Konvergenz, gewichtetes Mittel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es gelte [mm] a_{n} \to [/mm] a und [mm] p_{n} [/mm] > 0 für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \summe_{k=1}^{n} p_{k} \to \infty
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] \bruch{ \summe_{k=1}^{n} p_{k}*a_{k}}{ \summe_{k=1}^{n} p_{k}} \to [/mm] a |
Hi,
ich muss sagen, dass mich dieses Beispiel etwas verwirrt.
Mein Problem liegt wesentlich darin, dass ich das [mm] p_{k} [/mm] nicht los werde um meine Konvergenzdefinition der Folge [mm] a_{n} [/mm] zu benutzen. Kann mir hier vllt. jemand einen Tipp geben?.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:00 Sa 02.01.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
ehm, kenn mich damit jetz nicht aus, aber warum geht nicht kürzen?
danach bleibt [mm] a_{k} [/mm] -> a
das wars?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:09 Sa 02.01.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
Die [mm] a_k [/mm] sind Teil der oberen Summe und aus Summen kürzen bekanntlich nur?
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:00 Sa 02.01.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
achso, habe das "falsch" gelesen, dachte die summe wird mit a mal genommen ;)
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Hiho,
es gilt [mm] $a_n \to [/mm] a$, d.h. für alle [mm] $\varepsilon$ [/mm] liegen ab einem [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] alle [mm] $a_n \in (a-\varepsilon, [/mm] a [mm] +\varepsilon)$.
[/mm]
Zerlege deine Summe dann jeweils in den Teil vor [mm] $n_0$ [/mm] und den nach [mm] $n_0$, [/mm] schätze durch obige Eigenschaft nach oben und unten ab und klammere dann $ [mm] \summe_{k=n_0}^{n} p_{k}$ [/mm] aus.
Letzendlich noch Grenzwert bilden und du bist fertig.
Gruß,
Gono
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Hi, ich bin leider nicht ganz so fix und muss noch etwas nachfragen :D.
Was ich noch nicht so wirklich verstehe ist was ich mit dem Teil < [mm] n_{0} [/mm] mache.
Für den Teil > [mm] n_{0} [/mm] hab ich jetzt :
[mm] \bruch{a-\varepsilon}{\summe_{k=1}^{n_{0}}p_{k}} \le \bruch{\summe_{k=n_{0}}^{n}p_{k}*a_{k}}{\summe_{k=1}^{n}p_{k}} \le \bruch{a+\varepsilon}{\summe_{k=1}^{n_{0}}p_{k}}
[/mm]
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Hiho,
> Für den Teil > [mm]n_{0}[/mm] hab ich jetzt :
>
>
> [mm]\bruch{a-\varepsilon}{\summe_{k=1}^{n_{0}}p_{k}} \le \bruch{\summe_{k=n_{0}}^{n}p_{k}*a_{k}}{\summe_{k=1}^{n}p_{k}} \le \bruch{a+\varepsilon}{\summe_{k=1}^{n_{0}}p_{k}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Schreibe doch mal bitte sauber auf, wie ich es dir beschrieben habe.
Links und rechts fehlt bspw. jeweils der Faktor [mm] $\summe_{k=n_0}^{n}p_{k}$ [/mm] und im Nenner muss natürlich immer [mm] $\summe_{k=1}^{n}p_{k}$ [/mm] stehen.
Darum: Schreibe es sauber auf!
Gruß,
Gono
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Ups, da ist gestern Abend was schief gegangen, hab ne Summe gekürzt. Also ich versuchs mal jetzt komplett aufzuschreiben.
Ich habe:
[mm] \bruch{\summe_{k=1}^{n}(p_{k}*a_{k})}{\summe_{k=1}^{n}p_{k}} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{k=1}^{n_{0}-1}(p_{k}*a_{k})+\summe_{k=n_{0}}^{n}(p_{k}*a_{k})}{\summe_{k=1}^{n}p_{k}} [/mm]
Jetzt kann ich abschätzen:
[mm] \bruch{\summe_{k=1}^{n_{0}-1}(p_{k}*a_{k})}{\summe_{k=1}^{n}p_{k}} [/mm] + [mm] \bruch{(a-\varepsilon)\summe_{k=n_{0}}^{n}p_{k}}{\summe_{k=1}^{n}p_{k}} \le \bruch{\summe_{k=1}^{n_{0}-1}(p_{k}*a_{k})+\summe_{k=n_{0}}^{n}(p_{k}*a_{k})}{\summe_{k=1}^{n}p_{k}} \le \bruch{\summe_{k=1}^{n_{0}-1}(p_{k}*a_{k})}{\summe_{k=1}^{n}p_{k}} [/mm] + [mm] \bruch{(a+\varepsilon)\summe_{k=n_{0}}^{n}p_{k}}{\summe_{k=1}^{n}p_{k}}
[/mm]
Ich hoffe das ist jetzt das was gemeint war :). Allerdings hab ich jetzt noch mit den Grenzwert bilden meine Schwierigkeiten. Der erste Bruch geht ja gegen 0 (was endliches geteilt durch unendlich) aber der Rest, müsste dann gegen a gehen was ich irgendwie so nicht sehe.
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Hiho,
das sieht doch schon deutlich besser aus:
> Der erste Bruch geht ja gegen 0 (was endliches geteilt durch unendlich) aber der Rest, müsste dann gegen a gehen was ich irgendwie so nicht sehe.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Spalte auch die Summe im Nenner mal auf und Klammere dann [mm] $\summe_{k=n_{0}}^{n}p_{k}$ [/mm] mal aus.
Überlege dir dann kurz, was für [mm] $\summe_{k=n_{0}}^{n}p_{k}$ [/mm] gilt, falls [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Gruß,
Gono
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Das geht natürlich auch gegen unendlich und dann folgt:
Rechts ist der Grenzwert [mm] a+\varepsilon [/mm] und links [mm] a-\varepsilon
[/mm]
Also gilt, das ganze Paket-a < [mm] \varepsilon. [/mm] Hätte jetzt noch ne kleine formale Frage. Gilt das bereits ab dem Index [mm] n_{0} [/mm] oder muss ich einen weiteren Index einführen?
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Hiho,
> Also gilt, das ganze Paket-a < [mm]\varepsilon.[/mm]
jein.
Also Ziel war jetzt nicht, die Grenzwertdefinition nachzuweisen. Da hat dich wohl das [mm] $\varepsilon$ [/mm] verwirrt.
Du hast nun gezeigt:
Für beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt:
[mm] $a-\varepsilon \le \lim_{n\to\infty} \bruch{ \summe_{k=1}^{n} p_{k}\cdot{}a_{k}}{ \summe_{k=1}^{n} p_{k}} \le [/mm] a + [mm] \varepsilon$
[/mm]
D.h. du hast dir Schranken für den Grenzwert "gebaut", die von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen. Das hat nichts mit der Definition des Grenzwerts zu tun.
Na und wenn das nun für beliebige [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gilt....
Gruß,
Gono
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