Darstellung einer 1 Form < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:18 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Mousegg |
| Aufgabe | Sei [mm] w^1 [/mm] eine geschlossene 1 Form auf [mm] \IR \{0} [/mm] . Beweisen Sie, dass eine eindeutig bestimmte Zahl p mit
[mm] w^1=p*(\bruch{-y}{x^2+y^2}dx+ \bruch{x}{x^2+y^2}dy)+dg
[/mm]
für eine bestimmte Funktion [mm] g:R^2 \{0}--->R. [/mm] existiert |
Hallo,
beiße mir grade an dieser Aufgabe die Zähne aus.
Obwohl ich ziemlich viele Hinweise habe gelingt es mir nicht die Teile zusammenzufügen.
Erster Hinweis ist den Parametrisierten Kreis mit Radius r zu betrachten und diese Kurve unter [mm] w^1 [/mm] zurück zu ziehen. Ist c also die Kurve [mm] c_r(t)=(rcos(2\pi [/mm] t),r [mm] sin(2\pi [/mm] t) dann erhalte ich:
[mm] c^{*}(w^1)= 2\pi*p dx+dg(c_r(t)) [/mm]
Was mir hier schonmal auffällt ist das der Vorfaktor von dx von r unabhängig ist.
2.)Der nächste HInweis ist nun zu benutzen, dass [mm] w^1=fdx [/mm] auf R sich genau dann darstellen lässt durch [mm] w^1=pdx+dg [/mm] falls [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=p [/mm]
Ab hier weiß ich nicht wie es weiter geht. Nach 2.) weiß ich jetzt zB dass
[mm] \integral_{c_r}^{}{(w^1)}=2\pi*p [/mm] und auch dass es ein f gibt mit [mm] c_r°(w^1)=f [/mm] dx und [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=2\pi*p
[/mm]
Ich habe auch schon überlegt den Hinweis 2.) auf [mm] dg(c_r(t)) [/mm] anzuwenden aber das schien mir nicht sehr vielversprechend.
Kann mir vielleicht jemand etwas auf die Sprünge helfen oder hat vielleicht jemand eine Idee wie ich weitermachen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Sa 19.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Kann mir vielleicht jemand etwas auf die Sprünge helfen
> oder hat vielleicht jemand eine Idee wie ich weitermachen
> kann?
Ich verstehe deine Hinweise leider nicht wirklich. Kannst du sie bitte mehr erläutern? Was soll denn vorallem dx?
Aber das mit dem Kreis ist schon gut - so kriegst du dein p raus. Kennst du das Lemma von Poincare? Damit kannst du dann ein g für einen großen Bereich defineiren. Dann musst du zeigen, dass man g fortsetzen kann auf ganz [m]\IR^2\setminus \{0\}[/m].
SEcki
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:31 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Mousegg |
Hallo SEcki,
danke für deine Antwort.
Erstmal zum Hinweis :
Man soll irgendwie benutzen, dass man jede 1 From auf R der From [mm] w^1=f [/mm] dx genau dann mit Hilfe einer reelen Zahl p und einer Funktion g als [mm] w^1=pdx [/mm] +dg darstellen kann falls [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) }=p.
[/mm]
(dx ist hiebei das d angewendet auf die erste Koordinatenabbildung ich glaube es entspricht dem ersten dualen Basisvektor.)
Jetzt zu deinem Tipp:
Ja ich kenne das Lemma von Poincare. Es besagt gerade das auf sternförmigen offenen Mengen jede geschlossene Form exakt ist.
Kannst du deinen Tipp vielleicht noch etwas genauer erklären ich bin nicht ganz sicher wie ich jetzt das Poincare Lemma anwenden soll um ein g zu definieren. Ich weiß ja gar nicht wie g aussieht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 21.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 23.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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