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| Aufgabe | B sei eine Kreisfläche mit Radius R und Mittelpunkt an der Stelle (x,y) = (0,R).
Berechnen Sie das Integral
[mm] $\integral_{B}^{}\integral_{}^{}{x^{2}+y^{2} dxy}$
[/mm]
in kartesischen und Polarkoordinaten. |
Hallo,
hat wer eine Idee wie ich den Integrationsbereich in Polarkoordinaten abstecken kann? Wie es kartesisch funktioniert ist mir klar.
Mein erster Ansatz war natürlich einfach x = [mm] r*cos(\varphi) [/mm] und [mm] y=r*sin(\varphi) [/mm] setzen. Die Grenzen sind dann für [mm] r_{oben} [/mm] =R und [mm] r_{unten}=0.
[/mm]
die Grenzen für [mm] \varphi_{unten}=0 [/mm] und [mm] \varphi_{oben}= 2\pi.
[/mm]
Aber wie bekomme ich jetzt noch die Verschiebung auf der y-Achse in den Definitionsbereich?
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> B sei eine Kreisfläche mit Radius R und Mittelpunkt an der
> Stelle (x,y) = (0,R).
> Berechnen Sie das Integral
> [mm]\integral_{B}^{}\integral_{}^{}(\,x^{2}+y^{2}\,)\ d\,xy[/mm]
> in
> kartesischen und Polarkoordinaten.
> Hallo,
>
> hat wer eine Idee wie ich den Integrationsbereich in
> Polarkoordinaten abstecken kann? Wie es kartesisch
> funktioniert ist mir klar.
>
> Mein erster Ansatz war natürlich einfach x =
> [mm]r*cos(\varphi)[/mm] und [mm]y=r*sin(\varphi)[/mm] setzen. Die Grenzen
> sind dann für [mm]r_{oben}[/mm] =R und [mm]r_{unten}=0.[/mm]
> die Grenzen für [mm]\varphi_{unten}=0[/mm] und [mm]\varphi_{oben}= 2\pi.[/mm]
>
> Aber wie bekomme ich jetzt noch die Verschiebung auf der
> y-Achse in den Definitionsbereich?
Wenn Polarkoordinaten mit dem Polarzentrum im
Punkt (x,y) = (0,0) gemeint sein sollen, kannst du
zwar die Darstellung $\ x\ =\ [mm] r*cos(\varphi)$ [/mm] und $\ y\ =\ [mm] r*sin(\varphi)$
[/mm]
benützen, aber du hast andere Grenzen, nämlich:
[mm] \varphi [/mm] muss nur von 0 bis [mm] \pi [/mm] laufen, und für jedes
solche [mm] \varphi [/mm] läuft der Radius r von 0 bis zu einem
gewissen von [mm] \varphi [/mm] abhängigen maximalen Radius
$\ [mm] r_{max}(\varphi)$ [/mm] , dessen Größe du durch eine einfache
trigonometrische Überlegung aus einem rechtwinkligen
Dreieck ableiten kannst.
LG , Al-Chwarizmi
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> Wenn Polarkoordinaten mit dem Polarzentrum im
> Punkt (x,y) = (0,0) gemeint sein sollen, kannst du
> zwar die Darstellung [mm]\ x\ =\ r*cos(\varphi)[/mm] und [mm]\ y\ =\ r*sin(\varphi)[/mm]
>
> benützen, aber du hast andere Grenzen, nämlich:
> [mm]\varphi[/mm] muss nur von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, und für jedes
> solche [mm]\varphi[/mm] läuft der Radius r von 0 bis zu einem
> gewissen von [mm]\varphi[/mm] abhängigen maximalen Radius
> [mm]\ r_{max}(\varphi)[/mm] , dessen Größe du durch eine
> einfache
> trigonometrische Überlegung aus einem rechtwinkligen
> Dreieck ableiten kannst.
>
> LG , Al-Chwarizmi
Hallo Al-Chwarizmi,
danke für die Antwort. Verstehe ich das richtig, Du meinst es gibt ähnlich der Grenzen von [mm] \varphi [/mm] Funktionen mit der ich die Grenzen für [mm] r_{unten} [/mm] und [mm] r_{oben} [/mm] bestimmen kann?
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> Hallo Al-Chwarizmi,
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> danke für die Antwort. Verstehe ich das richtig, Du meinst
> es gibt ähnlich der Grenzen von [mm]\varphi[/mm] Funktionen mit der
> ich die Grenzen für [mm]r_{unten}[/mm] und [mm]r_{oben}[/mm] bestimmen kann?
Ja, mach dir einfach eine Skizze mit dem Koordinaten-
system und dem Kreis mit Zentrum (0,R) und Radius r.
Um die gesamte Kreisfläche zu überstreichen, lässt du
vom Polarzentrom (das wir im Punkt O(0,0) belassen,
einen Strahl vom Winkel 0 (nach rechts zeigend) bis zum
Winkel [mm] \pi [/mm] (nach links) drehen. Für jeden einzelnen
derartigen Strahl muss dann der Punkt von r=0 (also
vom Punkt O weg) bis zum Endpunkt P der Sehne laufen,
welche der Strahl mit dem Kreis bildet. Du kannst dir
leicht klar machen, dass diese Sehne [mm] \overline{OP} [/mm] die Länge
$\ s\ =\ [mm] 2\,R*sin(\varphi)$ [/mm] haben muss (betrachte dazu das recht-
winklige Dreieck OPQ , wobei Q der obere Schnittpunkt
des Kreises mit der y-Achse ist !).
Auf diese Weise kommt man, unter Berücksichtigung
der Funktionaldeterminante zu folgender Darstellung
des Integrals:
[mm] $\integral_{\varphi=0}^{\pi}\left(\integral_{r=0}^{2\,R*sin(\varphi)} r^2\ \red{*\,r}\ \ dr\,\right)\ d\varphi$
[/mm]
Diese Art der Integration gefällt mir besser als
die andere, die man mit Polarkoordinaten vom Polar-
zentrum (0,R) aus bekommt. Wir haben hier vor
allem einfachere Integranden.
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo Al-Chwarizmi, Hallo Fred97,
danke für Ihre Hilfestellungen.
Ich glaube wenigstens mit der Aussage von Fred ziemlich viel anfangen zu können. Ich werde mir die Aufgabe am Samstag noch einmal zu Gemüte ziehen und eure Ratschläge beherzigen (unter der Woche bin ich zu viel Unterwegs).
Falls dann immer noch was hinkt melde ich mich wieder.
Gruß
Mathemystic
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> Hallo Al-Chwarizmi, Hallo Fred97,
>
> danke für Ihre Hilfestellungen.
Hallo Mathemystic,
hier im Matheraum sind wir eigentlich alle per Du.
> Ich glaube wenigstens mit der Aussage von Fred ziemlich
> viel anfangen zu können. Ich werde mir die Aufgabe am
> Samstag noch einmal zu Gemüte ziehen und eure Ratschläge
> beherzigen (unter der Woche bin ich zu viel Unterwegs).
> Falls dann immer noch was hinkt melde ich mich wieder.
Natürlich sind beide Wege möglich, und beide beruhen
auf Polarkoordinaten. Im Ganzen gesehen geben wohl
auch beide ungefähr gleichviel Aufwand.
Ich würde dir gerne empfehlen, beide Wege durchzu-
spielen. Das ist oft lehrreich.
LG und gute Woche !
Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Mo 14.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> B sei eine Kreisfläche mit Radius R und Mittelpunkt an der
> Stelle (x,y) = (0,R).
> Berechnen Sie das Integral
> [mm]\integral_{B}^{}\integral_{}^{}{x^{2}+y^{2} dxy}[/mm]
> in
> kartesischen und Polarkoordinaten.
> Hallo,
>
> hat wer eine Idee wie ich den Integrationsbereich in
> Polarkoordinaten abstecken kann?
Es ist [mm] B=\{(x,y) \in \IR^2: x=rcos(\phi), y=R+rsin(\phi), 0 \le \phi \le 2 \pi, 0 \le r \le R\}
[/mm]
FRED
> Wie es kartesisch
> funktioniert ist mir klar.
>
> Mein erster Ansatz war natürlich einfach x =
> [mm]r*cos(\varphi)[/mm] und [mm]y=r*sin(\varphi)[/mm] setzen. Die Grenzen
> sind dann für [mm]r_{oben}[/mm] =R und [mm]r_{unten}=0.[/mm]
> die Grenzen für [mm]\varphi_{unten}=0[/mm] und [mm]\varphi_{oben}= 2\pi.[/mm]
>
> Aber wie bekomme ich jetzt noch die Verschiebung auf der
> y-Achse in den Definitionsbereich?
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