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Forum "Kombinatorik" - Kombinatorische Beweise
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Kombinatorische Beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Mo 05.09.2011
Autor: el_grecco

Aufgabe
Behauptung: für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 2$ ist [mm] $\vektor{2n \\ 2}=2\vektor{n \\ 2}+n^{2}$ [/mm]

Beweisen Sie die Behauptung

a) durch Anwendung der Definition und ausrechnen.
b) mit kombinatorischen Argumenten. (Hinweis: eine Menge mit 2n Elementen ist eine disjunkte Vereinigung von zwei Mengen mit je n Elementen.)

Hallo,

mir bereitet bei der (a) leider der 3. Schritt Probleme. Ich sehe nicht, wie man auf den Zähler [mm] $\!(2n)(2n-1)(2n-2)!\$ [/mm] kommt, denn in meiner Formelsammlung habe ich [mm] $\vektor{n \\ k}=\bruch{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}=\bruch{n!}{(n-k)!k!}$ [/mm] stehen?

Lösung:

[mm] $\vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{(n-k)!k!}$ [/mm]

$n!=n(n-1)*...*2*1$


(a) [mm] $\vektor{2n \\ 2}=$ [/mm]

[mm] $=\bruch{(2n)!}{(2n-2)!*2!}=$ [/mm]

[mm] $=\bruch{(2n)(2n-1)(2n-2)!}{2!*(2n-2)!}=$ [/mm]

$=n(2n-1)=$

$=n((n-1)+n)=$

[mm] $=n*(n-1)*n^{2}=$ [/mm]

[mm] $=2\bruch{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!}+n^{2}=$ [/mm]

[mm] $=2\bruch{n!}{(n-2)!*2!}+n^{2}=$ [/mm]

[mm] $=2\vektor{n \\ 2}+n^{2}$ [/mm]


Vielen Dank für die Mühe!

Gruß
el_grecco

        
Bezug
Kombinatorische Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 Mo 05.09.2011
Autor: statler

Mahlzeit!

> Behauptung: für alle [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n \ge 2[/mm] ist [mm]\vektor{2n \\ 2}=2\vektor{n \\ 2}+n^{2}[/mm]
>  
> Beweisen Sie die Behauptung
>  
> a) durch Anwendung der Definition und ausrechnen.
>  b) mit kombinatorischen Argumenten. (Hinweis: eine Menge
> mit 2n Elementen ist eine disjunkte Vereinigung von zwei
> Mengen mit je n Elementen.)
>  Hallo,
>  
> mir bereitet bei der (a) leider der 3. Schritt Probleme.
> Ich sehe nicht, wie man auf den Zähler
> [mm]\!(2n)(2n-1)(2n-2)!\[/mm] kommt, denn in meiner Formelsammlung
> habe ich [mm]\vektor{n \\ k}=\bruch{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}=\bruch{n!}{(n-k)!k!}[/mm]
> stehen?
>  
> Lösung:
>  
> [mm]\vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{(n-k)!k!}[/mm]
>  
> [mm]n!=n(n-1)*...*2*1[/mm]
>  
>
> (a) [mm]\vektor{2n \\ 2}=[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{(2n)!}{(2n-2)!*2!}=[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{(2n)(2n-1)(2n-2)!}{2!*(2n-2)!}=[/mm]

Im Zähler hast du einfach (2n)! erst auseinandergefriemelt und dann neu zusammengafaßt:
(2n)! = (2n) [mm] \* [/mm] (2n-1) [mm] \* [/mm] (2n-2) [mm] \* \dots \* [/mm] 2 [mm] \* [/mm] 1 = (2n) [mm] \* [/mm] (2n-1) [mm] \* [/mm] (2n-2)!

> [mm]=n(2n-1)=[/mm]
>  
> [mm]=n((n-1)+n)=[/mm]
>  
> [mm]=n*(n-1)*n^{2}=[/mm]

[mm]=n*(n-1) + [mm] n^{2}= [/mm]
  

> [mm]=2\bruch{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!}+n^{2}=[/mm]
>  
> [mm]=2\bruch{n!}{(n-2)!*2!}+n^{2}=[/mm]
>  
> [mm]=2\vektor{n \\ 2}+n^{2}[/mm]

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
                
Bezug
Kombinatorische Beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Mo 05.09.2011
Autor: el_grecco

Aufgabe
Behauptung: für alle [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n \ge 2[/mm] ist [mm]\vektor{2n \\ 2}=2\vektor{n \\ 2}+n^{2}[/mm]

Beweisen Sie die Behauptung

a) durch Anwendung der Definition und ausrechnen.
b) mit kombinatorischen Argumenten. (Hinweis: eine Menge mit 2n Elementen ist eine disjunkte Vereinigung von zwei Mengen mit je n Elementen.)

Hallo Dieter,

> > mir bereitet bei der (a) leider der 3. Schritt Probleme.
> > Ich sehe nicht, wie man auf den Zähler
> > [mm]\!(2n)(2n-1)(2n-2)!\[/mm] kommt, denn in meiner Formelsammlung
> > habe ich [mm]\vektor{n \\ k}=\bruch{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}=\bruch{n!}{(n-k)!k!}[/mm]
> > stehen?
>  >  
> > Lösung:
>  >  
> > [mm]\vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{(n-k)!k!}[/mm]
>  >  
> > [mm]n!=n(n-1)*...*2*1[/mm]
>  >  
> >
> > (a) [mm]\vektor{2n \\ 2}=[/mm]
>  >  
> > [mm]=\bruch{(2n)!}{(2n-2)!*2!}=[/mm]
>  >  
> > [mm]=\bruch{(2n)(2n-1)(2n-2)!}{2!*(2n-2)!}=[/mm]
>  
> Im Zähler hast du einfach (2n)! erst auseinandergefriemelt
> und dann neu zusammengafaßt:
>  (2n)! = (2n) [mm]\*[/mm] (2n-1) [mm]\*[/mm] (2n-2) [mm]\* \dots \*[/mm] 2 [mm]\*[/mm] 1 = (2n)
> [mm]\*[/mm] (2n-1) [mm]\*[/mm] (2n-2)!

genau das verstehe ich nicht: wie kommt dann die Fakultät (2n-2)! zustande?


Danke
&
Gruß
el_grecco


Bezug
                        
Bezug
Kombinatorische Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Mo 05.09.2011
Autor: luis52


> genau das verstehe ich nicht: wie kommt dann die Fakultät
> (2n-2)! zustande?
>  

[mm] $(2n)!=(2n)(2n-1)\underbrace{(2n-2)(2n-3)\cdot\ldots\cdot2\cdot1}_{=(2n-2)!}$. [/mm]

vg Luis

Bezug
                                
Bezug
Kombinatorische Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 Mo 05.09.2011
Autor: el_grecco

Danke Dir, Luis!

Irgendwie hatte ich da voll den gedanklichen Hänger drinnen...


Gruß
el_grecco

Bezug
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