Würfel benetzt mit Seifenlauge < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mi 09.04.2008 | | Autor: | dexter |
| Aufgabe | | Benetzt man ein Drahtgestell mit Seifenlauge, so ist die Seifenhaut bestrebt, eine möglichst kleine Oberfläche einzunehmen. Obwohl die Teilflächen, aus denen die Seifenhaut besteht, leicht gekrämmt sind, werden sie hier der Einfachheit halber als eben angenommen. Bei einem würfelmörmigen Drahtgestell hat die Seifenhaut die im Bild dargestellt Form, sie besteht also aus einem Quadrat, acht kongruenten gleichschenkligen Trapezen und vier kongruenten gleichschenkligen Dreiecken. Berechnen Sie den Inhalt der Seifenhaut-Fläche. (Die Kantenlänge des Würfels sei 1LE, die Seitenlänge des Quadrates sei x.) |
Hallo,
hier das Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also das Quadrat in der Mitte hat die Seitenlänge x.
Der Würfel hat die Kantenlänge a.
Es soll angenommen werden, dass eine minimale Oberfläche entsteht.
Die Oberfläche gesamt ist:
A_(ges)=A_(Quadrat) + 4 A_(Dreieck) + 8 A_(Trapez)
Soweit, so gut.
A_(Quadrat) = [mm] x^2
[/mm]
A_(Dreieck) = 1/2 [mm] (1*h_s) [/mm] = [mm] h_s/2
[/mm]
Ich nenne die Höhe des Dreiecks [mm] h_s, [/mm] diese muss noch hergeleitet werden:
Man betrachte die Ebene, in der das Quadrat liegt. 1/2 (1-x) sollte der Abstand von Quadrat zu "Würfelwand" sein. Nach Pythagoras ist
[mm] h_s [/mm] = [mm] \wurzel{2 (\bruch{1-x}{2})^2} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{(1-x)^2}{2}}
[/mm]
A_(Dreieck) = [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{(1-x)^2}{2}}}{2}
[/mm]
A_(Trapez) = m*h
m = [mm] \bruch{1+x}{2}
[/mm]
Und die Höhe ist etwas schwieriger zu ermitteln:
Ich bin erstmal von einem der Dreiecke ausgegangen, von dem ich die Länge eines der Schenkel berechnet habe:
Diesen Schenkel habe ich b genannt
b = [mm] \wurzel{(\bruch{1}{2})^2 + (h_s)^2}
[/mm]
Schengel = Schenkel des Trapezes
Über diesen lässt sich nun die Höhe berechnen:
h = [mm] \wurzel{b^2 - (\bruch{1-x}{2})^2}
[/mm]
A_(Trapez) = m*h = [mm] \bruch{1+x}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{b^2 - (\bruch{1-x}{2})^2}
[/mm]
Das ganze jetzt zusammen:
A_(Ges) = [mm] x^2 [/mm] + 4 * [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{(1-x)^2}{2}}}{2} [/mm] + 8 * [mm] \bruch{1+x}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{b^2 - (\bruch{1-x}{2})^2}
[/mm]
Ich hoffe ich habe jetzt keinen Abschreibfehler gemacht.
Mein Ergebnis:
x muss 0,54215 LE sein, damit die Oberfläche den Minimalwert von 4,6018 FE einnimmt.
Ich habe eine Lösung zu dieser Aufgabe und diese lautet leicht anders:
x = 0,072912 und Oberfläche = 4,242531.
Habe ich einen Fehler gemacht? Mir kommt der Teil mit dem Dreieck ein wenig seltsam vor, aber eigentlich ist dieser doch legitim... also dort wäre mein erster Ansatzpunkt, nur leider entdecke ich keinen Fehler.
mfg
dex
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mi 09.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Flächen sind alle richtig. In deinem Endausdruck steht noch [mm] b^2 [/mm] nicht ersetzt. aber bis da ist die Formel richtig.
Was mich wundert, ist dass du bei [mm] h_s [/mm] die Wurzel nich weglässt, also [mm] h_s=((1-x)/\wurzel{2}
[/mm]
[mm] h_t= 1/2*\wurzel{2-x^2} [/mm] vielleicht hast du da bein Einsetzen nen Fehler gemacht.
Also schreib deine Endformel und deine Ableitung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 13.04.2008 | | Autor: | dexter |
Hi,
hier ist die Flächeninhaltsfunktion:
A = [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2(1+x)\wurzel{x^2-2x+2}+2-2x\bruch{2-2x}{\wurzel{2}}
[/mm]
und die Ableitung
A' = 2x + [mm] 2\wurzel{x^2-2x+2} [/mm] + [mm] \bruch{(1+x)(2x-2)}{\wurzel{x^2-2x+2}} [/mm] - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Die Ableitung scheint richtig zu sein, weil ich ähnliche Ergebnisse erhalte, wie die in der Lösung.
Aber die Flächeninhaltsfunktion bereitet mir noch Kopfschmerzen:
In der Lösung wurde der Ansatz gemacht "Legt man die vordere untere linke Ecke des Würfels in den Ursprung eines Koordinatensystems, so hat die linke untere Ecke des Quadrates die Koordinaten [mm] (\bruch{1}{2}(1-x)|\bruch{1}{2}|\bruch{1}{2}(1-x))...
[/mm]
Die haben dann als Funktion:
A = [mm] 2(1+x)\wurzel{x^2-2x+2}+(1-x)\wurzel{2}+x^2
[/mm]
Jetzt müsste ich meine Funktion ja daraufhin umformen können:
A = [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2(1+x)\wurzel{x^2-2x+2}+2-2x\bruch{2-2x}{\wurzel{2}} [/mm]
= [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2(1+x)\wurzel{x^2-2x+2} [/mm] + [mm] (1-x)\wurzel{2}
[/mm]
sollte passen oder?
vermutlich habe ich beim ersten mal eintippen in den GTR einen fehler gemacht.
mfg dex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 So 13.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist oder wär alles richtig wenn da nicht steht:
> A = [mm]x^2[/mm] +
> [mm]2(1+x)\wurzel{x^2-2x+2}+2-2x\bruch{2-2x}{\wurzel{2}}[/mm]
sondern
A = [mm]x^2[/mm] +
[mm]2(1+x)\wurzel{x^2-2x+2}+\bruch{2-2x}{\wurzel{2}}[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 So 13.04.2008 | | Autor: | dexter |
ok,
steht da quasi, habs falsch abgeschrieben.
danke ;)
mfg dex
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