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Forum "Uni-Stochastik" - Duell mit Schützen, W-keit
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Duell mit Schützen, W-keit: Aufgabenhilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:28 Di 26.10.2010
Autor: Ultio

Aufgabe
Zwei Schützen treten zum Duell an. Dabei schießen die Kontrahenten gleichzeitig
aufeinander. Wenn beide Schützen den Schusswechsel überleben, ist ein weiterer notwendig.
Das Duell wird fortgesetzt, bis eine Entscheidung gefallen ist. Dabei trit t Schütze A mit
Wahrscheinlichkeit p und Schütze B mit Wahrscheinlichkeit q. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
überlebt Schütze A das Duell, mit welcher Wahrscheinlichkeit überlebt Schütze B?

Hallo Matheraumler,

Könnte jemand bitte meine Lösung kontrollieren und sagen, ob das reicht.

Also:
Ereignisse:
keiner trifft (0,0) : (1-p)(1-q)
A trifft         (1,0) : p * (1-q)
B trifft         (0,1) : (1-p) * q
beide treffen (1,1) : p * q

Überlebenwahrscheinlichkeit von A = P(Aü)
P(Aü) = P(0,0)* P(Aü) + P(1,0) - P(0,1) - P(1,1)
[mm] \gdw [/mm] P(Aü) = [mm] \bruch{P(1,0) - P(0,1) - P(1,1)}{1 - P(0,0)} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]  P(Aü) = [mm] \bruch{p - q - pq}{p+q-pq} [/mm]
das ist insofern sinnvoll:
0 [mm] \le \bruch{p - q - pq}{p+q-pq} \le [/mm] 1

Analog verfährt man bei der Überlebenswahrscheinlichkeit von B P(Bü) und erhält:
P(Bü) = [mm] \bruch{q - p - pq}{q+p-pq} [/mm]
das ist insofern sinnvoll:
0 [mm] \le \bruch{q - p - pq}{q+p-pq} \le [/mm] 1

Ist damit die Aufgabe erledigt?

Vielen Dank.
Gruß
Felix



        
Bezug
Duell mit Schützen, W-keit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Sa 30.04.2022
Autor: Hannes00

Moin, stell' dir vor: Im Jahre 2022 werden Lehrämter immer noch mit dieser Aufgabe gequält... -.- Das, was hier von mir steht, gab ganze 2 von 2 Punkte. Also fleißig durchdenken und dann abschreiben XD.

Omega = [mm] ({0,1})^{(n)}, [/mm] wobei 0 = nicht getroffen, 1 = getroffen. ##Unser Übungsleiter hat aber gesagt, dass "hoch n" nicht stimmt... naja, muss er wissen.
W =(kleines [mm] omega_1, [/mm] kleines [mm] omega_2), [/mm] wobei [mm] omega_1 [/mm] = Schuss des Schütze 1 und [mm] omeaga_2 [/mm] = Schuss von B ist.
Omega = {(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}
P({(0,0)}) = (1-q)*(1-p) = 1-p-q+pq
P({(1,0)}) = p* (1-q) = p-pq
P({(0,1)}) = q*(1-p) = q-pq
P({(1,1)}) = p*q = pq

Wahrscheinlichkeit, dass A überlebt?
P(A) = P(1,0)+ P(0,0)* P(A) | * [mm] \bruch{1}{P(A)} [/mm]
[mm] \bruch{P(A)}{P(A)} [/mm] = [mm] \bruch{P(1,0)}{P(A)} [/mm] + P(0,0) |-P(0,0)
1- P(0,0) = [mm] \bruch{P(1,0)}{P(A} [/mm]
[mm] \bruch{(1-P(0,0))}{P(1,0)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{P(A)} [/mm]
P(A) = [mm] \bruch{P(1,0)}{1-P(0,0)} [/mm]
-> P(A) = [mm] \bruch{p-qp}{1-1+p+q-pq} [/mm] = [mm] \bruch{p-pq}{p+q-pq} [/mm]    

Wahrscheinlichkeit, dass B überlebt?
P(B) = P(0,1) + P(0,0) * P(B)
= ...  (analog zu A)
-> P(B) = [mm] \bruch{q-pq}{p+q-pq} [/mm]

Bezug
        
Bezug
Duell mit Schützen, W-keit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Di 26.10.2010
Autor: Sax

Hi,

> das ist insofern sinnvoll:
> 0 $ [mm] \le \bruch{p - q - pq}{p+q-pq} \le [/mm] $ 1

Das ist es doch gerade nicht, wenn z.B. p = q = 1  ist.

Der Fehler liegt hier :

> P(Aü) = P(0,0)* P(Aü) + P(1,0) - P(0,1) - P(1,1)

die letzten beiden Simmanden sind zu streichen.

Bei Division beachten :  Nicht durch 0 teilen !

Gruß Sax.



Bezug
                
Bezug
Duell mit Schützen, W-keit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:18 Mi 27.10.2010
Autor: Ultio

Hallo, danke dir für die Antwort.
D.h. P(Aü) = P(0,0) P(Aü) + P(1,0) = [mm] \bruch{p* (1-q)}{ 1 - (1-q)(1-p)} [/mm]
= [mm] \bruch{p - pq }{ 1 - 1+p+q-pq)} [/mm] =  [mm] \bruch{p - pq }{p+q-pq)} [/mm]
das ist aber nicht kleiner 0 und größer 1

Analog mit B:
P(A) =  =  [mm] \bruch{q - pq }{q+p-pq)} [/mm]

Richtig?

Danke dir nochmal.
Gruß
Felix

Bezug
                        
Bezug
Duell mit Schützen, W-keit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Mi 27.10.2010
Autor: Sax

ja, richtig, falls der Nenner nicht 0 ist !

Gruß Sax.

Bezug
                                
Bezug
Duell mit Schützen, W-keit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:51 Mi 27.10.2010
Autor: Ultio

Danke vielmals.
Gruß
Felix

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