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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:56 So 06.01.2008 | | Autor: | Laylah |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar: [mm] f_c(x) [/mm] = [mm]\bruch {x² + c -4 } {x + 2} [/mm] ; x [mm] \in \IR [/mm] ohne (-2) ; [mm] c\in \IR [/mm] (vorerst positiv)
1.) - Bestimmung der Schittpunkte mit x- und y-Achse
- Angabe der Asymptotengleichungen
(falls nötig, Fallunterscheidung durchführen!)
2.) - Bestimmung der Extremwerte der Scharfunktionen
- Ermittlung der Ortskurve aller Tiefpunkte
((3.) Besonderheiten des Schaubilds für c=1))
4.) Punktsymmetrie aller Scharkurven nachweisen |
((Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, nur online nach Lösungsansätzen gesucht, dann selbst erarbeitet))
Hallo zusammen!
Es geht um die Kurvendiskussion der angegebenen gebrochen-rationalen Funktionenschar mit Parameter c.
Danke an alle die sich die Zeit nehmen meine Ergebnisse durchzusehen und ihre Hilfe anbieten, Rückmeldung und Feedback erfolgt auf jeden Fall :)
Mir gefällt die Übersichtlichkeit dieses Forums bereits sehr gut und ich werde versuchen zu helfen wo ich kann.
Auch für Teilantworten bin ich sehr dankbar :)
Also, ich gehe der Reihe nach ( 1.) - 4.) ) vor und stelle dabei Fragen:
zu 1.)
- für den y-Achsenabschnitt habe ich x=0 gesetzt und dann nach y aufgelöst, mein Ergebnis ist
S( 0 | [mm] \bruch{c-4}{2} [/mm] ). Richtig?
-für die Nullstellen habe ich den Zähler = 0 gesetzt und dann nach x aufgelöst.
meine Ergebnisse sind: [mm] x_1 [/mm] = [mm] \wurzel{4-c} [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = [mm] -\wurzel{4-c} [/mm] für c [mm] \le [/mm] 4.
Nun hätte ich mich damit zufrieden gegeben wenn ich nicht im Schaubild für c=0 die Besonderheit bemerkt hätte, dass diese Scharkurve eine Gerade ist (also nur eine Nullstelle hat). [b]Wie komme ich rechnerisch darauf und warum[b]?
/
- Die Asymptoten: Hier habe ich folgende 2 Vermutungen aufgestellt, die ich gerne mathematisch beweisen würde:
1.Vermutung: Die Funktionenschar besitzt eine Polstelle (Nullstelle im Nenner bei x=2) mit Vorzeichenwechsel (Grad des Nenners ist ungerade). Die Senkrechte durch die Polstelle ist die senkrechte Asymptote.
Nun habe ich versucht mich von rechts/links an die Definitionslücke (-2) anzunähern, theoretisch müsste [mm] f_c(x) [/mm] gegen [mm] +\infty [/mm] bzw. - [mm] \infty [/mm] laufen.
Stimmt das? Wie schreibe ich das formal schön und richtig auf (am besten ohne lim) ?
2.Vermutung: Die Funktionenschar besitzt eine schiefe Asymptote (wo erkenne ich ohne Schaubild den Unterschied zur Näherungskurve?) da gilt:
Zählergrad (2) = Nennergrad (1) +1
[mm] f_c(x) [/mm] wird also für x [mm] \to \pm \infty [/mm] nie Unendlich und auch nie Null (richtig?)
sondern strebt gegen eine Gerade.
Diese kann ich durch Polynomdivision bestimmen. Ich erhalte so einen Term und einen Bruch der gegen Null geht, der Term ist meine Geradengleichung:
y= x - 2
Bin ich soweit richtig vorgegangen?
Was genau ist in der Aufgabenstellung mit der Fallunterscheidung gemeint und ist sie hier nötig?
zu 2.)
Extremstellen sind Nullstellen der Ableitungsfunktion mit VZW.
Stimmt meine 1.Ableitung? Kann mir jemand die 2te ableiten?
[mm] f_c [/mm] '(x)= [mm] \bruch{x²+4x+c-4}{(x+2)²}
[/mm]
Ich setze also meine 1.Abl =0 und löse nach x auf, ich bekomme 2 x-Werte damit wäre die notwendige Bedingung für Extrema erfüllt, oder?
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{4-c}{5}} [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = [mm] -\wurzel{\bruch{4-c}{5}}
[/mm]
Dann komme ich bei der hinreichenden nicht weiter. Welche der beiden (VZW oder f'' ungleich 0) ist hier am besten? Kann mir jemand eine Hilfestellung dazu geben oder wenn möglich berechnen?
Hätte ich einen Tiefpunkt berechnet wüsste ich in Grundzügen wie ich die Ortskurve berechnen könnte, bin mir aber sehr unsicher dabei...
zu 3.)
Habe ich eine Zeichnung angefertigt, falls jemandem auf den ersten Blick besonderheiten auffallen kann er sie mir ja noch mitteilen
zu 4.)
Ich kenne nur die allgemeine Formel für Punktsymmetrie zum Punkt (x/y):
(f(x+h) + f(x-h)) = 2y
und habe mal eingesetz: Wie geht es jetzt weiter? Umformen und vereinfachen ist eine meiner Schwächen, kann mir jemand helfen?
[mm] \bruch{(x+h)² + c - 4}{(x+h) + 2} [/mm] + [mm] \bruch{(x-h)² + c - 4}{(x-h) + 2} [/mm] = 2y
Wie mache ich jetzt in Einzelschritten weiter und ist der Ansatz überhaupt richtig?
Vielen, vielen Dank an alle Helfenden!
~ LG Laylah
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Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
mal vorweg ein großes Lob an dich für einen vorbildlichen Frageartikel 
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gegeben ist die Funktionenschar: [mm]f_c(x)[/mm] = [mm]\bruch {x² + c -4 } {x + 2}[/mm]
> ; x [mm]\in \IR[/mm] ohne (-2) ; [mm]c\in \IR[/mm] (vorerst positiv)
>
> 1.) - Bestimmung der Schittpunkte mit x- und y-Achse
> - Angabe der Asymptotengleichungen
> (falls nötig, Fallunterscheidung durchführen!)
>
> 2.) - Bestimmung der Extremwerte der Scharfunktionen
> - Ermittlung der Ortskurve aller Tiefpunkte
>
> ((3.) Besonderheiten des Schaubilds für c=1))
>
> 4.) Punktsymmetrie aller Scharkurven nachweisen
> ((Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt, nur online nach Lösungsansätzen
> gesucht, dann selbst erarbeitet))
>
> Hallo zusammen!
>
>
> Es geht um die Kurvendiskussion der angegebenen
> gebrochen-rationalen Funktionenschar mit Parameter c.
>
> Danke an alle die sich die Zeit nehmen meine Ergebnisse
> durchzusehen und ihre Hilfe anbieten, Rückmeldung und
> Feedback erfolgt auf jeden Fall :)
> Mir gefällt die Übersichtlichkeit dieses Forums bereits
> sehr gut und ich werde versuchen zu helfen wo ich kann.
>
> Auch für Teilantworten bin ich sehr dankbar :)
>
>
> Also, ich gehe der Reihe nach ( 1.) - 4.) ) vor und stelle
> dabei Fragen:
>
>
> zu 1.)
>
> - für den y-Achsenabschnitt habe ich x=0 gesetzt und dann
> nach y aufgelöst, mein Ergebnis ist
> S( 0 | [mm]\bruch{c-4}{2}[/mm] ). Richtig?
>
> -für die Nullstellen habe ich den Zähler = 0 gesetzt und
> dann nach x aufgelöst.
> meine Ergebnisse sind: [mm]x_1[/mm] = [mm]\wurzel{4-c}[/mm] und [mm]x_2[/mm] =
> [mm]-\wurzel{4-c}[/mm] für c [mm]\le[/mm] 4.
Korrekt.
> Nun hätte ich mich damit zufrieden gegeben wenn ich nicht
> im Schaubild für c=0 die Besonderheit bemerkt hätte, dass
> diese Scharkurve eine Gerade ist (also nur eine Nullstelle
> hat). Wie komme ich rechnerisch darauf und warum?
Wenn du für c=0 einsetzt, erhältst du:
[mm] f_{0}(x)=\bruch{x^{2}-4}{x+2}=\bruch{(x+2)*(x-2)}{x-2}. [/mm] Du kannst durch (x-2) kürzen und siehst, dass damit die Def.Lücke 2 behoben wird. Das ist also eine Funktion mit hebbarer Def.Lücke bei x=2
> /
> - Die Asymptoten: Hier habe ich folgende 2 Vermutungen
> aufgestellt, die ich gerne mathematisch beweisen würde:
>
> 1.Vermutung: Die Funktionenschar besitzt eine Polstelle
> (Nullstelle im Nenner bei x=2) mit Vorzeichenwechsel (Grad
> des Nenners ist ungerade). Die Senkrechte durch die
> Polstelle ist die senkrechte Asymptote.
Nicht ganz... Wie ich oben schon geschrieben habe, ist x=2 eine hebbare Definitionslücke. Betrachte mal rechts- und linksseitigen Grenzwert der Stelle 2, dann merkst du, dass die beiden [mm] \bruch{c}{4} [/mm] sind.
> Nun habe ich versucht mich von rechts/links an die
> Definitionslücke (-2) anzunähern, theoretisch müsste [mm]f_c(x)[/mm]
> gegen [mm]+\infty[/mm] bzw. - [mm]\infty[/mm] laufen.
> Stimmt das? Wie schreibe ich das formal schön und richtig
> auf (am besten ohne lim) ?
>
> 2.Vermutung: Die Funktionenschar besitzt eine schiefe
> Asymptote (wo erkenne ich ohne Schaubild den Unterschied
> zur Näherungskurve?) da gilt:
> Zählergrad (2) = Nennergrad (1) +1
> [mm]f_c(x)[/mm] wird also für x [mm]\to \pm \infty[/mm] nie Unendlich und
> auch nie Null (richtig?)
> sondern strebt gegen eine Gerade.
> Diese kann ich durch Polynomdivision bestimmen. Ich
> erhalte so einen Term und einen Bruch der gegen Null geht,
> der Term ist meine Geradengleichung:
> y= x - 2
Richtig. Der Rest s. oben. Der Unterschied zur Näherungskurve ist einfach der Grad der Näherungsfunktion. Eine Asymptote (Gerade) ist eine Näherungsfunktion vom Grad 1, eine Parabel wäre vom Grad 2 usw. Kannst du am Unterschied zwischen Zähler- und Nennergrad sehen.
> Bin ich soweit richtig vorgegangen?
>
> Was genau ist in der Aufgabenstellung mit der
> Fallunterscheidung gemeint und ist sie hier nötig?
Du muss jeweils die Bedingungen für c angeben, das ist alles.
>
>
> zu 2.)
>
> Extremstellen sind Nullstellen der Ableitungsfunktion mit
> VZW.
> Stimmt meine 1.Ableitung? Kann mir jemand die 2te
> ableiten?
>
> [mm]f_c[/mm] '(x)= [mm]\bruch{x²+4x+c-4}{(x+2)²}[/mm]
>
Nicht ganz: [mm] f'(x)=\bruch{x²+4x-c+4}{(x+2)²}
[/mm]
> Ich setze also meine 1.Abl =0 und löse nach x auf, ich
> bekomme 2 x-Werte damit wäre die notwendige Bedingung für
> Extrema erfüllt, oder?
Japp.
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{4-c}{5}}[/mm] und [mm]x_2[/mm] =
Das solltest du nochmal neu berechnen.
> [mm]-\wurzel{\bruch{4-c}{5}}[/mm]
>
> Dann komme ich bei der hinreichenden nicht weiter. Welche
> der beiden (VZW oder f'' ungleich 0) ist hier am besten?
Das ist egal... Ich nutze am liebsten das hinr. Krit. mit der zweiten Ableitung.
Die zweite Ableitung ist:
[mm] f''(x)=\bruch{2*c}{(x+2)^{3}}
[/mm]
> Kann mir jemand eine Hilfestellung dazu geben oder wenn
> möglich berechnen?
>
> Hätte ich einen Tiefpunkt berechnet wüsste ich in
> Grundzügen wie ich die Ortskurve berechnen könnte, bin mir
> aber sehr unsicher dabei...
Du nimmst den x-Wert deines Extrem- oder Wendepunktes, löst diesen nach dem Parameter (hier "c") auf und setzt das in den Funktionswert (y-Wert) des Punktes ein, dann erhältst du die Ortskurve.
>
>
> zu 3.)
> Habe ich eine Zeichnung angefertigt, falls jemandem auf den
Zeichnung ist immer gut !
Naja zu den besonderheiten gehören senk. und schiefe Asymptoten usw usf.
> ersten Blick besonderheiten auffallen kann er sie mir ja
> noch mitteilen
>
>
> zu 4.)
>
> Ich kenne nur die allgemeine Formel für Punktsymmetrie zum
> Punkt (x/y):
> (f(x+h) + f(x-h)) = 2y
>
> und habe mal eingesetz: Wie geht es jetzt weiter? Umformen
> und vereinfachen ist eine meiner Schwächen, kann mir jemand
> helfen?
>
> [mm]\bruch{(x+h)² + c - 4}{(x+h) + 2}[/mm] + [mm]\bruch{(x-h)² + c - 4}{(x-h) + 2}[/mm]
Hier bin ich leider gerade überfragt, liegt wohl auch an der Uhrzeit...
> = 2y
>
> Wie mache ich jetzt in Einzelschritten weiter und ist der
> Ansatz überhaupt richtig?
>
>
> Vielen, vielen Dank an alle Helfenden!
>
> ~ LG Laylah
>
>
>
Liebe Grüße,
exeqter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:11 So 06.01.2008 | | Autor: | Laylah |
Vielen Dank exeqter für deine schnelle Antwort und das gründliche Nachprüfen meiner Ergebnisse, aufgrund der Uhrzeit wie du schon sagtest werde ich mich morgen noch mal ransetzen und mehr schreiben.
Zu dem Teil an dem du überfragt warst :(Symmetrie nachweisen): ich würde jetzt doch anders vorgehen, nämlich den Punkt (-4/-2) als Symmetriepunkt vermuten (augrund des Schaubildes) und dann einfach nachweisen. Versuchen werde ich es morgen.
Noch eine Frage: Könntest du die 2te Ableitung eventuell in Einzelschritten darstellen? Nur damit sie für mich nachvollziehbar ist?
Wäre nett,
LG Laylah
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 So 06.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Ich komme ihm dann einfach mal zuvor :)
Also
f'(x)= [mm] \bruch{x^{2}+4x-c+4}{(x+2)^{2}}
[/mm]
Die Quotientenregel benutzend, setzt man nun den Zähler u und den Nenner v.
Somit gilt:
[mm] u=x^{2}+4x-c+4 [/mm] u'=2x+4
[mm] v=(x+2)^{2} [/mm] v'=2*(x+2)
Das nun eingesetzt in:
f''(x)= [mm] \bruch{u'*v-u*v'}{v^{2}}
[/mm]
Ergibt:
[mm] f''(x)=\bruch{(2x+4)*(x+2)^{2} - (x^{2}+4x-c+4)*2*(x+2)}{(x+2)^{4}}
[/mm]
Ich würde dann einmal (x+2) kürzen, so dass man
[mm] f''(x)=\bruch{(2x+4)*(x+2) - (x^{2}+4x-c+4)*2*1}{(x+2)^{3}} [/mm] erhählt.
Nun noch die Klammern ausmultiplizieren ergibt:
[mm] f''(x)=\bruch{2x^{2}+4x+4x+8 -2x^{2}-8x+2c-8}{(x+2)^{3}}
[/mm]
Im Zähler hebt sich quasi alles auf bis auf das +2c, welches bestehen bleibt.
Somit haben wir die Ableitung:
[mm] f''(x)=\bruch{2c}{(x+2)^{3}}
[/mm]
Hoffe das ist so verständlich :/
Ciao, Lg
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