Funktionenfolgen und -reihen.. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Sa 12.05.2007 | | Autor: | electraZ |
Hallo Leute!
ich bitte um Hilfe bei den folgenden Aufgaben:
Untersuchen Sie die nachstehende Funktionenfolge bzw. -reihe auf punktweise, lokal gleichmäßige und gleichmäßige Konvergenz:
i) [mm] (f_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] f_n [/mm] : D [mm] \to \IC [/mm] definiert durch [mm] f_n(z) [/mm] := [mm] \frac{{z^{4n}}(z-1)}{2^n};
[/mm]
ii) [mm] \sum_{{\nu}=1}^{\infty} f_{\nu} [/mm] mit [mm] f_{\nu} [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f_{\nu}(x) [/mm] := [mm] \frac{x^3}{1+{{\nu}^2}e^x}
[/mm]
wäre super, wenn mir jemand mindestens paar Hinweise geben könnte..
Danke
electraZ
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Di 15.05.2007 | | Autor: | wauwau |
i) [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm] mit [mm]f_n[/mm] : D [mm]\to \IC[/mm] definiert durch
[mm]f_n(z)[/mm] := [mm]\frac{{z^{4n}}(z-1)}{2^n};[/mm]
[mm] |f_n(z)|= (\frac{{|z|^{4}}}{2})^n*(|z-1|)
[/mm]
daher für [mm] \frac{{|z|^{4}}}{2} [/mm] < 1 punktweise und gleichmäßig (da |z-1| in diesem Gebiet durch [mm] 1+(2)^{\bruch{1}{4}} [/mm] beschränkt ist, gegen 0 konvergent
für [mm] \frac{{|z|^{4}}}{2}=1 [/mm] also [mm] z=2^{\bruch{1}{4}}e^{i\bruch{\phi}{4}} [/mm] kann nun die punktweise konvergenz in abhängigkeit von [mm] \phi [/mm] untersucht werden (sollte nicht allzu schwierig sein)
ii) [mm]\sum_{{\nu}=1}^{\infty} f_{\nu}[/mm] mit [mm]f_{\nu}[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm]
definiert durch [mm]f_{\nu}(x)[/mm] := [mm]\frac{x^3}{1+{{\nu}^2}e^x}[/mm]
für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] A
0 [mm] \le f_{\nu}(x) [/mm] = [mm] \frac{x^3}{1+{{\nu}^2}e^x} [/mm] < [mm] \bruch{A^3}{\nu^2}
[/mm]
für negative mit |x|<A gilt
0 [mm] \ge f_{\nu}(-x) [/mm] = [mm] -\frac{|x|^3e^{|x|}}{e^{|x|}+{\nu}^2} [/mm] > [mm] -\bruch{A^3*e^A}{\nu^2}
[/mm]
daher ist die Reihe punktweise in x auf jedem abgeschlossenen Intervall von [mm] \IR [/mm] konvergent.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 15.05.2007 | | Autor: | electraZ |
Danke Ihnen für Ihre Interesse an dieser Aufgabe, vieles hat sich für mich dadurch geklärt.
Erste Aufgabe wäre gar nicht so kompliziert, wenn ich wüsste was diese D (im Definitionsbereich) bedeutet. Jetzt weiß ich das :)
Und das, was Sie im zweiten Beispiel gezeigt haben ist mir fast alles klar, ich würde nur gern noch eine Frage stellen: Wie haben Sie es bestimmt, dass diese Funktionenfolge punktweise konvergiert? Warum konvergiert sie nicht gleichmäßig?
Danke schön
liebe Grüße
electraZ
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Mi 16.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Weil der Grenzwert von x abhängig ist....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mi 16.05.2007 | | Autor: | wauwau |
punktweise konvergent, da ich die gesuchte Reihe stets durch meine Ungleichungen für der einzelnen Summanden insgesamt durch die Reihe (mit einem gewissen Faktor C= [mm] A^3, [/mm] oder der kompliziertere Faktor in der 2. Ungleichung)
[mm] C*\summe_{\nu=1}^{\infty}\bruch{1}{\nu^2} [/mm] nach oben abgeschätzt habe (Majorantenkriterium)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Fr 18.05.2007 | | Autor: | electraZ |
Ok, wenn ich das Ganze richtig verstanden habe, dann, wenn wir positive x in die Funktion einsetzen, dann kriegen wir positives, an 0 genähertes Ergebnis, beim Einsetzen der negativen x haben wir negative, gegen unendlich gehende Zahlen. Das heißt, Funktion ist (streng monoton) fallend, nicht gleichmäßig konvergent, aber punktweise(!) Wenn ich mir das graphisch vorstelle, dann ist das klar, aber wie man das beweist, ist mir noch nicht ganz verständlich. Ich weiß, dass wir die Grenzfunktion finden sollen und dann die Differenz [mm] ||f_n(x) [/mm] - f(x)||, wenn es gegen null geht, dann ist das punktweise konvergent, wenn es kleiner als epsilon ist, dann gleichmäßig konvergent. Aber wenn es gegen Null geht, dann ist das auch kleiner als Epsilon, oder?. Und nach welchem Prinzip findet man diese Grenzfunktion?? Ist das in verschiedenen Fällen immer anders??? Was haben einzelne Summanden der Reihe mit punktweiser Konvergenz zu tun?
Ich würde Ihnen sehr dankbar sein, wenn Sie das ein bisschen ausführlicher erklären.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Fr 18.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Von welcher Fuktion sprichst du?
Aufgabe a)
hier geht es weder um positive noch negative Zahlen sondern um komplexe Zahlen!
Aufgabe b)
Die Aufgabe war nicht, die Grenzfunktion zu bestimmen sondern nur auf konvergenz zu untersuchen
Eine Reihe (mit positiven/negativen) Summanden konvergiert i.A. nie gegen 0!!!
Das Ergebnis der Aufgabe b: lautet.
Für alle x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe. Der Grenzwert ist aber definitiv von x abhängig, also ist die Reihe nicht gleichmäßig konvergent.
gleichmäßig konvergent heißt eine Funktionenfolge dann, wenn das [mm] \epsilon [/mm] unabhängig von x gewählt werden kann!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Sa 19.05.2007 | | Autor: | electraZ |
Ach so, jetzt ist es mir klar geworden!!
Ich wusste es einfach mit Gleichmäßigkeit nicht ganz genau, wie es läuft und so..
Vielen Dank für Ihre Hilfe!!!
Liebe Grüße
electraZ
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