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| Aufgabe | | Lösen Sie von Hand das Anfangswertproblem y'(x)= [mm] \bruch{xy}{x^{2}+3y^{2}} [/mm] , y(0)=2 |
Ich habe versucht diese Aufgabe mit einer Substitution zu lösen. Zuerst habe ich den Bruch mit [mm] \bruch {1}{x^{2}} [/mm] erweitert um y'(x)= [mm] \bruch{\bruch{y}{x}}{1+3\bruch{y^{2}}{x^{2}}} [/mm] zuerhalten. danach habe ich [mm] \bruch{y}{x} [/mm] mit z substituiert. Danach mit Variablentrennung versucht die allgemeine Lösung zu erhalten. Ich erhalte aber eine falsche allgemeine Lösung.
Ich frage mich nun, ob ich falsch vorgegangen bin...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo king_loki,
> Lösen Sie von Hand das Anfangswertproblem y'(x)=
> [mm]\bruch{xy}{x^{2}+3y^{2}}[/mm] , y(0)=2
> Ich habe versucht diese Aufgabe mit einer Substitution zu
> lösen. Zuerst habe ich den Bruch mit [mm]\bruch {1}{x^{2}}[/mm]
> erweitert um y'(x)=
> [mm]\bruch{\bruch{y}{x}}{1+3\bruch{y^{2}}{x^{2}}}[/mm] zuerhalten.
> danach habe ich [mm]\bruch{y}{x}[/mm] mit z substituiert. Danach mit
> Variablentrennung versucht die allgemeine Lösung zu
> erhalten. Ich erhalte aber eine falsche allgemeine
> Lösung.
> Ich frage mich nun, ob ich falsch vorgegangen bin...
>
Poste dazu Deine Lösungsversuche.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | Lösen Sie von Hand das Anfangswertproblem [mm] y'(x)=\bruch{y*x}{x^{2}+3*y^{2}} [/mm] , y(0)=2 |
[mm] y'(x)=\bruch{y*x}{x^{2}+3*y^{2}} [/mm] erweitern mit [mm] \bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
y'(x)= [mm] \bruch{\bruch{y}{x}}{1+3*\bruch{y^{2}}{x^{2}}}
[/mm]
[mm] z=\bruch{y}{x} [/mm] Substituiren
y=z*x umstellen
y'=z'*x+z*1 ableiten
z'*x [mm] =\bruch{z}{1+3*z^{2}}-z
[/mm]
[mm] x*\bruch{dz}{dx}=\bruch{-3*z^{3}}{1+3*z^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{dx}=\bruch{-3*z^{3}}{(1+3*z^{2})*dz}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x}*dx=\bruch{(1+3*z^{2})*dz}{-3*z^{3}} [/mm] integrieren
ln|x|+C = [mm] -\bruch{6*z^{2}*ln|z|-1}{6*z^{2}}
[/mm]
ln|x|+C = [mm] \bruch{6*ln|\bruch{x}{y}|*y^{2}+x^{2}}{6*y^{2}}
[/mm]
Sollte eigentlich ergeben:
[mm] \bruch{x^{2}}{y^{2}}=ln(\bruch{y}{2})^{6}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Lösen Sie von Hand das Anfangswertproblem
> [mm]y'(x)=\bruch{y*x}{x^{2}+3*y^{2}}[/mm] , y(0)=2
> [mm]y'(x)=\bruch{y*x}{x^{2}+3*y^{2}}[/mm] erweitern mit
> [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
>
> y'(x)= [mm]\bruch{\bruch{y}{x}}{1+3*\bruch{y^{2}}{x^{2}}}[/mm]
>
>
> [mm]z=\bruch{y}{x}[/mm] Substituiren
> y=z*x umstellen
> y'=z'*x+z*1 ableiten
>
>
>
> z'*x [mm]=\bruch{z}{1+3*z^{2}}-z[/mm]
>
> [mm]x*\bruch{dz}{dx}=\bruch{-3*z^{3}}{1+3*z^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{dx}=\bruch{-3*z^{3}}{(1+3*z^{2})*dz}[/mm]
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> [mm]\bruch{1}{x}*dx=\bruch{(1+3*z^{2})*dz}{-3*z^{3}}[/mm]
> integrieren
>
> ln|x|+C = [mm]-\bruch{6*z^{2}*ln|z|-1}{6*z^{2}}[/mm]
hier ist ein Vorzeichen falsch!
[mm] -1/(3z^3) [/mm] integriert ist [mm] +1/(6z^2); [/mm] -1/z integriert -ln(z)
> ln|x|+C = [mm]\bruch{6*ln|\bruch{x}{y}|*y^{2}+x^{2}}{6*y^{2}}[/mm]
dann lnz auf die linke Seite lnx+lnz=lnx*z!
Gruss leduart
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Vielen Dank für die rasche Antwort!
Ich erhalte für die allg. Lösung :
ln|x|+C = [mm] \bruch{6*ln(\bruch{x}{y})*y^{2}+x^{2}}{6*y^{2}}
[/mm]
ln|x|+C = [mm] ln(\bruch{x}{y})+\bruch{x^{2}}{6*y^{2}}
[/mm]
ln(y)+c = [mm] \bruch{x^{2}}{6*y^{2}}
[/mm]
[mm] ln(y^{6})+C=\bruch{x^{2}}{y^{2}}
[/mm]
Sollte aber
[mm] ln(\bruch{y}{2}^{6})+C=\bruch{x^{2}}{y^{2}}
[/mm]
sein
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> Vielen Dank für die rasche Antwort!
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> Ich erhalte für die allg. Lösung :
>
> ln|x|+C = [mm]\bruch{6*ln(\bruch{x}{y})*y^{2}+x^{2}}{6*y^{2}}[/mm]
>
> ln|x|+C = [mm]ln(\bruch{x}{y})+\bruch{x^{2}}{6*y^{2}}[/mm]
>
> ln(y)+c = [mm]\bruch{x^{2}}{6*y^{2}}[/mm]
>
> [mm]ln(y^{6})+C=\bruch{x^{2}}{y^{2}}[/mm]
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> Sollte aber
>
> [mm]ln(\bruch{y}{2}^{6})+C=\bruch{x^{2}}{y^{2}}[/mm]
>
> sein
>
hallo,
da aber gilt ln(a/b)=ln(a)-ln(b) kannst du die 2 zur konstanten packen
gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Fr 29.06.2012 | | Autor: | king_loki |
OK! Vielen dank
Gruss Loki
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