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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Ich habe mir wieder vor für das Wochenende einiges nachzuholen und zu üben:
Diesmal geht es wieder um Bijektivität
Es sei $L [mm] \in \IN, [/mm] X = [mm] \{0, 1\}^{L}$ [/mm] und $Y = [mm] \{n \in \IN \mid 0 \le n < 2^{L}\}$. [/mm]
Zeigen sie, dass durch die Abbildung $f : X [mm] \to [/mm] Y, X [mm] \ni (\varepsilon_1, [/mm] . . . , [mm] \varepsilon_L) \to f(\varepsilon_1, [/mm] . . . , [mm] \varepsilon_L) [/mm] := [mm] \summe_{j=0}^{L-1} \varepsilon_j 2^j$ [/mm] eine Bijektion von $X$ nach $Y$ definiert wird (man nennt [mm] $f_{−1} [/mm] (n)$ die dyadische Darstellung von $n [mm] \in [/mm] Y$ ).
Also ich hätte an dieser Stelle den Ansatz:
x und y haben beide [mm] $2^{L}$ [/mm] viele Elemente, daher sind die beide Mengen gleichmächtig. Leider dürfen wir aber nicht den Satz benutzen, dass 2 gleichmächtige Mengen automatisch Bijektiv sind..Daher muss ich jetzt entweder zeigen, dass die Abbildung injektiv ist ODER das sie surjektiv ist...leider ist mir grad nicht klar wie, die Bedingungen für Injektivität und Surjektivität kenne ich:
Injektivität:
wenn f(a)=f(b) a=b
d.h. jeder x Wert hat einen eigenen y-Wert
Surjektivität:
für alle b [mm] \in [/mm] B gibt es ein f(a)=b
d.h. für jeden y-Wert gibt es mindestens einen x-Wert
leider weiß ich nicht wie ich eine der beiden Eigenschaften an der obigen Abbildung beweisen kann..könnt ihr mir da weiterhelfen?
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Hallo,
ich hatte deine Darstellung bereits lesbar gemacht, aber die offensichtlichen Fehler in der Aufgabenstellung nicht behoben.
Das solltest du mal machen oder uns aufklären, was z.B. das große L ist und was es mit dem kleinen [mm]\ell[/mm] (was du \ell schreiben kannst) zu tun hat ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
es tut mir leid, es wird ausschließlich das große L benutzt, leider war mir die Schreibweise hier nicht so ganz geläufig, daher der Fehler. Könnt ihr mir nun weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe mir wieder vor für das Wochenende einiges
> nachzuholen und zu üben:
> Diesmal geht es wieder um Bijektivität
> Es sei [mm]L \in \IN, X = \{0, 1\}^{L}[/mm] und [mm]Y = \{n \in \IN \mid 0 \le n < 2^{L}\}[/mm].
> Zeigen sie, dass durch die Abbildung [mm]f : X \to Y, X \ni (\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_L) \to f(\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_L) := \summe_{j=0}^{L-1} \varepsilon_j 2^j[/mm]
> eine Bijektion von [mm]X[/mm] nach [mm]Y[/mm] definiert wird (man nennt
> [mm]f_{−1} (n)[/mm] die dyadische Darstellung von [mm]n \in Y[/mm] ).
>
> Also ich hätte an dieser Stelle den Ansatz:
> x und y haben beide [mm]2^{L}[/mm] viele Elemente, daher sind die
> beide Mengen gleichmächtig.
das ist richtig.
> Leider dürfen wir aber nicht
> den Satz benutzen, dass 2 gleichmächtige Mengen
> automatisch Bijektiv sind.
Der Satz ist doch sinnlos. Was sind denn neuerdings "bijektive Mengen"?
Und nicht jede Abbildung zwischen zwei gleichmächtigen Mengen ist
bijektiv:
$f [mm] \colon \IN \to \IN$ [/mm] mit [mm] $f(n):=1\,$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
ist sogar weder injektiv noch surjektiv!
> Daher muss ich jetzt entweder
> zeigen, dass die Abbildung injektiv ist ODER das sie
> surjektiv ist...
Siehste, und jetzt benutzt Du doch die Gleichmächtigkeit der genannten
Mengen:
Denn für endliche Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] mit gleich vielen Elementen reicht es aus,
zu zeigen, dass eine Abbildung
$g [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$
injektiv oder surjektiv ist, um Bijektivität festzustellen. (Wenn [mm] $A,B\,$ [/mm] endlich
sind und gleich viele Elemente haben, dann sagt man kurz, dass hier
Injektivität=Surjektivität=Bijektivität gelte - aber natürlich nicht in dem
Sinne, dass diese Eigenschaften sich auf die Mengen beziehe, sondern
auf jede Abbildung zwischen den Mengen!)
> leider ist mir grad nicht klar wie, die
> Bedingungen für Injektivität und Surjektivität kenne
> ich:
> Injektivität:
> wenn f(a)=f(b)
dann
> a=b
> d.h. jeder x Wert hat einen eigenen y-Wert
Ne, jeder [mm] $y\,$-Wert [/mm] hat höchstens ein Urbild. Und genauer:
Wenn $g [mm] \colon [/mm] A [mm] \to B\,,$ [/mm] dann gilt:
Für alle $a,b [mm] \in [/mm] A$ gilt: Aus [mm] $g(a)=g(b)\,$ [/mm] folgt [mm] $a=b\,.$
[/mm]
(Man kann das auch per Kontraposition umschreiben:
Für alle $a,b [mm] \in [/mm] A$ gilt: Aus $a [mm] \not=b$ [/mm] folgt $g(a) [mm] \not=g(b)\,.$)
[/mm]
Andere Möglichkeit:
Für alle $b [mm] \in [/mm] B$ gilt [mm] $|f^{-1}(\{b\})| \in \{0,1\}\,,$ [/mm] d.h. die Menge [mm] $f^{-1}(\{b\})=\{a \in A:\;\; f(a)=b\}$ [/mm]
ist entweder leer oder einelementig. (Daher auch mein obiger Satz.)
> Surjektivität:
> für alle b [mm]\in[/mm] B gibt es ein f(a)=b
Für alle $b [mm] \in [/mm] B$ gibt es MINDESTENS ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit [mm] $g(a)=b\,.$
[/mm]
> d.h. für jeden y-Wert gibt es mindestens einen x-Wert
Also mal kurz in Worten:
Injektivität: Für alle $b [mm] \in [/mm] B$ gibt es höchstens ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit [mm] $g(a)=b\,.$
[/mm]
Surjektivität: Für alle $b [mm] \in [/mm] B$ gibt es mindestens ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit [mm] $g(a)=b\,.$
[/mm]
Wie kann man nun Bijektivität formulieren?
Na, Du hast doch schon einen gar nicht so schlechten Anfang gemacht:
Die Mengen [mm] $X\,$ [/mm] und [mm] $Y\,$ [/mm] sind beides endliche Mengen, und sie haben
gleich viele Elemente inne - und zwar [mm] $2^L$ [/mm] an der Zahl.
Was Du noch machen solltest, meiner Meinung nach, ist, kurz zu begründen,
dass mit
$f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ und [mm] $f(\epsilon_1,...,\epsilon_L):=\sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{\red{k+1}}*2^k$
[/mm]
(ich denke mal, dass die von Dir erwähnte Abbildung so aussehen soll,
denn andernfalls macht sie keinen Sinn - was soll [mm] $\epsilon_0$ [/mm] sein, und wieso
taucht [mm] $\epsilon_L$ [/mm] rechterhand bei Dir nicht mehr auf?)
in der Tat für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ auch $f(x) [mm] \in [/mm] Y$ gilt. Aber auch das kann man sich
ersparen, man sieht es ja schon durch gezieltes Hingucken.
Weil [mm] $|X|=|Y|=2^L [/mm] < [mm] \infty\,,$ [/mm] reicht es, um die Bijektivität von [mm] $f\,$ [/mm] einzusehen,
nachzuweisen, dass [mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist.
Seien also [mm] $(x_1,...,x_L)$ [/mm] und [mm] $(z_1,...,z_L)$ [/mm] beides Elemente aus [mm] $X\,$ [/mm] und es gelte
[mm] $f(x_1,...,x_L)=f(z_1,...,z_L)\,.$
[/mm]
Unter dieser Voraussetzung ist zu zeigen, dass dann
[mm] $(x_1,...,x_L)=(z_1,...,z_L)$
[/mm]
gilt. (Siehe oben, blaumarkierter Satz.)
Dazu gebe ich Dir mal folgenden Tipp:
[mm] $\sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{k+1}*2^k=0$
[/mm]
ist genau dann nur möglich, wenn [mm] $\epsilon_k=0$ [/mm] für $k=1,...,L$ gilt. (Das solltest
Du aber beweisen - bedenke, dass bei Dir jedes [mm] $\epsilon_k \in \{-1,0,1\}$ [/mm] sein kann!)
Für Dich bedeutet das:
Bei
[mm] $\sum_{k=0}^{L-1} x_{k+1} 2^k=\sum_{k=0}^{L-1} z_{k+1} 2^k$
[/mm]
rechne etwa auf beiden Seiten
[mm] $\;-\;\sum_{k=0}^{L-1} z_{k+1} 2^k\,.$
[/mm]
Dann denke an sowas wie
[mm] $\sum_{k=1}^N a_k c_k-\sum_{k=1}^N b_k c_k=\sum_{k=1}^N (a_k-b_k)c_k$
[/mm]
(Kommutativität und Distributivität!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:07 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Hallo,
>
> > Ich habe mir wieder vor für das Wochenende einiges
> > nachzuholen und zu üben:
> > Diesmal geht es wieder um Bijektivität
> > Es sei [mm]L \in \IN, X = \{0, 1\}^{L}[/mm] und [mm]Y = \{n \in \IN \mid 0 \le n < 2^{L}\}[/mm].
> > Zeigen sie, dass durch die Abbildung [mm]f : X \to Y, X \ni (\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_L) \to f(\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_L) := \summe_{j=0}^{L-1} \varepsilon_j 2^j[/mm]
> > eine Bijektion von [mm]X[/mm] nach [mm]Y[/mm] definiert wird (man nennt
> > [mm]f_{−1} (n)[/mm] die dyadische Darstellung von [mm]n \in Y[/mm] ).
> >
> > Also ich hätte an dieser Stelle den Ansatz:
> > x und y haben beide [mm]2^{L}[/mm] viele Elemente, daher sind
> die
> > beide Mengen gleichmächtig.
>
> das ist richtig.
>
> > Leider dürfen wir aber nicht
> > den Satz benutzen, dass 2 gleichmächtige Mengen
> > automatisch Bijektiv sind.
>
> Der Satz ist doch sinnlos. Was sind denn neuerdings
> "bijektive Mengen"?
> Und nicht jede Abbildung zwischen zwei gleichmächtigen
> Mengen ist
> bijektiv:
>
> [mm]f \colon \IN \to \IN[/mm] mit [mm]f(n):=1\,[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm]
>
> ist sogar weder injektiv noch surjektiv!
>
> > Daher muss ich jetzt entweder
> > zeigen, dass die Abbildung injektiv ist ODER das sie
> > surjektiv ist...
>
> Siehste, und jetzt benutzt Du doch die Gleichmächtigkeit
> der genannten
> Mengen:
> Denn für endliche Mengen [mm]A,B\,[/mm] mit gleich vielen
> Elementen reicht es aus,
> zu zeigen, dass eine Abbildung
>
> [mm]g \colon A \to B[/mm]
>
> injektiv oder surjektiv ist, um Bijektivität
> festzustellen. (Wenn [mm]A,B\,[/mm] endlich
> sind und gleich viele Elemente haben, dann sagt man kurz,
> dass hier
> Injektivität=Surjektivität=Bijektivität gelte - aber
> natürlich nicht in dem
> Sinne, dass diese Eigenschaften sich auf die Mengen
> beziehe, sondern
> auf jede Abbildung zwischen den Mengen!)
>
> > leider ist mir grad nicht klar wie, die
> > Bedingungen für Injektivität und Surjektivität kenne
> > ich:
> > Injektivität:
> > wenn f(a)=f(b)
>
> dann
>
> > a=b
> > d.h. jeder x Wert hat einen eigenen y-Wert
>
> Ne, jeder [mm]y\,[/mm]-Wert hat höchstens ein Urbild. Und genauer:
> Wenn [mm]g \colon A \to B\,,[/mm] dann gilt:
> Für alle [mm]a,b \in A[/mm] gilt: Aus [mm]g(a)=g(b)\,[/mm] folgt [mm]a=b\,.[/mm]
> (Man kann das auch per Kontraposition umschreiben:
> Für alle [mm]a,b \in A[/mm] gilt: Aus [mm]a \not=b[/mm] folgt [mm]g(a) \not=g(b)\,.[/mm])
>
> Andere Möglichkeit:
> Für alle [mm]b \in B[/mm] gilt [mm]|f^{-1}(\{b\})| \in \{0,1\}\,,[/mm] d.h.
> die Menge [mm]f^{-1}(\{b\})=\{a \in A:\;\; f(a)=b\}[/mm]
> ist entweder leer oder einelementig. (Daher auch mein
> obiger Satz.)
>
> > Surjektivität:
> > für alle b [mm]\in[/mm] B gibt es ein f(a)=b
>
> Für alle [mm]b \in B[/mm] gibt es MINDESTENS ein [mm]a \in A[/mm] mit
> [mm]g(a)=b\,.[/mm]
>
> > d.h. für jeden y-Wert gibt es mindestens einen x-Wert
>
> Also mal kurz in Worten:
> Injektivität: Für alle [mm]b \in B[/mm] gibt es höchstens ein [mm]a \in A[/mm]
> mit [mm]g(a)=b\,.[/mm]
> Surjektivität: Für alle [mm]b \in B[/mm] gibt es mindestens ein [mm]a \in A[/mm]
> mit [mm]g(a)=b\,.[/mm]
>
> Wie kann man nun Bijektivität formulieren?
>
> Na, Du hast doch schon einen gar nicht so schlechten Anfang
> gemacht:
> Die Mengen [mm]X\,[/mm] und [mm]Y\,[/mm] sind beides endliche Mengen, und
> sie haben
> gleich viele Elemente inne - und zwar [mm]2^L[/mm] an der Zahl.
>
> Was Du noch machen solltest, meiner Meinung nach, ist, kurz
> zu begründen,
> dass mit
>
> [mm]f \colon X \to Y[/mm] und
> [mm]f(\epsilon_1,...,\epsilon_L):=\sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{\red{k+1}}*2^k[/mm]
>
> (ich denke mal, dass die von Dir erwähnte Abbildung so
> aussehen soll,
leider nein
> denn andernfalls macht sie keinen Sinn - was soll
> [mm]\epsilon_0[/mm] sein, und wieso
> taucht [mm]\epsilon_L[/mm] rechterhand bei Dir nicht mehr auf?)
der Term rechterhand lautet richtig:
[mm] \sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{\red{j}}*2^j
[/mm]
also nur j im Koeffizienten (anstatt k+1)
>
> in der Tat für jedes [mm]x \in X[/mm] auch [mm]f(x) \in Y[/mm] gilt. Aber
> auch das kann man sich
> ersparen, man sieht es ja schon durch gezieltes
> Hingucken.
>
> Weil [mm]|X|=|Y|=2^L < \infty\,,[/mm] reicht es, um die
> Bijektivität von [mm]f\,[/mm] einzusehen,
> nachzuweisen, dass [mm]f\,[/mm] injektiv ist.
>
> Seien also [mm](x_1,...,x_L)[/mm] und [mm](z_1,...,z_L)[/mm] beides Elemente
> aus [mm]X\,[/mm] und es gelte
>
> [mm]f(x_1,...,x_L)=f(z_1,...,z_L)\,.[/mm]
>
> Unter dieser Voraussetzung ist zu zeigen, dass dann
>
> [mm](x_1,...,x_L)=(z_1,...,z_L)[/mm]
>
> gilt. (Siehe oben, blaumarkierter Satz.)
>
> Dazu gebe ich Dir mal folgenden Tipp:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{k+1}*2^k=0[/mm]
>
> ist genau dann nur möglich, wenn [mm]\epsilon_k=0[/mm] für
> [mm]k=1,...,L[/mm] gilt. (Das solltest
> Du aber beweisen - bedenke, dass bei Dir jedes [mm]\epsilon_k \in \{-1,0,1\}[/mm]
> sein kann!)
>
> Für Dich bedeutet das:
> Bei
>
> [mm]\sum_{k=0}^{L-1} x_{k+1} 2^k=\sum_{k=0}^{L-1} z_{k+1} 2^k[/mm]
>
> rechne etwa auf beiden Seiten
>
> [mm]\;-\;\sum_{k=0}^{L-1} z_{k+1} 2^k\,.[/mm]
>
> Dann denke an sowas wie
>
> [mm]\sum_{k=1}^N a_k c_k-\sum_{k=1}^N b_k c_k=\sum_{k=1}^N (a_k-b_k)c_k[/mm]
>
> (Kommutativität und Distributivität!)
wenn mein Term so lautet wie von mir beschrieben, wie kann ich dann die Injektivität beweise...den k+1 wird ja nun ersetzt durch j ?
>
> Gruß,
> Marcel
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Hallo,
>
> der Term rechterhand lautet richtig:
> [mm]\sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{\red{j}}*2^j[/mm]
>
> also nur j im Koeffizienten (anstatt k+1)
Dann würdest du [mm]L[/mm]-mal einen konstanten Term addieren (konstant, da völlig unabhängig vom Laufindex k), die Summe vereinfacht sich also zu
[mm]=L\cdot{}\varepsilon_j\cdot{}2^j[/mm]
Ob das mal so im Sinne des Erfinders ist?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Ich habe mir die Aufgabe ja nicht ausgedacht :-P
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe mir die Aufgabe ja nicht ausgedacht :-P
Du hast die Aufgabe zumindest bei
[mm] $\sum_{\red{k}=0}^{L-1} \epsilon_j 2^j$
[/mm]
falsch wiedergegeben. Und ansonsten solltest Du Dir schon Gedanken über
die Sinnhaftigkeit einer Aufgabe machen, auch, wenn sie eventuell
Druckfehler enthält. So, wie Du sie ursprünglich formuliert hast, kann sie
nicht gemeint sein - da [mm] $f\,$ [/mm] dann nicht definiert wäre!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > [mm]f \colon X \to Y[/mm] und
> > [mm]f(\epsilon_1,...,\epsilon_L):=\sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{\red{k+1}}*2^k[/mm]
>
> >
> > (ich denke mal, dass die von Dir erwähnte Abbildung so
> > aussehen soll,
>
> leider nein
> > denn andernfalls macht sie keinen Sinn - was soll
> > [mm]\epsilon_0[/mm] sein, und wieso
> > taucht [mm]\epsilon_L[/mm] rechterhand bei Dir nicht mehr auf?)
>
> der Term rechterhand lautet richtig:
> [mm]\sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{\red{j}}*2^j[/mm]
>
> also nur j im Koeffizienten (anstatt k+1)
das ist doch Unsinn. Ich gebe Dir nun drei Gründe:
1. [mm] $\sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{j}*2^j$ [/mm] wäre nichts anderes als
[mm] $L*\epsilon_j*2^j\,,$
[/mm]
denn [mm] $j\,$ [/mm] hat so rein gar nichts mehr mit dem Laufindex [mm] $k\,$ [/mm] des Summenzeichens
zu tun!
Selbst, wenn Du nun
[mm] $\sum_{\red{j}=0}^{L-1} \epsilon_j*2^j$
[/mm]
schreibst: Du hast gesagt, es soll [mm] $(\epsilon_\red{1},...,\epsilon_{\green{L}}) \in [/mm] X$ sein.
In
[mm] $\sum_{j=0}^{L-1} \epsilon_j*2^j$
[/mm]
haben wir aber:
2. Da
[mm] $\sum_{j=0}^{L-1} \epsilon_j*2^j=\red{\epsilon_0}*2^0+...+\epsilon_{L-1}*2^{L-1}$
[/mm]
gilt, das Problem, dass [mm] $\epsilon_0$ [/mm] nirgends in [mm] $(\epsilon_1,...,\epsilon_L)$ [/mm] vorkommt.
und
3. Da
[mm] $\sum_{j=0}^{L-1} \epsilon_j*2^j=\epsilon_0*2^0+...+\epsilon_{L-1}*2^{L-1}$
[/mm]
gilt, das Problem, dass die Komponente [mm] $\epsilon_{\green{L}}$ [/mm] aus [mm] $(\epsilon_1,...,\epsilon_L)$ [/mm] nicht
verwendet wird.
Damit wäre (wegen 2.)!) Deine Funktion gar nicht definiert.
Es gibt halt (mind.) zwei Möglichkeiten, was in sinnvoller Weise gemeint ist:
Es ist
$f [mm] \colon [/mm] X [mm] \ni (\epsilon_1,...,\epsilon_L) \mapsto f(\epsilon_1,...,\epsilon_L):=\sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{k+1}2^k \in [/mm] Y$
(und störe Dich mal nicht daran, dass ich den Laufindex [mm] $k\,$ [/mm] nenne, denn
den kann ich quasi fast beliebig umbenennen, ich könnte ihn auch [mm] $m\,$ [/mm]
nennen; müsste nur alles an entsprechender Stelle anpassen, so, wie ich
es auch getan habe)
oder es ist
$f [mm] \colon [/mm] X [mm] \ni (\epsilon_0,...,\epsilon_{\red{L-1}}) \mapsto f(\epsilon_0,...,\epsilon_\red{L-1}):=\sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{k}2^k \in Y\,.$
[/mm]
Was jedoch keinen Sinn macht, ist
$f [mm] \colon [/mm] X [mm] \ni (\epsilon_\red{1},...,\epsilon_{L}) \mapsto f(\epsilon_1,...,\epsilon_\red{L}):=\sum_{k=0}^{L-1} \epsilon_{k}2^k\,.$
[/mm]
Woher soll das [mm] $\epsilon_0$ [/mm] rechterhand denn kommen? Und wieso findet [mm] $\epsilon_L,$
[/mm]
was es linkerhand gibt, rechterhand keine Verwendung?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
noch ergänzend:
Ich sagte ja, dass Du, wenn alle [mm] $p_k$ [/mm] immer aus [mm] $\{-1,0,1\}$ [/mm] sind, sowas wie
[mm] $\sum_{k=0}^N p_k 2^k=0$ $\iff$ $p_k=0$ [/mm] für $k=0,...,N$
beweisen sollst. Vermutlich bietet sich hier eine Induktion über [mm] $N\,$ [/mm] an.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
die Augabe die ich vorgegeben habe von einem Prof. lautet aber rechterhand:
[mm] \summe_{\red j=0}^{L-1} \epsilon_{j} 2^j [/mm]
und dies enthält laut des Prof. keine Druckfehler..Wie beweise ich also die Injektivität wenn der Term genau so lautet?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> die Augabe die ich vorgegeben habe von einem Prof. lautet
> aber rechterhand:
>
> [mm]\summe_{\red j=0}^{L-1} \epsilon_{j} 2^j[/mm]
> und dies enthält laut des Prof. keine Druckfehler..
und ist denn linkerhand der Druckfehler (bei dem [mm] $L\,$-Tupel [/mm] aus [mm] $X\,$)? [/mm] Meine
Güte: Schick Deinem Prof. meinetwegen diesen Link:
https://matheraum.de/read?i=992413
Ich weiß nicht, warum Du glaubst, dass Professoren einen Gott-Status
haben müssen, zumal sie meist noch nicht mal selbst die Aufgaben
abtippen. D.h. hier kann auch eine Sekretärin/ein Mitarbeiter sich
vertan haben...
> Wie beweise ich also die Injektivität wenn der Term genau so
> lautet?
Gar nicht. Dann ist Deine Funktion undefiniert, solange denn da linkerhand
wirklich
[mm] $(\epsilon_\red{1},...,\epsilon_L) \mapsto \sum_{j=0}^{L-1} \epsilon_j*2^j$
[/mm]
steht.
Beispiel:
Für [mm] $L=3\,$ [/mm] betrachte ich [mm] $(1,0,1)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\,,$ [/mm] es ist also
[mm] $\epsilon_1=1,$ $\epsilon_2=0$ [/mm] und [mm] $\epsilon_3=1\,.$
[/mm]
[mm] $\red{\epsilon_0}$ [/mm] gibt's nicht. Nun soll aber
[mm] $f(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)=f(1,0,1)=\sum_{k=0}^2 \epsilon_k*2^k=\red{\epsilon_0}*2^0+\epsilon_1*2^1+\epsilon_2*2^2=\red{\epsilon_0}*1+1*2+0*4=\red{\epsilon_0}+2$
[/mm]
sein - das geht nicht, wenn es kein [mm] $\epsilon_0$ [/mm] gibt. (Dass [mm] $\epsilon_3$ [/mm] nicht
verbraten wird, das könnte man auch noch akzeptieren, wenn es denn
nicht um Bijektivität geht.)
Kannst Du die Aufgabe mal bitte verlinken? (Denn meinetwegen schreibe
ich dann, wenn ich den Verschreiber sehe, Deinen Prof. auch direkt an,
dass es da einen Verschreiber gibt. Vorausgesetzt, Du hast Dich nicht
verschrieben...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
hey du
ich verstehe was du meinst und sehe auch ein, dass es nicht funktioniert. Leider ist die Aufgabe keine aktuelle Übungsaufgabe und ich habe sie handschiftlich von einem anderen Studenten, der die Vorlesung letztes Jahr belegte, übernommen und wollte sie als Klausurvorbereitung zu Hause machen..und ich bin mir sicher bei der Übernahme Keine Fehler gemacht zu haben, da der Ausdruck in meinen Aufschriften mehrmals vorkommt..das einzige was ich dir noch sagen könnte ist: eine weitere Übungsaufgabe war ähnlich festgelegt, jedoch wird hier [mm] 2^{k} [/mm] durch [mm] 2^{k-1} [/mm] ersetzt..aber das bringt uns ja auch nicht weiter oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hey du
> ich verstehe was du meinst und sehe auch ein, dass es
> nicht funktioniert. Leider ist die Aufgabe keine aktuelle
> Übungsaufgabe und ich habe sie handschiftlich von einem
> anderen Studenten, der die Vorlesung letztes Jahr belegte,
> übernommen und wollte sie als Klausurvorbereitung zu Hause
> machen..und ich bin mir sicher bei der Übernahme Keine
> Fehler gemacht zu haben, da der Ausdruck in meinen
> Aufschriften mehrmals vorkommt..das einzige was ich dir
> noch sagen könnte ist: eine weitere Übungsaufgabe war
> ähnlich festgelegt, jedoch wird hier [mm]2^{k}[/mm] durch [mm]2^{k-1}[/mm]
> ersetzt..aber das bringt uns ja auch nicht weiter oder?
wir brauchen eine vernünftig definierte Funktion, sonst macht die Aufgabe
keinen Sinn. Mit dem [mm] $2^{k-1}$ [/mm] kann das schon Sinn machen, aber dann gibt
es auch noch andere Korrekturen vorzunehmen:
$X [mm] \ni (\epsilon_1,...,\epsilon_{L}) \mapsto \sum_{k=\red{1}}^\red{L} \epsilon_k 2^{k-1} \in [/mm] Y$
wäre sinnvoll.
Das ist aber (Stichwort: Indexshift!) das Gleiche wie
$X [mm] \ni (\epsilon_1,...,\epsilon_{L}) \mapsto \sum_{j=0}^{L-1} \epsilon_{\red{j+1}} 2^{j} \in [/mm] Y.$
Das hatte ich Dir auch schonmal gesagt, dass Du das nehmen sollst. Ich
schlage jetzt auch vor:
Nimm Dir eine dieser beiden Varianten (wie gesagt: sie besagen eh das
Gleiche) und rechne damit mal die Injektivität nach. Warum das für die
Bijektivität reicht, habe ich Dir schon gesagt. Und dass Du dafür nebenbei
eigentlich etwas zusätzliches beweisen musst, habe ich Dir auch schon
gesagt.
Das Nachrechnen der Injektivität mit einer der obigen, sinnvollen, Variante
ist das Wichtigste neben dem Beweis des zusätzlich erwähnten "Lemmas"
(das steht in der Mitteilung, wo ich sagte, dass das vermutlich mit Induktion
funktioniert).
Wir beschäftigen uns hier nämlich gerade sehr lange mit Pille-Palle, und
wenn Du selbst nun einsiehst, dass da irgendwo Verschreiber in der
Aufgabe sein müssen, dann glaube mir doch auch mal, dass ich Dich hier
nicht mit unsinnigen Ausdrücken auf's Glatteis führen will. Im Gegenteil:
Ich habe die unsinnigen Ausdrücke so korrigiert, dass Du da vom Glatteis
runterkommst...
Gruß,
Marcel
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