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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Do 15.11.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | Sei [mm] b_n [/mm] = [mm] \wurzel{n^2 + n} [/mm] - n.
1. Gesucht ist der Grenzwert von [mm] b_n. [/mm] |
Hallo, die folgende Aufgabe ist aus einem Buch, das ich mir gekauft habe. Allerdings verstehe ich in diesen [mm] \varepsilon [/mm] > 0 Beweisen die Sache mit dem abschätzen nicht so genau. Mir wirkt es irgendwie etwas "willkürlich" wie sich hier die Terme "verändern".
[mm] \wurzel{n^2 + n} [/mm] - n = [mm] \bruch{\wurzel{n^2 + n \wurzel{n^2 + n} + n} - n}{\wurzel{n^2 + n} + n} [/mm] = [mm] \bruch{n^2 + n - n^2}{\wurzel{n^2 + n} + n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n}{\wurzel{n^2 + n} + n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^2 * (1 + \bruch{1}{n})} + n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n * \wurzel{1 + \bruch{1}{n}}+n}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}
[/mm]
Jetzt soll n beliebig groß werden, das heißt [mm] n\to \infty [/mm] und so ergibt sich der Grenzwert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] den es geht [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} \to \bruch{1}{2} [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Ich verstehe insbesondere nicht, warum man hier (1+ [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] "einfach" dazu nimmt und wieso im zweiten Schritt dann [mm] \bruch{n}{n * \wurzel{1 + \bruch{1}{n}}+n} [/mm] steht. Und schlussendlich kommt man auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}. [/mm] Wieso konnte bzw. hat man in diesem Fall so umgeformt wie, man es gemacht hat?
Das Beispiel stammt aus Modler/Kreh "Tutorium Ana1 und LA1", S. 120 - 121.
Ich poste den zweiten Beweisteil am besten später, da sonst der Text zu unübersichtlich wird!
Wie immer vielen vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo Sauri,
> Sei [mm]b_n[/mm] = [mm]\wurzel{n^2 + n}[/mm] - n.
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> 1. Gesucht ist der Grenzwert von [mm]b_n.[/mm]
> Hallo, die folgende Aufgabe ist aus einem Buch, das ich
> mir gekauft habe. Allerdings verstehe ich in diesen
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 Beweisen die Sache mit dem abschätzen
> nicht so genau. Mir wirkt es irgendwie etwas "willkürlich"
> wie sich hier die Terme "verändern".
>
>
> [mm]\wurzel{n^2 + n}[/mm] - n = [mm]\bruch{\wurzel{n^2 + n \wurzel{n^2 + n} + n} - n}{\wurzel{n^2 + n} + n}[/mm]
Das sollte hier doch zunächst so lauten:
[mm]\wurzel{n^2 + n} - n = \bruch{\left(\wurzel{n^2 + n} - n\right)*\left(\wurzel{n^2 + n} + n\right)}{\wurzel{n^2 + n} + n}[/mm]
> = [mm]\bruch{n^2 + n - n^2}{\wurzel{n^2 + n} + n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n}{\wurzel{n^2 + n} + n}[/mm] = [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^2 * (1 + \bruch{1}{n})} + n}[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{n * \wurzel{1 + \bruch{1}{n}}+n}[/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}[/mm]
>
> Jetzt soll n beliebig groß werden, das heißt [mm]n\to \infty[/mm]
> und so ergibt sich der Grenzwert [mm]\bruch{1}{2}[/mm] den es geht
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} \to \bruch{1}{2}[/mm] für
> n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Ich verstehe insbesondere nicht, warum man hier (1+
> [mm]\bruch{1}{n})[/mm] "einfach" dazu nimmt und wieso im zweiten
> Schritt dann [mm]\bruch{n}{n * \wurzel{1 + \bruch{1}{n}}+n}[/mm]
> steht. Und schlussendlich kommt man auf
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}.[/mm] Wieso konnte bzw. hat
> man in diesem Fall so umgeformt wie, man es gemacht hat?
>
Die erste Umformung deshalb, weil Du sonst den Grenzwert nicht bestimmen kannst.
Für [mm]n\to \infty[/mm] hast Du nämlich einen Ausdruck der Form "[mm]\infty - \infty[/mm]".
Im zweiten Schritt erzeugst Du im Zähler und Nenner Nullfolgen,
damit Du den Grenzwert bestimmen kannst.
> Das Beispiel stammt aus Modler/Kreh "Tutorium Ana1 und
> LA1", S. 120 - 121.
> Ich poste den zweiten Beweisteil am besten später, da
> sonst der Text zu unübersichtlich wird!
>
> Wie immer vielen vielen Dank für die Hilfe!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 15.11.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo vielen Dank für die Antwort!
Ich verstehe insbesondere die folgenden Umformungen nicht. Klar ist, irgendwie muss man auf [mm] \left|b_n - b\right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] kommen. Aber wieso wurde in diesem Fall zum Beispiel n durch [mm] (1+\bruch{1}{n}) [/mm] ersetzt, was war das Ziel? Klar ist auch das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen Null geht, aber warum dann auch noch "1+...".
Und im nächsten Schritt wurde dann einfach [mm] x^2 [/mm] weggelassen und x vor die Wurzel geholt.
Vielen vielen Dank!
[mm] =\bruch{n}{\wurzel{n^2 + n} + n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^2 \cdot{} (1 + \bruch{1}{n})} + n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n \cdot{} \wurzel{1 + \bruch{1}{n}}+n}
[/mm]
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Hallo!
Ich versuche mal zu helfen.
> Aber wieso wurde in diesem Fall zum
> Beispiel n durch [mm](1+\bruch{1}{n})[/mm] ersetzt, was war das
> Ziel? Klar ist auch das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen Null geht, aber
> warum dann auch noch "1+...".
> $ [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^2 + n} + n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^2 \cdot{} (1 + \bruch{1}{n})} + n} [/mm] $
Hier wurde nicht einfach "ersetzt", sondern aus [mm] n^2+n [/mm] wurde [mm] n^2 [/mm] ausgeklammert: [mm] $n^2+n [/mm] = [mm] n^2 \cdot (1+\frac{1}{n})$. [/mm] Daher kommt dann auch das [mm] 1+\ldots. [/mm] Ziel ist es, dass [mm] \frac{1}{n} [/mm] eine Nullfolge ist, für [mm] n\to\infty [/mm] geht das gegen 0. [mm] 1+\frac{1}{n} [/mm] geht dann gegen 1+0=1.
> Und im nächsten Schritt wurde dann einfach [mm]x^2[/mm] weggelassen
> und x vor die Wurzel geholt.
> [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^2 \cdot{} (1 + \bruch{1}{n})} + n}[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{n \cdot{} \wurzel{1 + \bruch{1}{n}}+n}[/mm]
Auch wurde nicht einfach "weggelassen", es ist wieder eine normale Umformung. Wenn in einer Wurzel ein Produkt ist, darf man die Wurzel auseinander ziehen: [mm] $\wurzel{n^2 \cdot{} (1 + \bruch{1}{n})} [/mm] = [mm] \wurzel{n^2} [/mm] * [mm] \wurzel{1 + \bruch{1}{n}} [/mm] = n* [mm] \wurzel{1 + \bruch{1}{n}}$
[/mm]
Ich hoffe, das hilft dir etwas.
LG Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Do 15.11.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo Nadine! Vielen vielen Dank!
Das waren genau die Antworten, die ich gesucht habe!
Viele Grüße!
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