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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Abbildung zwischen Mengen
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Abbildung zwischen Mengen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Sa 06.11.2004
Autor: BiliAgili

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

f : M  [mm] \to [/mm] N eine beliebige Abbildung zwischen Mengen und A1, A2 beliebige teilmengen von M so gilt:

f(A1  [mm] \cup [/mm] A2) = f(A1)  [mm] \cup [/mm] f(A2)

Ich möchte gerne einen Lösungsansatz haben wie ich dies beweisen könnte oder Aufschreiben könnte. Würde mich über eine Antwort freuen.

        
Bezug
Abbildung zwischen Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Sa 06.11.2004
Autor: Marc

Hallo BiliAgili,

[willkommenmr]

exakt diese Frage wurde hier bereits mehrmals gestellt:

z.B. https://matheraum.de/read?t=21214

Vielleicht helfen dir die dortigen Ausführungen ja bereits weiter, falls nicht frage einfach nach.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
        
Bezug
Abbildung zwischen Mengen: Ansatz richtig ?! Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 So 07.11.2004
Autor: BiliAgili

f : M   N eine beliebige Abbildung zwischen Mengen und A1, A2 beliebige teilmengen von M so gilt:

wenn f^-1 (B1  [mm] \cup [/mm] B2) = f^-1(B1)  [mm] \cup [/mm] f^-1(B2)

dann: sei y  [mm] \in [/mm] f^-1(B1 [mm] \cup [/mm] B2), dann gilt y  [mm] \in [/mm] f^-1 und x  [mm] \in [/mm] (B1 [mm] \cup [/mm] B2).
Daraus folgt y  [mm] \in [/mm] f^-1 und x  [mm] \in [/mm] B1 oder x  [mm] \in [/mm] B2 ... usw

Ist der Ansatz bis dahin richtig oder hab ich etwas übersehen darf man sowas überhaupt machen ?!

Würd mich über eine schnelle antwort freuen

Gruß Peter

Bezug
                
Bezug
Abbildung zwischen Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Do 11.11.2004
Autor: Julius

Hallo Peter!

Dein Ansatz könnte halbwegs richtig sein, ist aber relativ hingesaut und daher schlecht nachzuvollziehen. Benutze bitte demnächst unseren Formel-Editor.

Also:

Ist $x [mm] \in f^{-1}(B_1 \cup B_2)$, [/mm] dann gibt es ein $y [mm] \in B_1 \cup B_2$ [/mm] mit

$f(x) = y$.

Für dieses $y$ gilt: $y [mm] \in B_1$ [/mm] oder $y [mm] \in B_2$. [/mm]

Es gibt also ein [mm] $y_1 \in B_1$ [/mm] mit

$f(x) = [mm] y_1$ [/mm]

oder ein [mm] $y_2 \in B_2$ [/mm] mit

$f(x) = [mm] y_2$. [/mm]

Daraus folgt:

$x [mm] \in f^{-1}(B_1)$ [/mm]    oder    $x [mm] \in f^{-1}(B_2)$, [/mm]

also:

$x [mm] \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$. [/mm]

Ist umgekehrt

$x [mm] \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$, [/mm]

so gilt:

$x [mm] \in f^{-1}(B_1)$ [/mm]    oder    $x [mm] \in f^{-1}(B_2)$, [/mm]

d.h. es gibt ein [mm] $y_1 \in B_1$ [/mm] mit

$f(x) = [mm] y_1$ [/mm]

oder ein [mm] $y_2 \in B_2$ [/mm] mit

$f(x) = [mm] y_2$. [/mm]

Es gilt aber: [mm] $y_1 \in B_1 \cup B_2$ [/mm] und [mm] $y_2 \in B_1 \cup B_2$, [/mm]

d.h. es gibt in jedem Fall ein $y [mm] \in B_1 \cup B_2$ [/mm] mit

$f(x) = y$.

Daraus folgt:

$x [mm] \in f^{-1}(B_1 \cup B_2)$. [/mm]

Liebe Grüße
Julius

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