www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Bundesräte
Bundesräte < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bundesräte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Sa 01.09.2012
Autor: Kuriger

Aufgabe
Regelmässig gibt die Departementsverteilung im Bundesrat zu reden. Nehmen wir an, alle n Bundesräte sind wiedergewählt worden und bestimmen jetzt eine neue Departementsverteilung

a) Wieviele mögliche Departementsverteilungen gibt es insgesamt?
b) Sei [mm] A_i [/mm] die Menge aller Departementsverteilungen, bei denen Bundesrat i sein Departement behält, wie gross ist [mm] |A_i|? [/mm]
c) Was bedeutet [mm] A_i \cap A_j [/mm] und [mm] A_i \cap A_j \cap A_k, [/mm] wobei i, j und k alle verschieden sind. Wieviele Elemente enthalten [mm] A_i \cap A_j [/mm] und [mm] A_i \cap A_j \cap A_k? [/mm]
d) zeichnen Sie das Ereignis " Bundesräte a und 2 behalten ihr Departement, Bundesrat 5 wechselt.

e) zeichnen Sie das Ereignis A = [mm] \{Mindestens ein Bundesrat behält das Departement\} [/mm]

f) bestimmen Sie P(A) für den Fall n = 3

g) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zufälliger Departementsverteilung kein Bundesrat sein altes Departement weiterführt?




Hallo

Eine Aufgabe die ich leider überhaupt nicht verstehe.

a) n: Total Bundesräte, also n! (n = 7)

b)Ein Bundesrat ist fix, also machen die restlichen 6 die Verteilung unter sich aus, allgemein geschrieben [mm] |A_i| [/mm] = (n-1)!
Was das Betragszeichen soll, ist mir schleierhaft

c) Was ist [mm] A_j, [/mm] statt i behält hier Bundesrat j sein Departement?

[mm] A_i \cap A_j, [/mm] Bundesrat i und j behalten ihre Departemente, also (n-2)!
[mm] A_i \cap A_j \cap A_k: [/mm] Und hier sinds dann 3? (n-3)!

d) ? Kein clue...

e)
Was ist da verlangt?

f)
Also es sind 3 Bundesräte und 3 Departemente, oder wie?
Keiner Behält sein Departement. Departemente A, B und C
Bundesrat 1 der Department A innehatte muss nun Departement B oder C nehmen. Bundesrat B, der Departement B innehatte, muss nun A oder B nehmen
......
Aber wieviele Möglichkeiten gibt es nun?
Die möglichen Departementszuordnungen beträgt ja 3! = 6

[mm] P(\overline{A}) [/mm] = ...

P(A) = 1 - [mm] P(\overline{A}) [/mm] = ...

g) ?






        
Bezug
Bundesräte: Hinweis für Nichtschweizer
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mo 03.09.2012
Autor: reverend

Hallo,

die Aufgabe und etwaige Lösungsversuche sind leichter verständlich, wenn man die Funktion des []schweizerischen Bundesrats kennt.
Ganz knapp: auch jedes der 7 Mitglied heißt Bundesrat. Diese sieben verteilen unter sich die 7 Departemente.

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
Bundesräte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Mo 03.09.2012
Autor: reverend

Hallo Kuriger,

diese Aufgabe wird man in Hessen normalerweise nicht stellen. ;-)

Im übrigen ist sie inkonsistent formuliert.

> Regelmässig gibt die Departementsverteilung im Bundesrat
> zu reden. Nehmen wir an, alle n Bundesräte sind
> wiedergewählt worden und bestimmen jetzt eine neue
> Departementsverteilung

Achtung: hier wird zwar vom Prinzip des schweizerischen Bundesrats ausgegangen, aber es sind explizit n Bundesräte genannt.

> a) Wieviele mögliche Departementsverteilungen gibt es
> insgesamt?
>  b) Sei [mm]A_i[/mm] die Menge aller Departementsverteilungen, bei
> denen Bundesrat i sein Departement behält, wie gross ist
> [mm]|A_i|?[/mm]
>  c) Was bedeutet [mm]A_i \cap A_j[/mm] und [mm]A_i \cap A_j \cap A_k,[/mm]
> wobei i, j und k alle verschieden sind. Wieviele Elemente
> enthalten [mm]A_i \cap A_j[/mm] und [mm]A_i \cap A_j \cap A_k?[/mm]
>  d)
> zeichnen Sie das Ereignis " Bundesräte a und 2 behalten
> ihr Departement, Bundesrat 5 wechselt.
>  
> e) zeichnen Sie das Ereignis A = [mm]\{Mindestens ein Bundesrat behält das Departement\}[/mm]
>  
> f) bestimmen Sie P(A) für den Fall n = 3
>  
> g) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei
> zufälliger Departementsverteilung kein Bundesrat sein
> altes Departement weiterführt?
>  
>
>
> Hallo
>  
> Eine Aufgabe die ich leider überhaupt nicht verstehe.
>  
> a) n: Total Bundesräte, also n! (n = 7)

Der Hinweis (n=7) ist ja im politischen System richtig, die Aufgabe setzt das aber nicht voraus. n! ist die richtige Lösung.

> b)Ein Bundesrat ist fix, also machen die restlichen 6 die
> Verteilung unter sich aus, allgemein geschrieben [mm]|A_i|[/mm] =
> (n-1)!
>  Was das Betragszeichen soll, ist mir schleierhaft

[mm] A_i [/mm] ist doch per definitionem eine Menge. Gesucht ist ihre Mächtigkeit, daher die Betragsstriche. Ansonsten richtig.

> c) Was ist [mm]A_j,[/mm] statt i behält hier Bundesrat j sein
> Departement?

Genau.

> [mm]A_i \cap A_j,[/mm] Bundesrat i und j behalten ihre Departemente,
> also (n-2)! [ok]
>   [mm]A_i \cap A_j \cap A_k:[/mm] Und hier sinds dann 3? (n-3)! [ok]
>  
> d) ? Kein clue...
>  
> e)
>  Was ist da verlangt?

Wie habt Ihr denn bisher solche Ereignisse gezeichnet? In einem Venn-Diagramm?

> f)
> Also es sind 3 Bundesräte und 3 Departemente, oder wie?

Ja, so verstehe ich die Aufgabe auch.

>  Keiner Behält sein Departement. Departemente A, B und C
>  Bundesrat 1 der Department A innehatte muss nun
> Departement B oder C nehmen. Bundesrat B, der Departement B
> innehatte, muss nun A oder B nehmen
>  ......
>  Aber wieviele Möglichkeiten gibt es nun?
>  Die möglichen Departementszuordnungen beträgt ja 3! = 6
>  
> [mm]P(\overline{A})[/mm] = ...
>  
> P(A) = 1 - [mm]P(\overline{A})[/mm] = ...

Naja, es wäre hilfreich, wenn Du entweder $P(A)$ oder [mm] P(\overline{A}) [/mm] bestimmen könntest. Bei n=e geht das doch ganz leicht. Überleg mal.

> g) ?

Hier ist nicht klar, ob diese Frage auch nur für n=3 gelöst werden soll oder ganz allgemein für n. Ich nehme letzteres an, auch wenn das schwieriger ist.
Wie würdest Du vorgehen? Mach mal einen Vorschlag.
Gibt es ein gut zu berechnendes Gegenereignis? Oder kann man vielleicht rekursiv vorgehen und von da aus nach einer "Gesamtformel" suchen?

Grüße
reverend



Bezug
                
Bezug
Bundesräte: Aufgabe g)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Mo 03.09.2012
Autor: Kuriger

Hallo


Das mit dem Gegenereignis ist wohl nicht sinnvoll, weil das Gegenereignis (Bei 7 Bundesräte) wäre ja 1, 2, 3, 4, 5, 6.....Bundesräte führen ihr Departement weiter.

Mal mit n = 3
Total gibts ja wie berechnet 3! = 6 Departementsverteilungen.

Nun die Anzahl Verteilungen bei denen jeder Bundesrat sein Departement wechselt

Möglichkeit 1
Bundesrat A nimmt das Departement von B
Bundesrat B nimmt das Departement von C
Bundesrat C nimmt das Departement von A


Möglichkeit 2
Bundesrat A nimmt das Departement von C
Bundesrat B nimmt das Departement von A
Bundesrat C nimmt das Departement von B

Mehr gibts nicht?
Also wäre die Wahrscheinlichkeit, dass kein Bundesrat sein Departement weiterführt [mm] \bruch{2}{6} [/mm]

Stimmt das ?

Und eben in allgemeiner Schreibweise...










Bezug
                        
Bezug
Bundesräte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Mo 03.09.2012
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Das mit dem Gegenereignis ist wohl nicht sinnvoll, weil das
> Gegenereignis (Bei 7 Bundesräte) wäre ja 1, 2, 3, 4, 5,
> 6.....Bundesräte führen ihr Departement weiter.

Nur 1 bis 5. Wenn 6 Bundesräte ihre Departemente weiterführen, dann der siebte auch. ;-) Diesen Fall (also alle bleiben) muss man aber natürlich im Gegenereignis trotzdem mit berücksichtigen.
Angefangen bei 3 Bundesräten könnte man allerdings eine Rekursionsformel aufstellen, nur keine sehr handhabbare. Siehe unten.

> Mal mit n = 3
>  Total gibts ja wie berechnet 3! = 6
> Departementsverteilungen.
>  
> Nun die Anzahl Verteilungen bei denen jeder Bundesrat sein
> Departement wechselt
>  
> Möglichkeit 1
>  Bundesrat A nimmt das Departement von B
>  Bundesrat B nimmt das Departement von C
>  Bundesrat C nimmt das Departement von A
>  
>
> Möglichkeit 2
>  Bundesrat A nimmt das Departement von C
>  Bundesrat B nimmt das Departement von A
>  Bundesrat C nimmt das Departement von B
>  
> Mehr gibts nicht?

Nein, das sind alle

>  Also wäre die Wahrscheinlichkeit, dass kein Bundesrat
> sein Departement weiterführt [mm]\bruch{2}{6}[/mm]
>  
> Stimmt das ?

Ich würde noch kürzen, aber ansonsten: korrekt.

> Und eben in allgemeiner Schreibweise...

Definieren wir doch mal eine Folge [mm] a_n, [/mm] die angibt, wieviele Möglichkeiten es gibt, dass bei n Bundesräten keiner sein Departement weiterführt.

Offensichtlich sind [mm] a_1=0 [/mm] und [mm] a_2=1 [/mm]

Ab da gilt: [mm] a_n=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2}) [/mm]

Begründung: ein n-ter Bundesrat tritt hinzu. Wenn die anderen (n-1) B. die ersten (n-1) D. verteilt haben und keiner sein bisheriges hat, dann genügt es, wenn n mit einem von den andern tauscht. Macht also [mm] (n-1)a_{n-1} [/mm] Möglichkeiten.
Außerdem gibt es noch die Möglichkeit, dass einer von den andern (n-1) sein Departement behält, die anderen (n-2) aber alle nicht. In diesem Fall tauscht Nummer n mit demjenigen, der sein D. behalten hat. Macht weitere [mm] (n-1)a_{n-2} [/mm] Möglichkeiten.

Die ersten [mm] a_n [/mm] sind:
[mm] a_1=0 [/mm]
[mm] a_2=1 [/mm]
[mm] a_3=2*(1+0)=2 [/mm]
[mm] a_4=3*(2+1)=9 [/mm]
[mm] a_5=4*(9+2)=44 [/mm]
[mm] a_6=5*(44+9)=265 [/mm]
[mm] a_7=6*(265+44)=1854 [/mm]
[mm] a_8=7*(1854+265)=14833 [/mm]
[mm] \cdots [/mm]

Interessant ist nun, dass für [mm] n\to\infty [/mm] der Quotient [mm] \bruch{a_n}{n!} [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{e} [/mm] strebt.

Das nachzuweisen sowie die Erstellung einer expliziten Formel [mm] a_n=f(n) [/mm] überlasse ich mal Dir. ;-)

Grüße
reverend


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de