
Den ln von 1/3 erhältst du als ln [mm] (1+(-\bruch{2}{3})) [/mm] durch die bekannte Reihenentwicklung von ln(1+x).


>  
> Und wo wrid definiert, dass für negative Argumente, also
> für [mm]x<-1[/mm] der Logarithmus gar nicht definiert ist?

Der Definitionsbereich von ln(x) ist Grundwissen aus Klasse 10; ln(x+1) ist lediglich um 1 verschoben.

Gruß Abakus

>  
> LG Nadine
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Logarithmusreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Sa 28.08.2010
Autor: Pacapear

Hallo!

> > Und wo wrid definiert, dass für negative Argumente, also
> > für [mm]x<-1[/mm] der Logarithmus gar nicht definiert ist?

>  Der Definitionsbereich von ln(x) ist Grundwissen aus
> Klasse 10; ln(x+1) ist lediglich um 1 verschoben.

Ja, das weiß ich :-)

Aber es muss doch auch irgendwo in der Definition ersichtlich sein, dass negative Argumente nicht erlaubt sind, oder?

LG Nadine


Bezug
                                                                        
Bezug
Logarithmusreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Sa 28.08.2010
Autor: abakus


> Hallo!
>  
> > > Und wo wrid definiert, dass für negative Argumente, also
> > > für [mm]x<-1[/mm] der Logarithmus gar nicht definiert ist?
>  
> >  Der Definitionsbereich von ln(x) ist Grundwissen aus

> > Klasse 10; ln(x+1) ist lediglich um 1 verschoben.
>  
> Ja, das weiß ich :-)
>  
> Aber es muss doch auch irgendwo in der Definition

In welcher?
Es gibt sicher viele verschiedene Möglichkeiten, die natürliche Logarithmusfunktion zu definieren.
Wenn wir mal die gängigste (Umkehrfunktion von f(x)=Exp(x) ) hernehmen, dürfte klar sein, warum es für negative Zahlen keinen ln gibt.
Gruß Abakus

> ersichtlich sein, dass negative Argumente nicht erlaubt
> sind, oder?
>  
> LG Nadine
>  


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