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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Bijektivität einer Abbildung
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Bijektivität einer Abbildung: Aufgabenhilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Sa 30.05.2009
Autor: Ultio

Aufgabe
Es gilt zu zeigen, dass F (x,y) = (x-xy , xy) auf [mm] \IR^{2} [/mm] eine bijektive Abbildung ist.

Hallo, kann mir jemand mal bei meinen Gedankengängen helfen, bzw.  mal schauen ob es richtig ist?
Vielen dank...
Mit freundlichen Grüßen
Felix


Bijektiv Abb. ist inj. und surj..
zur Injektivität:
F (x,y) = F (a,b)
xy = ab trift zu wenn a=y und b=x   (1. Möglichkeit)
                              oder wenn a = x und  b = y   (2. Möglichkeit)
nun betrachtet man den Term : x-xy = a - ab
dies ist nur erfüllt wenn a=x und b=y ist, damit fällt 1. Möglichkeit weg.

--> F ist injektiv


zur Surjektivität:
F(x,y) = (v,w)
v= x(1-y)    [mm] \Rightarrow [/mm]    x = v / (1-y)
w = xy        [mm] \Rightarrow [/mm]    y = w / x

damit ist F (v / (1-y)   ,  w / x)   =  (v , w)

--> F ist surjektiv

[mm] \Rightarrow [/mm] F ist bijektiv

        
Bezug
Bijektivität einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Sa 30.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Es gilt zu zeigen, dass F (x,y) = (x-xy , xy) auf [mm]\IR^{2}[/mm]
> eine bijektive Abbildung ist.
>  Hallo, kann mir jemand mal bei meinen Gedankengängen
> helfen, bzw.  mal schauen ob es richtig ist?
> Vielen dank...
>  Mit freundlichen Grüßen
> Felix
>  
>
> Bijektiv Abb. ist inj. und surj..
>  zur Injektivität:
>  F (x,y) = F (a,b)
>  xy = ab trift zu wenn a=y und b=x   (1. Möglichkeit)
>                                oder wenn a = x und  b = y  

Hallo,

nein das stimmt nicht:  z.B. ist 144= 2*72= 12*12.

Überleg mal anders: wenn F(a,b)=F(x,y),

dann ist gleichzeitig  xy=ab und x+xy=a+ab.

==> x+xy=a+ ...  ==> x=a

Wenn nun a und x gleich sind, dann hast Du xy=ab <==> xy=xb  ==> ??? Und jetzt solltest Du bzgl der Injektivität ins Grübeln kommen, und vielleicht an einem Beispiel zeigen, daß die Funktion gar nicht injektiv ist.


>  
> --> F ist injektiv
>  
>
> zur Surjektivität:
>  F(x,y) = (v,w)

Das ist stark verkürzt, und das rächt sich gleich.
Du mußt doch zeigen, daß Du zu jedem vorgegebenen (v,w) passende x und y findest, so daß F(x,y) = (v,w)


>  v= x(1-y)    [mm]\Rightarrow[/mm]    x = v / (1-y)
>  w = xy        [mm]\Rightarrow[/mm]    y = w / x
>  
> damit ist F (v / (1-y)   ,  w / x)   =  (v , w)

Nee, so geht das nicht.

Im Punkt (v / (1-y)   ,  w / x)   schwirren ja noch lustig x und y herum, Deine Variablen.

Wenn ich F (v / (1-y)   ,  w / x)  ausrechne, habe ich ja nicht (v,w) dastehen.

Gruß v. Angela






>  
> --> F ist surjektiv
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] F ist bijektiv


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