Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sax318 |
| Aufgabe | f(x) = e^(-x+1) +2
g(x) = x² -6x +10
h(x) = 1 / (1+e^(-x)
Zu finden: Definitionsmenge, Wertebereich und falls vorhanden Umkehrfunktion |
f(x) = e^(-x+1) +2
g(x) = x² -6x +10
h(x) = 1 / (1+e^(-x)
ich hätte mal die nullstellen, extremwerte, wendepunkt berechnet
nullstelle|wendepunkt = wertebereich
definitionsmenge = ??
umkehrfunktion??
f(x) = e^(-x+1) +2 = 0
e^(-x+1) +2 = 0
[mm] \bruch{e}{x-1} [/mm] +2 = 0
[mm] \bruch{e}{x-1} [/mm] = -2
e = -2x-2
e+2 = 2x
2,718281828459 + 2 = 2x
4,718281828459 = 2x
x = 2,3591409142295
________________
extremwert:
1: ablteiung = 0
1ableitung:
[mm] \bruch{e}{x-1} [/mm] +2 = 0
[mm] \bruch{e}{x-1} [/mm] = 0
[mm] \bruch{e}{x-1}' [/mm] = [mm] \bruch{u'*v - uv'}{v²}
[/mm]
u = e
v = x-1
[mm] \bruch{e}{x-1}' [/mm] = [mm] \bruch{(x-1) - e}{x²-2x+1}
[/mm]
[mm] \bruch{(x-1) - e}{x²-2x+1} [/mm] = 0
ex-1 = x²-2x+1
ex -2 =x²-2x
e = [mm] \bruch{x²-2x+2}{x}
[/mm]
e = x -2 + [mm] \bruch{2}{x}
[/mm]
e = x + [mm] \bruch{2-2}{x}
[/mm]
e = x + [mm] \bruch{0}{x}
[/mm]
e = x + 0
0 = x - e
x = 2,718281828459
wendepunkt:
2 ableitung 0 setzten
[mm] \bruch{(x-1) - e}{x²-2x+1}
[/mm]
[mm] \bruch{(1-e) *+(x²-2x+1) ((x-2)-e))*( 2x -2) }{(x²-2x+1)²} [/mm] = 0
.. usw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Mo 06.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Definitionsmenge und Wertebereich haben nichts mit Nullstellen Extrema und Wendepunkten zu tun.
Definitionsmenge: welche Werte für x darf man einsetzen. etwa wenn [mm] f(x)=\wurzel{x-5} [/mm] dannist die Definitionsmenge [mm] x\ge5 [/mm] oder [mm] [5,+\infty)
[/mm]
Wertemenge: die menge aller Werte, die eine fkt annehmen kann Bsp [mm] f(x)=x^2-4
[/mm]
Wertemenge x≥ge-4
Umkehrfkt x=g(y) Beispiel [mm] f(x)=e^x [/mm] Umkehrfkt g(x)=ln(x)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 07.12.2010 | | Autor: | sax318 |
Definitionsmenge: welche Werte für x darf man einsetzen.
Wertemenge: die menge aller Werte, die eine fkt annehmen kann
f(x) = e^(-x+1) +2
Definitionsmenge: -20>x< 229
ab -20 kommt nur noch 2 heraus, und werte können bis max 229 gerechnet werden (TI84+)
-> aber ganz ehrlich, ich setzte einfach für x werte ein..kann man das nicht ausrechnen auch.. ohne "dumm"
ein zu setzen?
Wertebereich:
Umkehrfunktion: g(x) = log(-x+1) +2
g(x) = x² -6x +10
Definitionsmenge: -unendlich>x<unendlich
Wertebereich:
Umkehrfunktion: f(x) = 2x - 6
h(x) = 1 / (1+e^(-x)
Definitionsmenge: -10>x<227
Wertebereich:
Umkehrfunktion: g(x) = [mm] \bruch{1}{1+ log(-x)}
[/mm]
hoffe das was davon stimmt. habe im grunde nur durchprobiert... diese methode ist eher müsham.. gibts da kein schema?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Def.menge sind nicht die Werte, die ein Ti noch genau auswerten kann sondern die Werte für die die Funktion definiert ist! bei deiner ersten also ganz [mm] \IR.
[/mm]
deine Umkehrfkt ist falsch.
Der Wertebereich ist y>2
2, Defmenge falsch geschrieben aber richtig gemeint, besser einfach wieder ganz [mm] \IR
[/mm]
Wertebereich : schreib um f(x)= [mm] (x-3)^2+1 [/mm] dann sieht man den Wertebereich.
Umkehrfkt falsch, mit g Umkehrfkt muss gelten f(g(x))=x
h: defmenge wie in der ersten, Umkehrfkt falsch.
Funktion nach x auflösen, dann y und x vertauschen
Beispiel [mm] f(x)=y=e^x-1; y+1=e^x [/mm] ln(y+1)=x
Umkehrtfkt g(x)=ln(y+1) Probe; f(g(x)= [mm] e^{ln(x+1)}-1=x+1-1=x
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sax318 |
f(x) = e^(-x+1) +2
Definitionsmenge: R
Wertebreich: y>2
Umkehrfunktion:
f(x) = e^(-x+1) +2
y = e^(-x+1) +2
y= log(-x+1)+2
g(x) = x² -6x +10
Definitionsmenge: R
Wertebreich: -2<x<4
Umkehrfunktion:
y= x² -6x +10 /-10
y-10 = x² -6x /wurzel
wurzel(y-10) = x - (wurzel(6x)
h(x) = 1 / (1+e^(-x))
Definitionsmenge: R
Wertebreich: R
Umkehrfunktion:
y = 1 / (1+e^(-x)) /*(1+e^(-x)
y*(1+e^(-x)) = 1
x +ye^(-x) = 1 /:x
x + e^(-x)= 1/y
x + log(-x) = 1/y
bitte nochmals um eine erklärung von:
[mm] e^{-x+1} [/mm]
habs getestet mit 2:
[mm] e^{-2+1} [/mm]
[mm] e^{-1} [/mm] = 0,36787
log(0,36787) = -0,43429
log(-1) = nicht möglich
log(1) = 0
ABER:
log(2) = 0,693147
[mm] e^0,693147 [/mm] = 2
sprich ich müsste das ergebnix von der potenz also von -x+1 in den log einsetzten, dazu müsste ich aber mal wissen, was das ergebnis von -x+1 ist..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo sax
lies doch mal unsere forenregeln vielleicht auch ein paar andere posts, wie wir hier miteinander umgehen.
> f(x) = e^(-x+1) +2
> Definitionsmenge: R
> Wertebreich: y>2
> Umkehrfunktion:
> f(x) = e^(-x+1) +2
> y = e^(-x+1) +2
> y= log(-x+1)+2
falsch
y-2=e^(-x+1)
ln(y-2)=-x+1
x=1-ln(y-2)
also Umkehrfkt g(x)=1-ln(x-2)
ich hatte dich gebeten die Probe zu machen!
>
> g(x) = x² -6x +10
> Definitionsmenge: R
> Wertebreich: -2<x><4
> Umkehrfunktion:
> y= x² -6x +10 /-10
> y-10 = x² -6x /wurzel
> wurzel(y-10) = x - (wurzel(6x)
das ist grausig! [mm] \wurzel{a+b}\ne \wurzel{a}+\wurzel{b}
[/mm]
ich hatte schon gesagt, dass man </x>x² -6x [mm] +10=(x-3)^2+1 [/mm] schreiben kann
das kannst du auflösen!
<x>> h(x) = 1 / (1+e^(-x))
> Definitionsmenge: R
> Wertebreich: R
> Umkehrfunktion:
> y = 1 / (1+e^(-x)) /*(1+e^(-x)
> y*(1+e^(-x)) = 1
> x +ye^(-x) = 1 /:x
> x + e^(-x)= 1/y
> x + log(-x) = 1/y
fang noch mal von vorne an, da ist zu viel falsch. langsam rechnen, bei jedem Schritt fesstellen ob es auch rückwärts wieder rauskommt.
>
>
> bitte nochmals um eine erklärung von:
>
> [mm]e^{-x+1}[/mm]
[mm] e^{a+b}=e^a*e^b
[/mm]
setz a=-x, b=1
> habs getestet mit 2:
> [mm]e^{-2+1}[/mm]
> [mm]e^{-1}[/mm] = 0,36787
>
> log(0,36787) = -0,43429
> log(-1) = nicht möglich
> log(1) = 0
>
> ABER:
> log(2) = 0,693147
> [mm]e^0,693147[/mm] = 2
> sprich ich müsste das ergebnix von der potenz also von
> -x+1 in den log einsetzten, dazu müsste ich aber mal
> wissen, was das ergebnis von -x+1 ist..?
Die Frage ist etwa wirr.
wenn du meinst, was ist [mm] ln(e^{-x+1} [/mm] dann ist das -x+1
[mm] ln(e^{irgendwas})=irgendwas
[/mm]
Gruss leduart
>
</x>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Do 09.12.2010 | | Autor: | sax318 |
frage mal zum letzten:
h(x) = 1 / (1+e^(-x))
Definitionsmenge: R
Wertebreich: R
Umkehrfunktion:
y = 1 / (1+e^(-x)) /*(1+e^(-x))
y * (1+e^(-x)) = 1 /:y
(1+e^(-x)) = [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
1+ [mm] ln(\bruch{1}{y}) [/mm] = -x
-1 - [mm] ln(\bruch{1}{y}) [/mm] = x
i(x) = -1 - [mm] ln(\bruch{1}{x})
[/mm]
Probe mit 4:
h(4) = 1 / (1+e^(-4))
h(4) = 0,98201379
i(0,98201379) = -1 - [mm] ln(\bruch{1}{0,98201379})
[/mm]
i(0,98201379) = -1,0181
iwie nicht so korrekt :-(( glaube ich habe beim e bzw. log was falsch..? aber ich habe doch genauso wie du getauscht.. oder hald fast.. seltsam
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[mm]h(x) = \bruch{1}{1+e^{-x}}[/mm]
Definitionsbereich: [mm] \IR
[/mm]
Wertebereich: Nicht [mm] \IR [/mm] (Was willst du denn für x einsetzen, damit h(x) negativ wird?)
Hier könnte man argumentieren:
[mm]h'(x) = \bruch{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}} > 0[/mm]
Die Funktion ist also (streng) monoton wachsend.
Also reicht es, für den Wertebereich zu schauen, was die Funktion für x [mm] \to -\infty [/mm] und für x [mm] \to +\infty [/mm] macht.
Für x [mm] \to -\infty [/mm] geht sie offenbar gegen 0 (kannste ja mal verifizieren), bleibt aber immer größer als 0, für x [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] geht es gegen 1 (kannste auch verifizieren), bleibt aber immer kleiner als 1.
Fazit: Wertebereich ist also [mm] \{y \in \IR | 0 < y < 1 \}
[/mm]
Jetzt zur Umkehrfunktion:
1. Weil h streng monoton wachsend ist, gibt es eine Umkehrfunktion.
2. Für die Umkehrfunktion drehen sich Definitions- und Wertebereich rum, d.h. in der Umkehrfunktion [mm] \overline{h(x)} [/mm] kannst du nur die Werte zwischen 0 und 1 einsetzen (0 und 1 nicht), bekommst dabei aber alle Werte aus [mm] \IR [/mm] raus.
3. Rechnen:
Ausgehend von h(x) kann man die durch Austausch von x und y ermitteln. Dabei machst du offensichtlich einige Fehler im Umgang mit allem möglichen:
[mm]y = \bruch{1}{1+e^{-x}}[/mm] | Tausche x und y
[mm]x = \bruch{1}{1+e^{-y}}[/mm] | Ziel: nach y auflösen | multipliziere mit Nenner
[mm]x* (1+e^{-y}) = 1[/mm] | :x (Remember: x liegt im Def.bereich der Umkehrfunktion, also ist x>0)
[mm]1+e^{-y} = \bruch{1}{x}[/mm] | - 1
[mm]e^{-y} = \bruch{1}{x} - 1[/mm] | Termumformung rechts
[mm]e^{-y} = \bruch{1-x}{x}[/mm] | Kehrwert
[mm]e^{y} = \bruch{x}{1-x}[/mm] | ln
[mm]y = ln \left(\bruch{x}{1-x} \right)[/mm]
So kann man das machen, wenn man das ganz ruhig und langsam, Schritt für Schritt unter Verwendung von grundlegenden Fertigkeiten bei Termen und Gleichungen durchgeht.
Vielleicht kannst du es nachvollziehen und bei einer vergleichbaren Aufgabe sogar selbst einsetzen  .
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Do 09.12.2010 | | Autor: | sax318 |
Hallo,
uaar genial, dass du das schritt für schritt gemacht hast voll toll.
jetzt habe ich genau gesehen was ich nciht verstehe nämlich:
termunformung rechts.
ich verstehe leider nciht ganz, wie du von:
1/x -1
auf
[mm] 1-x/x^x [/mm]
kommst, könntest du mir das genauer erklären?
danke schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Do 09.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein bissel mehr Phantasie! da waren 2 Zeilen nahe aneinander
$ [mm] e^{-y} [/mm] = [mm] \bruch{1-x}{x} [/mm] $ | Kehrwert
$ [mm] e^{y} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1-x} [/mm] $ | ln
$ y = ln [mm] \left(\bruch{x}{1-x} \right) [/mm] $
und 1/x -1auf einen Bruch zu schreiben sollte dir gelingen!
überhaupt, rechne doch was dir vorgemacht wird Schritt für Schritt nach, deine rechenfähigkeit leidet -denk ich- unter zu schnell drüberhuschen. Wenn man ne Weile langsam arbeitet lohnt sich das. Die Geschwindigkeit kommt mit der Zeit!
doppelt solange zum Umformen Zeit nehmen, jeden Schritt irklich überlegen spart am ende viieeel Zeit.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Do 09.12.2010 | | Autor: | sax318 |
heio, achso ja versehen.
ja das habe ich soeben geschafft, aber ganz ehrlich auf das wäre ich wohl selbst nur bedingt gekommen also das ich von selbst so rechne x-D voll cool ^^
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] - 1
man beachte x:x = 1
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{x}{x}
[/mm]
bruch zusammen ziehen
[mm] \bruch{1-x}{x}
[/mm]
coole sache :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 09.12.2010 | | Autor: | sax318 |
oke fehlt mir nur noch eine aufgabe:
g(x) = x² -6x +10
Definitionsmenge: R
Wertebreich:
Hier schrieb leduart: ich soll mal umschreiben
aus x²-6x+10 mache ich (x-3)²+1
aber wie soll ich das jetzt auflösen? null setzen? ableiten?
Umkehrfunktion:
y= (x-3)²+1 /-1
y-1 = (x-3)²
[mm] \wurzel(y) [/mm] - [mm] \wurzel(1) [/mm] = x-3
[mm] \wurzel(y) [/mm] -1 = x-3
[mm] \wurzel(y) [/mm] = x-2
y= x²+x-2
probe mit 2:
2,4 :-(
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Wieder zu schnell, dabei machst du haarsträubende Fehler.
Du würdest z.B. folgendes schreiben (und wiederholst das immer wieder):
5 = [mm] \wurzel{25} [/mm] = [mm] \wurzel{16+9} [/mm] = [mm] \wurzel{16} [/mm] + [mm] \wurzel{9} [/mm] = 4 + 3 = 7
Jetzt denk da mal drüber nach - dann schaust du nochmal nach, ob du irgendwann mal Rechenregeln im Zusammenhang mit Wurzeln gelernt hast.
Wenn nein, bearbeitest du die falschen Aufgaben.
Wenn ja und du kannst es nicht, klemm dich dahinter und bring es dir bei.
Wenn ja und du kannst es, dann mach es auch richtig.
Wenn du das kannst, dann übst du noch, wie man Klammern ausmultipliziert, Brüche addiert, mit Prozentzahlen rechnet und alle anderen Grundlagen, die du immer wieder brauchen wirst, um z.B. solche Aufgaben hier zu bearbeiten.
Und ansonsten beherzige wohlwollend gemeinte Ratschläge von meinen Mitschreibern hier, die ca. 58 Millionen Sternchen haben - weil sie bereitwillig und gerne und freiwillig in ihrer Freizeit Hilfe anbieten. Da sollte man als um Hilfe Fragender auch entsprechende Bereitschaft mitbringen....
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Fr 10.12.2010 | | Autor: | sax318 |
heio, danke für die ratschläge also noch ein versuche:
g(x) = x² -6x +10
y = (x-3)² +1 /-1
y-1 = (x-3)²
[mm] \wurzel(y-1) [/mm] = x-3
[mm] \wurzel(y-1) [/mm] = x-3
[mm] \wurzel(y-1)+3 [/mm] = x
bis hier hin korrekt?
habe hier gelesen:
http://www.tinohempel.de/info/mathe/wurzel/wurzel.htm
[mm] \wurzel((a-b)²) [/mm] = a-b
jetzt muss ich nur x mit y tauschen oder?
ich nehme nicht an, dass ich die einfach nur tauschen kann oder?
[mm] \wurzel(x-1)+3 [/mm] = y
wäre ja doch zuuu schön ..?
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Hallo sax318,
> heio, danke für die ratschläge also noch ein versuche:
>
> g(x) = x² -6x +10
> y = (x-3)² +1 /-1
> y-1 = (x-3)²
> [mm]\wurzel(y-1)[/mm] = x-3
> [mm]\wurzel(y-1)[/mm] = x-3
> [mm]\wurzel(y-1)+3[/mm] = x
>
> bis hier hin korrekt?
Ja, das ist die Umkehrfunktion für [mm] x \ge 3[/mm]
Es gibt auch eine Umkehrfunktion für x < 3.
> habe hier gelesen:
> http://www.tinohempel.de/info/mathe/wurzel/wurzel.htm
>
> [mm]\wurzel((a-b)²)[/mm] = a-b
>
> jetzt muss ich nur x mit y tauschen oder?
Ja, das macht man so, um die Umkehrfunktion zu finden.
> ich nehme nicht an, dass ich die einfach nur tauschen kann
> oder?
> [mm]\wurzel(x-1)+3[/mm] = y
>
> wäre ja doch zuuu schön ..?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Fr 10.12.2010 | | Autor: | sax318 |
Es gibt auch eine Umkehrfunktion für x < 3. ??
jetzt stehe ich wohl schon wieder am schlau.. 2 umkehrfunktionen?
Definitionsmenge ist doch " und Wertebereich ist dann auch gleich R.
Def= alle zahlen die ich für x einsetzten kann
wert= was raus kommt wenn man def einsetzt.
also beidenamle R - denke das richtig gecheckt zu haben oder?
aber wie kommst du jetzt auf di <3 und >=3 ?
danke schon mal!
lg
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Hallo sax318,
> Es gibt auch eine Umkehrfunktion für x < 3. ??
>
> jetzt stehe ich wohl schon wieder am schlau.. 2
> umkehrfunktionen?
> Definitionsmenge ist doch " und Wertebereich ist dann auch
> gleich R.
> Def= alle zahlen die ich für x einsetzten kann
> wert= was raus kommt wenn man def einsetzt.
> also beidenamle R - denke das richtig gecheckt zu haben
> oder?
Streng genommen ist der Definitionsbereich [mm]\IR[/mm]
und der Wertebereich das Intervall [mm]\left[1,\infty\right[[/mm]
>
> aber wie kommst du jetzt auf di <3 und >=3 ?
Wenn Du die Umkehrfunktion bildest, dann
taucht da eine Wurzel auf:
[mm]\wurzel{\left(x-3\right)^{2}}[/mm]
Da die Wurzel per Definition [mm]\ge 0[/mm] ist, gilt
[mm]\wurzel{\left(x-3\right)^{2}}=\vmat{x-3}[/mm]
Für [mm] x \ge 3[/mm] ergibt sich: [mm]\wurzel{\left(x-3\right)^{2}}=\vmat{x-3}=x-3[/mm]
Für [mm] x < 3[/mm] ergibt sich: [mm]\wurzel{\left(x-3\right)^{2}}=\vmat{x-3}=-\left(x-3\right)=3-x[/mm]
Daher gibt es je eine Umkehrfunktion für [mm]x < 3[/mm] und für [mm]x \ge 3[/mm].
> danke schon mal!
>
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Di 14.12.2010 | | Autor: | sax318 |
oke habe ich soweit verstanden jenachdem ob x eine minuszahl oder pluslzahl ist.. also echt, was man alles bachten muss.. schon ein wahnsin.
g(x) = x² -6x +10
Definitionsmenge: R
Wertebreich: 1, unendlich
Umkehrfunktion:
y= x² -6x +10
y= (x-3)² +1 /-1
y-1 = (x-3)² /Wurzel
Wurzel(y-1) = x-3
Wurzel(y-1)+3 = x --> Umkehrfunktion für x >=3
---
y-1 = (x-3)² /Wurzel
Wurzel(y-1) = 3-x
Wurzel(y-1)-3 = x --> Umkehrfunktion für x < 3
jetzt sollte alles korrekt und eeendlich abgeschlossen sein, sodass auch ich es verstanden habe jetzt muss ich nur noch alles beachten.
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Hallo sax318,
> oke habe ich soweit verstanden jenachdem ob x eine
> minuszahl oder pluslzahl ist.. also echt, was man alles
> bachten muss.. schon ein wahnsin.
>
> g(x) = x² -6x +10
> Definitionsmenge: R
> Wertebreich: 1, unendlich
> Umkehrfunktion:
> y= x² -6x +10
> y= (x-3)² +1 /-1
> y-1 = (x-3)² /Wurzel
> Wurzel(y-1) = x-3
> Wurzel(y-1)+3 = x --> Umkehrfunktion für x >=3
> ---
> y-1 = (x-3)² /Wurzel
> Wurzel(y-1) = 3-x
> Wurzel(y-1)-3 = x --> Umkehrfunktion für x < 3
Hier steht erst einmal:
[mm]\wurzel{y-1}-3=\blue{-}x[/mm]
Daraus ergibt sich schliesslich
[mm]x=3-\wurzel{y-1}, \ x < 3[/mm]
>
>
>
> jetzt sollte alles korrekt und eeendlich abgeschlossen
> sein, sodass auch ich es verstanden habe jetzt muss ich
> nur noch alles beachten.
Gruss
MathePower
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