Beweis mittels Spur-Identität < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Anlex |
| Aufgabe | Benutzen Sie folgende Identität
[mm] c^T \, \Lambda \, [/mm] c [mm] \equiv Sp[\Lambda \, [/mm] c [mm] c^T]
[/mm]
um zu zeigen, dass gilt:
[mm] \sum_{i=1}^3{e_i^T \, \lambda^a \, e_i } [/mm] = 0
Hierbei sind [mm] \lambda^a, [/mm] a = 1,...,8 die Generatoren der SU(3) und [mm] e_i, [/mm] i=1,2,3 die passenden Einheitsvektoren. |
Hallo allerseits! Ich komme mit der Aufgabe nicht so wirklich klar. Ich bin mir nicht sicher, ob man die Summe vor dem Anwenden der gegebenen Identität noch irgendwie verarbeiten muss.
Wenn ich die Identität einfach so auf die linke Seite des zu zeigenden Ausdrucks anwende, erhalte ich:
[mm] \sum_{i=1}^3{ Sp[\lambda^a \, e_i e_i^T] }
[/mm]
Ich weiß, dass für die [mm] \lambda^a [/mm] gilt, dass [mm] Sp[\lambda^a] [/mm] = 0 und wenn ich jetzt kanonische Einheitsvektoren hätte, wäre der Rest ganz einfach. Soweit ich es verstehe, sollte das aber für allgemeine Einheitsvektoren gültig sein und damit komme ich nicht klar.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=440370
http://www.onlinemathe.de/forum/Beweisführung-mittels-Spur-Identität
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:26 Di 04.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Benutzen Sie folgende Identität
>
> [mm]c^T \, \Lambda \,[/mm] c [mm]\equiv Sp[\Lambda \,[/mm] c [mm]c^T][/mm]
>
> um zu zeigen, dass gilt:
>
> [mm]\sum_{i=1}^3{e_i^T \, \lambda^a \, e_i }[/mm] = 0
>
> Hierbei sind [mm]\lambda^a,[/mm] a = 1,...,8 die Generatoren der
> SU(3) und [mm]e_i,[/mm] i=1,2,3 die passenden Einheitsvektoren.
> Hallo allerseits! Ich komme mit der Aufgabe nicht so
> wirklich klar. Ich bin mir nicht sicher, ob man die Summe
> vor dem Anwenden der gegebenen Identität noch irgendwie
> verarbeiten muss.
>
> Wenn ich die Identität einfach so auf die linke Seite des
> zu zeigenden Ausdrucks anwende, erhalte ich:
>
> [mm]\sum_{i=1}^3{ Sp[\lambda^a \, e_i e_i^T] }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich weiß, dass für die [mm]\lambda^a[/mm] gilt, dass [mm]Sp[\lambda^a][/mm]
> = 0 und wenn ich jetzt kanonische Einheitsvektoren hätte,
> wäre der Rest ganz einfach. Soweit ich es verstehe, sollte
> das aber für allgemeine Einheitsvektoren gültig sein und
> damit komme ich nicht klar.
Nimm doch mal an, [mm] $e_1', e_2', e_3'$ [/mm] sind die kanonischen Einheitsvektoren, und [mm] $e_i [/mm] = O [mm] e_i'$ [/mm] mit einer orthogonalen Matrix $O$. Dann ist doch [mm] $\sum_{i=1}^3 e_i e_i^T [/mm] = O [mm] \left( \sum_{i=1}^3 e_i' e_i'^T \right) O^T [/mm] = O [mm] O^T [/mm] = I$, also gleich der Einheitsmatrix.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:17 Di 04.01.2011 | | Autor: | Anlex |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \summe_{i=1}^{3} e_i^T \lambda^a \lambda^b e_i [/mm] unter Ausnutzung folgender Antivertauschungsrelation:
[mm] \lambda^a \lambda^b [/mm] + [mm] \lambda^b \lambda^a [/mm] = [mm] \frac{1}{3} \delta^{ab} [/mm] + [mm] d^{abc} \lambda^c [/mm]
Die Konstanten [mm] d^{abc} [/mm] sind für das Ergebnis ohne Belang. |
Kann denn solch eine orthogonale Matrix jeweils gefunden werden? An sich gefällt mir der Tipp ja. Ich forme das Ganze dann folgendermaßen um:
[mm] \summe_{i=1}^{3} e_i^T \lambda^a e_i [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{3} Sp[\lambda^a e_i e_i^T] [/mm] = [mm] Sp[\lambda^a (\summe_{i=1}^{3} e_i e_i^T)] [/mm] = [mm] Sp[\lambda^a O(\summe_{i=1}^{3}e'_ie'_i^T)O^T] [/mm] = [mm] Sp[\lambda^a OIO^T] [/mm] = [mm] Sp[\lambda^a] [/mm] = 0
Soweit so gut.
Zum zweiten Aufgabenteil denk ich mir, ich gehe vor, wie im ersten Teil und erhalte dann einen Ausdruck
[mm] \summe_{i=1}^{3} e_i^T \lambda^a \lambda^b e_i [/mm] = [mm] Sp[\lambda^a \lambda^b]
[/mm]
Wenn ich da jetzt die Antivertauschungsrelation einsetze, erhalte ich
[mm] Sp[\frac{1}{3} \delta^{ab} [/mm] + [mm] d^{abc} \lambda^c [/mm] - [mm] \lambda^b \lambda^a] [/mm] = [mm] \frac13 Sp[\delta^{ab}] [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{8} d^{abi} Sp[\lambda^i] [/mm] - [mm] Sp[\lambda^b \lambda^a] [/mm] = [mm] \frac13 Sp[\delta^{ab}] [/mm] - [mm] Sp[\lambda^b \lambda^a]
[/mm]
Hier habe ich im Ausdruck [mm] d^{abc}\lambda^c [/mm] über den Index c summiert.
Da man Matrizen in der Spur zyklisch tauschen kann, ist [mm] Sp[\lambda^b\lambda^a] [/mm] = [mm] Sp[\lambda^a\lambda^b], [/mm] womit folgt:
[mm] \summe_{i=1}^{3} e_i^T \lambda^a \lambda^b e_i [/mm] = [mm] Sp[\lambda^a \lambda^b] [/mm] = [mm] \frac16 Sp[\delta^{ab}]
[/mm]
Im Wiki-Artikel zu den [mm] \lambda^a [/mm] steht, dass folgendes gilt:
[mm] Sp[\lambda^a \lambda^b] [/mm] = [mm] 2\delta^{ab}
[/mm]
Ich vermute also, dass ich irgendwie von dem, was ich bisher habe, darauf kommen soll, ich bräuchte aber noch einen Stups in die richtige Richtung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Di 04.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Berechnen Sie
>
> [mm]\summe_{i=1}^{3} e_i^T \lambda^a \lambda^b e_i[/mm] unter
> Ausnutzung folgender Antivertauschungsrelation:
>
> [mm]\lambda^a \lambda^b[/mm] + [mm]\lambda^b \lambda^a[/mm] = [mm]\frac{1}{3} \delta^{ab}[/mm]
> + [mm]d^{abc} \lambda^c[/mm]
Was genau ist [mm] $\delta^{ab}$? [/mm] Ich haette jetzt auf Kroneckersymbol getippt, aber hier muss es doch eine Matrix sein. Oder wird das Kroneckerprodukt einfach mit einer Matrix multipliziert?
> Die Konstanten [mm]d^{abc}[/mm] sind für das Ergebnis ohne Belang.
>
> Kann denn solch eine orthogonale Matrix jeweils gefunden
> werden?
Das geht genau dann, wenn [mm] $e_1, \dots, e_3$ [/mm] eine orthonormale Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist. Und ich nehme doch stark an, dass solche vorliegen?
(Allerdings: es geht hier doch um den [mm] $\IC^3$? [/mm] Dann ist es eher eine unitaere Matrix. Was bedeutet [mm] $A^T$ [/mm] bei euch? Transponiert? Oder unitaer transponiert, also zusaetzlich noch konjugiert?)
> An sich gefällt mir der Tipp ja. Ich forme das
> Ganze dann folgendermaßen um:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{3} e_i^T \lambda^a e_i[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{3} Sp[\lambda^a e_i e_i^T][/mm]
> = [mm]Sp[\lambda^a (\summe_{i=1}^{3} e_i e_i^T)][/mm] = [mm]Sp[\lambda^a O(\summe_{i=1}^{3}e'_ie'_i^T)O^T][/mm]
> = [mm]Sp[\lambda^a OIO^T][/mm] = [mm]Sp[\lambda^a][/mm] = 0
>
> Soweit so gut.
Ich denke das passt so.
> Zum zweiten Aufgabenteil denk ich mir, ich gehe vor, wie im
> ersten Teil und erhalte dann einen Ausdruck
>
> [mm]\summe_{i=1}^{3} e_i^T \lambda^a \lambda^b e_i[/mm] =
> [mm]Sp[\lambda^a \lambda^b][/mm]
>
> Wenn ich da jetzt die Antivertauschungsrelation einsetze,
> erhalte ich
>
> [mm]Sp[\frac{1}{3} \delta^{ab}[/mm] + [mm]d^{abc} \lambda^c[/mm] - [mm]\lambda^b \lambda^a][/mm]
> = [mm]\frac13 Sp[\delta^{ab}][/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{8} d^{abi} Sp[\lambda^i][/mm]
> - [mm]Sp[\lambda^b \lambda^a][/mm] = [mm]\frac13 Sp[\delta^{ab}][/mm] -
> [mm]Sp[\lambda^b \lambda^a][/mm]
>
> Hier habe ich im Ausdruck [mm]d^{abc}\lambda^c[/mm] über den Index
> c summiert.
>
> Da man Matrizen in der Spur zyklisch tauschen kann, ist
> [mm]Sp[\lambda^b\lambda^a][/mm] = [mm]Sp[\lambda^a\lambda^b],[/mm] womit
> folgt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{3} e_i^T \lambda^a \lambda^b e_i[/mm] =
> [mm]Sp[\lambda^a \lambda^b][/mm] = [mm]\frac16 Sp[\delta^{ab}][/mm]
Sieht gut aus soweit.
> Im Wiki-Artikel
> zu den [mm]\lambda^a[/mm] steht, dass folgendes gilt:
>
> [mm]Sp[\lambda^a \lambda^b][/mm] = [mm]2\delta^{ab}[/mm]
>
> Ich vermute also, dass ich irgendwie von dem, was ich
> bisher habe, darauf kommen soll, ich bräuchte aber noch
> einen Stups in die richtige Richtung.
Also falls mit [mm] $\delta^{a b}$ [/mm] die $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix gemeint ist, die entweder Nullen oder Einsen auf der Diagonalen hat und sonst nur Nullen, dann ist [mm] $Sp[\delta^{ab}] [/mm] = 3 [mm] \delta^{a b}$, [/mm] wobei [mm] $\delta^{a b}$ [/mm] auf der rechten Seite einfach 0 oder 1 ist (das normale Kroneckersymbol halt).
Damit wuerde ich aber nur auf [mm] $\frac{1}{2} \delta^{a b}$ [/mm] kommen und nicht auf $2 [mm] \delta^{a b}$...
[/mm]
Ich befuerchte, ich kann dir gerade hier auch nicht weiterhelfen...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Di 04.01.2011 | | Autor: | Anlex |
Ja, sollte das Kronecker Delta sein, sorry, dass ich das nicht erwähnt habe. Danke aber auf jeden Fall für die Hilfe! Ich meld mich nach meiner Übungsveranstaltung nochmal.
EDIT:
So, also der Faktor [mm] \frac12 [/mm] beim Ergebnis scheint schon zu stimmen. Dass bei Wikipedia ein Faktor 2 dort steht, ist wohl eine Konventionsgeschichte.
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 04.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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