Erzeugende Funktionen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine explizite Darstellung für die folgende rekursiv gegebene Folge. Benutzen Sie dabei die Methode erzeugender Funktionen. Bitte überprüfen Sie Ihre explizite Darstellung jeweils durch Tabellierung der Folgenglieder von n = 0 bis n = 9 der rekursiv gegebenen Folge.
[mm]
a(n) = \left\{\begin{matrix}n, n = 0,1,2,3,4 \\a(n-1) + a(n-2),\mbox{sonst}\end{matrix}\right.
[/mm] |
Hallo,
Vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Es geht darum, erzeugende Funktionen ohne Grundlagen zu deren "Funktionieren" als Werkzeuge zu verwenden, indem man Folgen manipuliert.
Es war zwar sehr mühsam aber trotz fehlender Analysis-Grundlagen wie Taylorreihen u.s.w. ist mir ein bisschen klarer, inwiefern sich über Potenzreihendarstellungen Folgen rekonstruieren lassen.
Aber es gibt noch so viele offene Fragen: Mir fehlt die erzeugende Funktionen, um die Folge a(n-1) + a(n-2) zu erzeugen. Wenn es eine erzeugende Funktion dafür gäbe, so könnte ich diese um 5 Stellen nach Rechts verschieben und zu allem eine Folge 0,1,2,3,...,n addieren.
Es ist widerlich nur nach Rechenregeln zu arbeiten. Wenn ihr noch einen Tipp habt, beeilt euch bitte - Abgabe ist morgen früh um 12:00. Für die pragmatische Zeitbegrenzung kann ich nichts. Sie ist mir zuwider.
- Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt -
|
|
| |
|
Guten Morgen,
probieren wir es mal mit der erzeugenden Funktion
f(z) = [mm] \sum_{n\geq 0} a_nz^n
[/mm]
Es ist ja nach Def. von [mm] (a_n)
[/mm]
[mm] \sum_{n\geq 0}a_nz^n [/mm] =
f(z) = [mm] \sum_{0\leq n\leq 4} n\cdot z^n [/mm] + [mm] \sum_{n\geq 5} (a_{n-1}+a_{n-2})z^n
[/mm]
= [mm] \sum_{n\geq 0} a_nz^{n+1} \:\: +\:\: \sum_{n\geq 0}a_nz^{n+2}
[/mm]
[mm] +\sum_{0\leq n\leq 4}n\cdot z^n [/mm] - [mm] \sum_{n\leq 3}n\cdot z^{n+1} -\sum_{n\leq 2}n\cdot z^{n+2} [/mm] =
= [mm] z\cdot [/mm] f(z) + [mm] z^2\cdot [/mm] f(z) + [mm] \underbrace{z-z^2-z^3}_{n=1} [/mm] +
+ [mm] \underbrace{2\cdot z^2-2\cdot z^3-2\cdot z^4}_{n=2} [/mm] +
+ [mm] \underbrace{3\cdot z^3-3\cdot z^4}_{n=3} +\underbrace{4z^4}_{n=4}
[/mm]
Jetzt muss man nach f(z) aufloesen und daraus dann die Koeff. ablesen.
Ich stell's so mal rein und schreib vielleicht nachher noch eine Fortsetzung.
Gruss,
Mathias
|
|
|
|
