Grenzwert nach L'Hospital < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Blaubaer |
| Aufgabe | Für folgende Aufgabe soll der Grenzwert ermittelt werden.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{b^\wurzel[3]{x^2-1} - 1 }{(x - 1)}
[/mm]
[mm] \limes_{x\>\ 1} [/mm] |
Anwenden möchte ich die Regel von L'Hospital. Allerdings habe ich schon bei der Ableitung Probleme.
Mein Versuch über die Kettenregel klappt glaube ich nicht so richtig.
z = [mm] x^2 [/mm] -1
z' = 2x
f'(x) = 1/3 ln [mm] b^\wurzel[3]{x^2-1}*2x
[/mm]
Es wäre nett wenn mir jemand bei der Ableitung helfen könnte.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für folgende Aufgabe soll der Grenzwert ermittelt werden.
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{b^\wurzel[3]{x^2-1} - 1 }{(x - 1)}[/mm]
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> [mm]\limes_{x\>\ 1}[/mm]
> Anwenden möchte ich die Regel von
> L'Hospital. Allerdings habe ich schon bei der Ableitung
> Probleme.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Am besten schaust Du erstmal nach, ob die Aufgabenstellung hier so erschienen ist, wie Du es Dir gedacht hast.
Du sollst wirklich [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{b^\wurzel[3]{x^2-1} - 1 }{(x - 1)} [/mm] berechnen?
(Da würde ordnungsgemaß eine Angabe zugehören, was b sein soll, vermutlich b>0.)
Aaaaber: mit l'Hospital ist hier nichts, denn Du hast nur unterm Bruchstrich die 0, überm Bruchstrich steht [mm] b^{-1}.
[/mm]
Ich hab's! Du sollst bestimmt [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{b^{\wurzel[3]{x^2-1} } - 1 }{(x - 1)} [/mm] berechnen,
und Dein Problem ist die Ableitung von [mm] g(x)=b^{\wurzel[3]{x^2-1} }.
[/mm]
Der Trick: es ist [mm] b=e^{\ln(b)},
[/mm]
also
[mm] g(x)=e^{\ln(b)*\wurzel[3]{x^2-1}}=e^{\ln(b)*(x^2-1)^{\bruch{1}{3}}}
[/mm]
Das geht unter mehrfacher Anwendung der Kettenregel:
[mm] g'(x)=e^{\ln(b)*(x^2-1)^{\bruch{1}{3}}}*\blue{[\ln(b)*(x^2-1)^{\bruch{1}{3}}]'}
[/mm]
Das Blaue ist dann wieder mit der Kettenregel abzuleiten.
[mm] \ln(b) [/mm] ist eine Konstante, die äußere Funktion ist [mm] (...)^{\bruch{1}{3}}, [/mm] die innere [mm] x^2-1.
[/mm]
Vielleicht versuchst Du es mit diesen Hinweisen nochmal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Blaubaer |
Hi Angel(a)  ,
bin mit der Notation hier noch nicht so geübt, deshalb hatte ich das - 1 im Exponenten stehen und nicht direkt über den Bruch.
Ich denke ich habe nun dank Deines Hinweises die Ableitung:
f(x) = [mm] b^z [/mm] * ln b
z = [mm] \wurzel[3]{x^2-1}
[/mm]
u = [mm] x^2-1 [/mm] u'= 2x
v = [mm] u^\bruch{1}{3} [/mm] v'= 1/3 * [mm] u^{\bruch{-2}{3}}
[/mm]
somit ist
z'= [mm] 1/3(x^2-1)^{\bruch{-2}{3}} [/mm] * 2x
und
f'(x) = ln b * [mm] b^\bruch{1}{3}*(x^2-1)^{\bruch{-2}{3}} [/mm] * 2x
Allerdings, was mache ich dann mit den ln b in dem l'Hospital?
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Hallo Blaubaer,
wahrscheinlich liegt es nur an der fehlenden Übung mit dem Formeleditor, aber Deine Ableitung stimmt so noch nicht.
Der [mm] \ln{b} [/mm] stört nicht im L'Hospital, sondern ist - wie Angela schon schrieb - als Konstante zu behandeln.
Grüße
reverend
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