Determinantenberechnung < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Do 17.04.2008 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi [/mm] der Endomorphismus des [mm] \IQ [/mm] -Vektorraumes M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IQ [/mm] ), der durch die Transposition gegeben ist,
[mm] \phi [/mm] (M) = [mm]M^t [/mm]
Berechnen Sie die Determinante.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo,
Transpositon bedeutet doch, dass die Zeilen und Spalten einer Matrix vertauscht werden. Nun habe ich mir gedacht, dass man doch eigentlich nur die Matrix finden muss, die diese Abbildung,also die Vertauschung von Zeilen und Spalten, beschreibt.
Bislang habe ich eine darstellende Matrix immer so berechnet, indem ich die Basisvektoren der Urbildmenge abgebildet habe und dann diese Bilder durch die Basisvektoren der Bildmenge ausgedrückt habe.
Das habe ich hier auch versucht,das Problem ist jedoch, dass es sich um beliebige Matrizen M handelt, ich also auch unendlich viele Basisvektoren bekomme.
Die darstellende Matrix müsste meiner Meinung nach jeweils in jeder Spalte eine 1 haben und sonst nur Nullen, sofern man als Basisvektoren Matrizen verwendet, in denen nur ein Eintrag 1 ist und alle weiteren Null. Die Frage ist nur an welcher Stelle die eins ist....Denn mein Problem ist, dass ich wie gesagt unendlcih viele Basisvektoren habe und ich nicht weiss, welcher an welcher Position ist.
Wie könnte ich die darstellende Matrix berechnen, um dann von dort weiter auf die Determinante zu schließen? Oder gibt es einen ganz anderen Weg und ich bin nur auf der falschen Spur?
Danke schon einmal im Voraus
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Hi,
> Sei [mm]\phi [/mm] der Endomorphismus des [mm]\IQ[/mm] -Vektorraumes M(n
> [mm]\times [/mm] n, [mm]\IQ[/mm] ), der durch die Transposition gegeben ist,
>
> [mm]\phi[/mm] (M) = [mm]M^t[/mm]
>
> Berechnen Sie die Determinante.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo,
> Transpositon bedeutet doch, dass die Zeilen und Spalten
> einer Matrix vertauscht werden. Nun habe ich mir gedacht,
> dass man doch eigentlich nur die Matrix finden muss, die
> diese Abbildung,also die Vertauschung von Zeilen und
> Spalten, beschreibt.
> Bislang habe ich eine darstellende Matrix immer so
> berechnet, indem ich die Basisvektoren der Urbildmenge
> abgebildet habe und dann diese Bilder durch die
> Basisvektoren der Bildmenge ausgedrückt habe.
> Das habe ich hier auch versucht,das Problem ist jedoch,
> dass es sich um beliebige Matrizen M handelt, ich also auch
> unendlich viele Basisvektoren bekomme.
> Die darstellende Matrix müsste meiner Meinung nach jeweils
> in jeder Spalte eine 1 haben und sonst nur Nullen, sofern
> man als Basisvektoren Matrizen verwendet, in denen nur ein
> Eintrag 1 ist und alle weiteren Null. Die Frage ist nur an
> welcher Stelle die eins ist....Denn mein Problem ist, dass
> ich wie gesagt unendlcih viele Basisvektoren habe und ich
> nicht weiss, welcher an welcher Position ist.
> Wie könnte ich die darstellende Matrix berechnen, um dann
> von dort weiter auf die Determinante zu schließen? Oder
> gibt es einen ganz anderen Weg und ich bin nur auf der
> falschen Spur?
>
> Danke schon einmal im Voraus
Da die darstellende Matrix vn [mm] \phi [/mm] hier schwer zu finden wird (bzgl. welcher Basis?!), muss man andere Mittel benutzen, die die Determinantentheorie anbietet, z.B. Determinantenmultiplikationssatz, kombiniert mit der Tatsache, dass zweimal transponieren ist die Identität, sprich [mm] $\phi^2 [/mm] = id$ . Vergiss nicht, hier ist die Determinante $det : [mm] End(M(n\times [/mm] n, [mm] \IQ)) \to \IQ$ [/mm] . Ich denke, jetzt kriegst die Aufgabe hin!
Gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Do 17.04.2008 | | Autor: | briddi |
ich bin mir grad nicht so sicher ob ich das richtig verstehe
det[mm]\phi^2 = det id = det En =1 = det (\phi \* \phi) [/mm]
und da ich weiss dass det [mm]\phi [/mm] aus [mm] \IQ [/mm] ist,kann ich dann folgern dass die determinante 1 oder -1 ist? Das ergibt doch aber eigentlich keinen Sinn,da doch ein eindeutiges Ergebnis rauskommen muss.
wo ist denn mein Fehler?
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Hi,
> ich bin mir grad nicht so sicher ob ich das richtig
> verstehe
>
> det[mm]\phi^2 = det id = det En =1 = det (\phi \* \phi)[/mm]
>
> und da ich weiss dass det [mm]\phi[/mm] aus [mm]\IQ[/mm] ist,kann ich dann
> folgern dass die determinante 1 oder -1 ist? Das ergibt
> doch aber eigentlich keinen Sinn,da doch ein eindeutiges
> Ergebnis rauskommen muss.
> wo ist denn mein Fehler?
Es gibt keinen Fehler, aber es fehlt noch ein Argument:
Arbeiten wir jetzt mit dem Standardbasis von [mm] \IQ^n [/mm] , sie ist ja positiv orientiert. Nehmen wir die Eihnheitsmatrix und transponieren wir sie mal, bleibt ihre Determinante $1$; jetzt multiplizieren wir einen Einheitsvektor mit $-1$ und berechnen die Determinante, so ergibt sich $-1$, und nach dem Transponieren auch wieder $-1$. Konklusion: [mm] $\phi$ [/mm] ist orientierungstreu, also positiv. Daher ist [mm] $det(\phi) [/mm] = 1$.
Gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Theta |
Aber eine solche Betrachtung anhand der Standardbasis des [mm]\IQ^n[/mm]-Vektorraumes reicht doch für solch einen Beweis nicht aus, oder?
Ich habe da noch das Problem, dass ich aus meiner Vorlesung keine Definition von Orientierungstreu habe, die mir in diesem Fall weiterhilft.
Alles was man mir zu dem Thema an die Hand gegeben hat ist:
"Einen Automorphismus [mm]\Phi: V \to V[/mm] nennen wir orientierungserhaltend oder orientierungstreu, falls [mm]\det\Phi>0[/mm].
Und mit dieser Definition komme ich in oben genanntem Fall leider auch nicht weiter. Oder habe ich den richtigen Weg nur noch nicht gefunden?
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Hi,
> Aber eine solche Betrachtung anhand der Standardbasis des
> [mm]\IQ^n[/mm]-Vektorraumes reicht doch für solch einen Beweis nicht
> aus, oder?
Für den Beweis nicht unbedingt, aber für das Verständnis schon 
> Ich habe da noch das Problem, dass ich aus meiner
> Vorlesung keine Definition von Orientierungstreu habe, die
> mir in diesem Fall weiterhilft.
>
> Alles was man mir zu dem Thema an die Hand gegeben hat
> ist:
>
> "Einen Automorphismus [mm]\Phi: V \to V[/mm] nennen wir
> orientierungserhaltend oder orientierungstreu, falls
> [mm]\det\Phi>0[/mm].
>
> Und mit dieser Definition komme ich in oben genanntem Fall
> leider auch nicht weiter. Oder habe ich den richtigen Weg
> nur noch nicht gefunden?
Es gibt andere Möglichkeiten, ohne Orientierungsbetrachnung. Aber ich sage mal so: [mm] \phi [/mm] ist ja eine konstante Abbildung, das heisst ihre Determinante ist entweder +1 oder -1 (aber nicht mal das eine und mal das andere), und das unabhängig von der Basis. Da
[mm] det(\phi)\cdot det(A)det(\phi(A)) [/mm] = [mm] det(A^T) [/mm] = det(A)
ist, muss [mm] det(\phi) [/mm] = +1 sein.
Gruss,
logarithmus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Fr 18.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Arbeiten wir jetzt mit dem Standardbasis von [mm]\IQ^n[/mm] , sie
> ist ja positiv orientiert. Nehmen wir die Eihnheitsmatrix
> und transponieren wir sie mal, bleibt ihre Determinante [mm]1[/mm];
> jetzt multiplizieren wir einen Einheitsvektor mit [mm]-1[/mm] und
> berechnen die Determinante, so ergibt sich [mm]-1[/mm], und nach dem
> Transponieren auch wieder [mm]-1[/mm]. Konklusion: [mm]\phi[/mm] ist
> orientierungstreu, also positiv. Daher ist [mm]det(\phi) = 1[/mm].
Die Konklusion kann ich nicht nachvollziehen. Warum sollte das gelten?
Du hast einfach zwei (beliebige) Vektoren aus dem Vektorraum $M(n [mm] \times [/mm] n; K)$ genommen, darauf [mm] $\phi$ [/mm] angewendet, und dann eine vom restlichen Setting auf den ersten Blick ziemlich unabhaengige Abbildung (naemlich die Determinante [mm] $\det [/mm] : [mm] \IQ^n \to \IQ$) [/mm] auf diesen Vektoren ausgewertet.
LG Felix
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Hi,
> Hallo
>
> > Arbeiten wir jetzt mit dem Standardbasis von [mm]\IQ^n[/mm] , sie
> > ist ja positiv orientiert. Nehmen wir die Eihnheitsmatrix
> > und transponieren wir sie mal, bleibt ihre Determinante [mm]1[/mm];
> > jetzt multiplizieren wir einen Einheitsvektor mit [mm]-1[/mm] und
> > berechnen die Determinante, so ergibt sich [mm]-1[/mm], und nach dem
> > Transponieren auch wieder [mm]-1[/mm]. Konklusion: [mm]\phi[/mm] ist
> > orientierungstreu, also positiv. Daher ist [mm]det(\phi) = 1[/mm].
>
> Die Konklusion kann ich nicht nachvollziehen. Warum sollte
> das gelten?
>
> Du hast einfach zwei (beliebige) Vektoren aus dem
> Vektorraum [mm]M(n \times n; K)[/mm] genommen, darauf [mm]\phi[/mm]
> angewendet, und dann eine vom restlichen Setting auf den
> ersten Blick ziemlich unabhaengige Abbildung (naemlich die
> Determinante [mm]\det : \IQ^n \to \IQ[/mm]) auf diesen Vektoren
> ausgewertet.
>
> LG Felix
>
Natürlich das war kein Beweis, also etwas unformal. Schließlich will man hier nur Lösungshinweise und Hilfe für das Verständnis angeben, aber ich werde jetzt formal zeigen, dass die Determinante gleich 1 ist.
Aufgabe:
Sei [mm] $\phi$ [/mm] der Endomorphismus des [mm] $\IQ$-Vektorraumes [/mm] $M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IQ)$, [/mm] der durch die Transposition gegeben ist,
[mm] $\phi(M) [/mm] = [mm] M^{T}$ [/mm] .
Berechnen Sie die Determinante.
Behauptung: [mm] $det(\phi) [/mm] = 1$ .
Beweis:
Sei [mm] $\Phi$ [/mm] eine beliebige Darstellungsmatrix von [mm] $\phi$. [/mm] Dann ist [mm] $\Phi$ [/mm] eine Abbildung
[mm] $\Phi$ [/mm] : $M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IQ) \to [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IQ)$, [/mm] $A [mm] \mapsto \Phi \cdot [/mm] A = [mm] A^T$ [/mm] .
Es gilt also: [mm] $\Phi \cdot [/mm] A = [mm] A^T$ [/mm] . Darauf wenden wir die Determinante einfach an, dann folgt:
[mm] $det(\Phi \cdot [/mm] A) = det [mm] (A^T) \gdw det(\Phi)\cdot [/mm] det(A) = [mm] \underbrace{det (A^T)}_{= det(A)}$ [/mm] .
Setzten wir noch voraus, dass A nicht singulär ist, so können wir det(A) kürzen und es bleibt: [mm] $det(\Phi) [/mm] = 1$ , also [mm] $det(\phi) [/mm] = 1$ , da die Determinante eines Endomorphismus gleich die seiner darstellenden Matrix ist. [mm] \Box
[/mm]
Gruss,
logarithmus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Natürlich das war kein Beweis, also etwas unformal.
> Schließlich will man hier nur Lösungshinweise und Hilfe für
> das Verständnis angeben, aber ich werde jetzt formal
> zeigen, dass die Determinante gleich 1 ist.
Das stimmt aber nicht, die Determinante ist oefter auch mal -1.
> Aufgabe:
> Sei [mm]\phi[/mm] der Endomorphismus des [mm]\IQ[/mm]-Vektorraumes [mm]M(n \times n, \IQ)[/mm],
> der durch die Transposition gegeben ist,
> [mm]\phi(M) = M^{T}[/mm] .
>
> Berechnen Sie die Determinante.
>
> Behauptung: [mm]det(\phi) = 1[/mm] .
> Beweis:
> Sei [mm]\Phi[/mm] eine beliebige Darstellungsmatrix von [mm]\phi[/mm]. Dann
> ist [mm]\Phi[/mm] eine Abbildung
> [mm]\Phi[/mm] : [mm]M(n \times n, \IQ) \to M(n \times n, \IQ)[/mm], [mm]A \mapsto \Phi \cdot A = A^T[/mm]
> .
> Es gilt also: [mm]\Phi \cdot A = A^T[/mm] .
Vorsicht, hier ist [mm] $\Phi$ [/mm] eine [mm] $n^2 \times n^2$-Matrix, [/mm] und $A$ wird aufgefasst als [mm] $n^2 \times [/mm] 1$-Vektor!
> Darauf wenden wir die Determinante einfach an,
Auf dem Vektorraum [mm] $K^{n^2}$ [/mm] gibt es keine Determinante (kanonische)! Insbesondere verhaelt sich diese nicht multiplikativ mit [mm] $n^2 \times n^2$-Matrizen!
[/mm]
> dann folgt:
> [mm]det(\Phi \cdot A) = det (A^T) \gdw det(\Phi)\cdot det(A) = \underbrace{det (A^T)}_{= det(A)}[/mm]
> .
Das ist schlichtweg falsch, da es ueberhaupt nicht definiert ist, sorry.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Fr 18.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > Sei [mm]\phi[/mm] der Endomorphismus des [mm]\IQ[/mm] -Vektorraumes M(n
> > [mm]\times[/mm] n, [mm]\IQ[/mm] ), der durch die Transposition gegeben ist,
> >
> > [mm]\phi[/mm] (M) = [mm]M^t[/mm]
> >
> > Berechnen Sie die Determinante.
> >
> > Transpositon bedeutet doch, dass die Zeilen und Spalten
> > einer Matrix vertauscht werden. Nun habe ich mir gedacht,
> > dass man doch eigentlich nur die Matrix finden muss, die
> > diese Abbildung,also die Vertauschung von Zeilen und
> > Spalten, beschreibt.
Genau.
> > Bislang habe ich eine darstellende Matrix immer so
> > berechnet, indem ich die Basisvektoren der Urbildmenge
> > abgebildet habe und dann diese Bilder durch die
> > Basisvektoren der Bildmenge ausgedrückt habe.
Hier geht das genauso.
> > Das habe ich hier auch versucht,das Problem ist jedoch,
> > dass es sich um beliebige Matrizen M handelt, ich also auch
> > unendlich viele Basisvektoren bekomme.
Wieso unendlich viele?! Hier ist die Menge der Matrizen der Vektorraum! Der Vektorraum der $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen hat Dimension [mm] $n^2$.
[/mm]
> > Die darstellende Matrix müsste meiner Meinung nach jeweils
> > in jeder Spalte eine 1 haben und sonst nur Nullen, sofern
> > man als Basisvektoren Matrizen verwendet, in denen nur ein
> > Eintrag 1 ist und alle weiteren Null.
Genau.
> > Die Frage ist nur an
> > welcher Stelle die eins ist....
Das haengt davon ab wie du die Matrizen anordnest.
> Da die darstellende Matrix vn [mm]\phi[/mm] hier schwer zu finden
> wird (bzgl. welcher Basis?!), muss man andere Mittel
> benutzen, die die Determinantentheorie anbietet, z.B.
> Determinantenmultiplikationssatz, kombiniert mit der
> Tatsache, dass zweimal transponieren ist die Identität,
> sprich [mm]\phi^2 = id[/mm] . Vergiss nicht, hier ist die
Das hilft nur soweit weiter, dass [mm] $\det \phi \in \{ 1, -1 \}$ [/mm] ist.
Machen wir mal mit den Basiselementen weiter. Sei [mm] $E_{i,j}$ [/mm] die $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix, die ander Stelle $(i, j)$ eine $1$ hat und sonst nur Nullen. Dann ist [mm] $\{ E_{i,j} \mid 1 \le i, j \le n \}$ [/mm] eine Basis von $M(n [mm] \times [/mm] n; [mm] \IQ)$.
[/mm]
Jetzt sortieren wir die Basis so: zuerst die Matrizen, die auf der Diagonalen eine $1$ haben, also [mm] $M_{1,1}, \dots, M_{n,n}$. [/mm] Dann in irgendeiner Reihenfolge die restlichen, aber so, dass jeweils [mm] $M_{i,j}$ [/mm] neben [mm] $M_{j,i}$ [/mm] steht! Also etwa [mm] $M_{1,2}, M_{2,1}, M_{1,3}, M_{3,1}, [/mm] ...$
Dann hat die Darstellungsmatrix von [mm] $\phi$ [/mm] bzgl. dieser Basis folgende Form. Sie ist eine Blockdiagonalmatrix mit $n + [mm] \frac{n (n - 1)}{2}$ [/mm] Bloecken: die ersten $n$ Bloecke haben die Groesse $1 [mm] \times [/mm] 1$ und bestehen aus einer $1$ -- da [mm] $\phi(M_{i,i}) [/mm] = [mm] M_{i,i}$ [/mm] ist.
Die naechsten [mm] $\frac{n (n - 1)}{2}$ [/mm] Bloecke -- es gibt genau [mm] $\frac{n (n - 1)}{2}$ [/mm] Paare [mm] $M_{i,j}, M_{j,i}$ [/mm] mit $j [mm] \neq [/mm] i$ -- haben die Groesse $2 [mm] \times [/mm] 2$ und haben die Form [mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }$ [/mm] -- weil [mm] $\phi(M_{i,j}) [/mm] = [mm] M_{j,i}$ [/mm] ist und umgekehrt.
Wenn man also die Determinante der ganzen Matrix berechnet, ist sie das Produkt der Determinanten der Bloecke. Und das kann man explizit ausrechnen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Sa 19.04.2008 | | Autor: | briddi |
hallo,danke dir schonmal
ich hab aber noch eine frage. Die Determinanten der ersten n Blöcke sind immer 1,also ändern sie auch nichts an der gesamten Determinante.
Die determinanten der anderen Blöcke sind jedoch immer -1. Das negative Vorzeichen ist hier doch sehr wohl entscheidend,falls eine ungerade Anzahl von diesen Blöckenvorliegt. woher ist denn sichergestellt, dass ich eine gerade Anzahl solcher Blöcke hab,sodass ich insgesamt auf 1 statt auf -1 komme. oder ist es abhängig davon was für eine Matrix ich transponiere. denn setze ich für n=3 ein,so ergibt sich,dass es 3 Böcke gibt,deren Determinante -1 ist,also insgesamt auch -1. was ja im widerspruch zu dem stünde was logarithmus gesagt hat.
Kann ich also doch nur sagen, dass die determinante entweder 1 oder -1 ist?
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Hi,
> hallo,danke dir schonmal
> ich hab aber noch eine frage. Die Determinanten der ersten
> n Blöcke sind immer 1,also ändern sie auch nichts an der
> gesamten Determinante.
> Die determinanten der anderen Blöcke sind jedoch immer -1.
> Das negative Vorzeichen ist hier doch sehr wohl
> entscheidend,falls eine ungerade Anzahl von diesen
> Blöckenvorliegt. woher ist denn sichergestellt, dass ich
> eine gerade Anzahl solcher Blöcke hab,sodass ich insgesamt
> auf 1 statt auf -1 komme. oder ist es abhängig davon was
> für eine Matrix ich transponiere. denn setze ich für n=3
> ein,so ergibt sich,dass es 3 Böcke gibt,deren Determinante
> -1 ist,also insgesamt auch -1. was ja im widerspruch zu dem
> stünde was logarithmus gesagt hat.
>
Angenommen die Determinante wäre -1, würde ja heissen, dass
$-1 [mm] \cdot [/mm] det(A) = det [mm] (\phi) \cdot [/mm] det(A) = det [mm] (\phi(A)) [/mm] = det [mm] (A^T)$ [/mm] , also ein Widerspruch, falls $A$ nicht singulär ist!
> Kann ich also doch nur sagen, dass die determinante
> entweder 1 oder -1 ist?
Also genauer: +1!
Für eine vollständige Antwort siehe meine aktuelleste Mitteilung.
Gruss,
logarithmus
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:44 Sa 19.04.2008 | | Autor: | briddi |
ich seh ja ein dass die determinante 1 ist,aber ich finde den weg den felix gewählt hat sehr interessant und würde deshalb gern verstehen an welcher stelle gewährleistet ist,dass ich eine gerade anzahl von den blöcken habe,die determinante -1 haben.
Die Frage is reines interesse,weil ich glaube dass auch dieser weg die richtige lösung liefern muss,...
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:25 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
siehe meine andere Nachricht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich hab aber noch eine frage. Die Determinanten der ersten
> n Blöcke sind immer 1,also ändern sie auch nichts an der
> gesamten Determinante.
Genau.
> Die determinanten der anderen Blöcke sind jedoch immer -1.
> Das negative Vorzeichen ist hier doch sehr wohl
> entscheidend,falls eine ungerade Anzahl von diesen
> Blöckenvorliegt.
Exakt.
> woher ist denn sichergestellt, dass ich
> eine gerade Anzahl solcher Blöcke hab,sodass ich insgesamt
> auf 1 statt auf -1 komme. oder ist es abhängig davon was
> für eine Matrix ich transponiere. denn setze ich für n=3
> ein,so ergibt sich,dass es 3 Böcke gibt,deren Determinante
> -1 ist,also insgesamt auch -1.
Ja, und fuer $n = 2$ genauso. Fuer $n = 4$ dagegen kommt eine gerade Anzahl von Bloecken heraus, und die Determinante ist 1, ebenso fuer $n = 1$.
> was ja im widerspruch zu dem
> stünde was logarithmus gesagt hat.
Ja, aber sein Beweis stimmt auch nicht.
> Kann ich also doch nur sagen, dass die determinante
> entweder 1 oder -1 ist?
Du kannst genau angeben wann sie -1 ist und wann sie 1 ist. Du musst jetzt untersuchen, wann die Anzahl der Bloecke gerade oder ungerade ist.
(Tipp: die Formel fuer die Anzahl der Bloecke hast du ja. Jetzt mach eine Fallunterscheidung, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Dann ist einer der Faktoren im Produkt ungerade und den kannst du ignorieren, der andere ist gerade und wird durch 2 geteilt; damit das Produkt gerade ist, muss er sogar durch 4 teilbar gewesen sein.)
Vermutlich kannst du eine Bedingung a la ``wenn $n [mm] \equiv [/mm] ... [mm] \pmod{4}$ [/mm] oder $n [mm] \equiv [/mm] ... [mm] \pmod{4}$ [/mm] ist, dann ist die Determinante 1, sonst ist sie -1'' finden.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 So 20.04.2008 | | Autor: | briddi |
danke euch beiden für diese nette und sehr aufschlusreiche Diskussion,habt mir sehr geholfen
LG
briddi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 19.04.2008 | | Autor: | briddi |
ich habe jetzt noch einen lösungsansatz,der deutlich einfacher scheint,gerade deshalb glaub ich dass da irgendwas nciht richtig ist:
man kann die Abbildung [mm]\phi[/mm] als matrix N auffassen,dann würde doch gelten
[mm] \phi(M)=N*M= M^t \Rightarrow det\phi(M)= det(N*M)=detN* detM= detM^t
detN* det M *det M^-^1 = det M^t* det M^-^1
det N= detM* det M^-^1= det En=1 [/mm]
Wäre das eine richtige Lösung?Oder doch zu einfach gedacht?
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Hi,
> ich habe jetzt noch einen lösungsansatz,der deutlich
> einfacher scheint,gerade deshalb glaub ich dass da
> irgendwas nciht richtig ist:
>
> man kann die Abbildung [mm]\phi[/mm] als matrix N auffassen,dann
> würde doch gelten
> [mm]\phi(M)=N*M= M^t \Rightarrow det\phi(M)= det(N*M)=detN* detM= detM^t
Bis hier genau die richtige Antwort.
Ab hier nicht mehr, wo verschwindet det(N) in der vorletzten Gleichheit?!
detN* det M *det M^-^1 = det M^t* det M^-^1
det N= detM* det M^-^1= det En=1[/mm]
>
> Wäre das eine richtige Lösung?Oder doch zu einfach gedacht?
Richtige Idee! Es ist einfach gedacht, wenn man die Matrizentheorie verstanden hat
Gruss,
logarithmus
P.S. Ich habe eine vollständigen Beweis schon geschrieben, wenn du ein Blick darauf wirst, werden bestimmt alle (noch offenen) Fragen beantwortet!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Sa 19.04.2008 | | Autor: | briddi |
ja danke,habs gerade auch gesehn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Sa 19.04.2008 | | Autor: | briddi |
Ab hier nicht mehr, wo verschwindet det(N) in der vorletzten Gleichheit?!
tut mir leid,da fehlt an der einen stelle ein absatz,gemeint war:
[mm] detN* det M *det M^-^1 = det M^t* det M^-^1
det N* det(En) = detM* det M^-^1= det En=1[/mm]
daraus folgt
[mm] det N =1[/mm]
also auch [mm] det \phi = 1 [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich habe jetzt noch einen lösungsansatz,der deutlich
> einfacher scheint,gerade deshalb glaub ich dass da
> irgendwas nciht richtig ist:
>
> man kann die Abbildung [mm]\phi[/mm] als matrix N auffassen,dann
> würde doch gelten
> [mm]\phi(M)=N*M= M^t \Rightarrow det\phi(M)= det(N*M)=detN* detM= detM^t
detN* det M *det M^-^1 = det M^t* det M^-^1
det N= detM* det M^-^1= det En=1[/mm]
>
> Wäre das eine richtige Lösung?Oder doch zu einfach gedacht?
Hat den gleichen Fehler wie logarithmus' Loesung.
Machen wir das dochmal explizit mit Zahlen. Sei $n = 2$.
Erstmal: was ist $N$ fuer eine Matrix? Wenn $N$ eine $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix ist, dann kann $N M$ keine Vertauschung von Zeilen von $M$ bewirken -- und damit kann $N M$ niemals [mm] $M^T$ [/mm] sein, etwa fuer $M = [mm] \pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}$.
[/mm]
Wenn $N$ eine $4 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix ist, dann muss man sich fragen, wie man eine $4 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix mit einer $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix multipliziert. Wie soll das aussehen? Wie schon gesagt, man kann die $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix als $4 [mm] \times [/mm] 1$-Vektor auffassen. Dann steht da sowas wie $N v = w$ mit $v, w [mm] \in K^4$ [/mm] und $N [mm] \in K^{4 \times 4}$.
[/mm]
Und jetzt erklaert mir mal bitte wie man von der Gleichung $N v = w$ die Determinante nehmen soll, und vor allem, welche Determinante? Die auf [mm] $K^{4 \times 4}$? [/mm] Insb. steht rechts aber keine solche Matrix. Die auf [mm] $K^{2 \times 2}$? [/mm] Dann kann man die aber nicht auf $N$ anwenden!
Also: so geht das wirklich nicht!
LG Felix
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