Kern(F) und Bild(F) bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die lineare Abbildung
F: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}
[/mm]
[mm] \pmat{ x \\ y \\ z } \mapsto \pmat{ x+2y+z \\ -x+3y-2z \\ 2x-y+3z}
[/mm]
Man bestimme Kern(F) und Bild(F) und gebe für diese Vektorräume jeweils eine Basis an. |
Hallo,
Kern lautet: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
daraus folgt y = [mm] \bruch{t}{5} [/mm] und x = [mm] \bruch{-7t}{5}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] = t [mm] \pmat{ \bruch{-7}{5} \\ \bruch{1}{5} \\ 1 }
[/mm]
daraus ein kollinearer Vektor: [mm] \vec{k} [/mm] = [mm] \pmat{ -7 \\ 1 \\ 5 }
[/mm]
KerF = span [mm] \{ \pmat{ -7 \\ 1 \\ 5 } \} \forall [/mm] t [mm] \in \IR [/mm] , dimKern = 1
aber wie komme ich nun zum Bild F?
Kann ich davon ausgehen, dass Bild F von den Einheitsvektoren aufgespannt wird, wenn ja, wieso? Wir haben das in dem Beispiel als Ansatz verwendet:
Im F = span [mm] \{ F(e_{1}) , F(e_{2}) , F(e_{3}) \}
[/mm]
[mm] e_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] e_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] e_{3} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} }
[/mm]
F(x) = [mm] v_{1}*F(e_{1}) [/mm] + [mm] v_{2}*F(e_{2}) [/mm] + [mm] v_{3}*F(e_{3}) [/mm] (irgend ein Vektor x ist eine Linearkombination aus den Basisvektoren)
[mm] F(e_{1}) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ -2 \\ 2 } [/mm] , [mm] F(e_{2}) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 3 \\ 1 } [/mm] , [mm] F(e_{3}) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ -2 \\ 3 }
[/mm]
daraus wurde dann die Matrix, erstellt um die eigentliche Basis zu finden. In diesem Punkt bin ich ein wenig verwirrt. Verwende ich also die Einheitsvektoren aus V als Basis und gebe mir für das Bild sozusagen ein Maximum vor, was aufgespannt werden kann von V nach W. Und anschließend bestimme ich für BildF die Basis aus den 3 Vektoren, die ich erhalten habe?
In der Matrix wurden die Vektoren als Zeilen hineingeschrieben, was ich schon nicht verstanden habe, da ich sonst, beim prüfen auf lineare Unabhängigkeit immer die Vektoren als Spalten hineingeschrieben habe.
[mm] M_{B} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 3}
[/mm]
auf ZSF gebracht sieht die dann so aus:
[mm] M_{B} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Nun wurden die ersten beiden Vektoren als l.u. erklärt, und gleichzeitig die Werte die die entsprechenden Zeilen in der ZSF als Basisvektoren angegeben.
Basis = span [mm] \{ \pmat{ 1 \\ -1 \\ 2 } , \pmat{ 0 \\ 5 \\ -5 } \}
[/mm]
Aber sollte man da nicht die 'original' Vektoren als Basis angeben, sprich jene die in der ZSF-matrix eine Stufe bilden?
Daraus folgte dann noch F( [mm] \vec{x} [/mm] ) = [mm] \lambda_{1}*F(b_{1}) [/mm] + [mm] \lambda_{2}*F(b_{2})
[/mm]
sollte in diesem Fall dann nicht F( [mm] \vec{x} [/mm] ) = [mm] \lambda_{1}*b_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*b_{2} [/mm] stehen ?
Ich hoffe jemand kann das für mich entwirren.
mfg tom
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> Gegeben ist die lineare Abbildung
> F: [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ x \\ y \\ z } \mapsto \pmat{ x+2y+z \\ -x+3y-2z \\ 2x-y+3z}[/mm]
>
> Man bestimme Kern(F) und Bild(F) und gebe für diese
> Vektorräume jeweils eine Basis an.
> Hallo,
>
> Kern lautet: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Hallo,
nein.
Der Kern ist keine Matrix, sondern eine Menge von Vektoren.
Deine Matrix ist die in ZSF gebrachte darstellende Matrix der Abbildung F, und der wahre Kern bezüglich des Kerns ist:
Du kannst mit dieser Matrix den Kern der Abbildung bestimmen, was Du auch völlig gut und richtig getan hast.
>
> daraus folgt y = [mm]\bruch{t}{5}[/mm] und x = [mm]\bruch{-7t}{5}[/mm]
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = t [mm]\pmat{ \bruch{-7}{5} \\ \bruch{1}{5} \\ 1 }[/mm]
>
> daraus ein kollinearer Vektor: [mm]\vec{k}[/mm] = [mm]\pmat{ -7 \\ 1 \\ 5 }[/mm]
>
> KerF = span [mm]\{ \pmat{ -7 \\ 1 \\ 5 } \} \forall[/mm] t [mm]\in \IR[/mm]
> , dimKern = 1
Ganz genau. Gut.
>
> aber wie komme ich nun zum Bild F?
Sicher wißt Ihr bereits, daß jede Basis auf ein Erzeugendensystem des Bildes abgebildet wird, dh.
wenn [mm] (e_1, e_2, e_3) [/mm] eine Basis des Startraumes ist, ist [mm] F(e_1), F(e_2), F(e_3) [/mm] ein Erzeugendensystem des Bildes.
Von diesem mußt Du nun eine maximale linear unabhängige Teilmenge abfischen. dann hast Du eine Basis.
Die Bilder der Basisvektoren hast Du ja in den Spalten der darstellenden Matrix stehen.
Eine Basis kann man nun auf verschiedene Weisen finden.
Ich mache das meist durch Ausschlachten der ZSF.
Wir schauen uns Deine ZSF nochmal an:
[mm] \pmat{ \red{1} & 2 & 1 \\ 0 & \red{5} & -1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Die matrix hat den Rang 2. Also hat das Bild die Dimension 2.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1 und 2.
Daran sieht man, daß der 1. und der 2. der ursprünglichen (!!!) Spaltenvektoren eine Basis bilden.
Ich hoffe, daß Du hiermit weiterkommst, bei dieser Aufgabe und auch sonst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Fr 14.11.2008 | | Autor: | crashby |
Hey,
du kannst auch die transponierte MAtrix bilden und dann wieder auf ZSF bringen.
Alles was dann nicht zur Nullzeile wird sind dann die Bilder der Matrix.
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