Wie beweisen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweisen Sie: [mm] f^{-1}(\overline{S}) [/mm] = [mm] \overline{f^{-1}(S)} [/mm] |
Hallo,
zu der Aufgabe fällt mir kein Ansatz ein.
Ich hab mir hier paar Sachen notiert , aber die bringen mich nicht wirklich weiter:
Sei a [mm] \in f^{-1}(\overline{S})
[/mm]
f(a) = [mm] \overline{S}
[/mm]
Mehr fällt mir nicht ein. Mir fehlt die Struktur oder die Herangehensweise bei solchen Aufgaben, wo man etwas beweisen muss..
|
|
| |
|
> Beweisen Sie: [mm]f^{-1}(\overline{S})[/mm] = [mm]\overline{f^{-1}(S)}[/mm]
> Hallo,
>
> zu der Aufgabe fällt mir kein Ansatz ein.
>
> Ich hab mir hier paar Sachen notiert , aber die bringen
> mich nicht wirklich weiter:
>
> Sei a [mm]\in f^{-1}(\overline{S})[/mm]
> f(a) = [mm]\overline{S}[/mm]
> Mehr fällt mir nicht ein. Mir fehlt die Struktur oder die
> Herangehensweise bei solchen Aufgaben, wo man etwas
> beweisen muss..
Guten Abend,
du solltest aber wenigstens in der Lage sein, uns mitzu-
teilen, worum es sich bei S, f und der Operation [mm] S\mapsto \overline{S}
[/mm]
handeln soll.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Achso , das habe ich vor lauter Verwirrung bei der Aufgabe vergessen. Entschuldigung.
Also:
Sei f : A->B eine Funktion und S,T [mm] \subseteq [/mm] B
Beweisen Sie: $ [mm] f^{-1}(\overline{S}) [/mm] $ = $ [mm] \overline{f^{-1}(S)} [/mm] $
Ich habe noch ein wenig nachgedacht und habe meinen Gedankengang ergänzt , allerdings weiß ich nciht , ob diese hilfreich sind:
[mm] f^{-1}(\overline{S})
[/mm]
Sei a [mm] \in f^{-1}(\overline{S}) [/mm]
=> f(a) = [mm] \overline{S}
[/mm]
Und [mm] \overline{f^{-1}(S)}
[/mm]
Sei a [mm] \in \overline{f^{-1}(S)}
[/mm]
[mm] \overline{f(a)} [/mm] = s
Bringt mich das weiter ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Do 21.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achso , das habe ich vor lauter Verwirrung bei der Aufgabe
> vergessen. Entschuldigung.
>
> Also:
> Sei f : A->B eine Funktion und S,T [mm]\subseteq[/mm] B
> Beweisen Sie: [mm]f^{-1}(\overline{S})[/mm] = [mm]\overline{f^{-1}(S)}[/mm]
>
> Ich habe noch ein wenig nachgedacht und habe meinen
> Gedankengang ergänzt , allerdings weiß ich nciht , ob
> diese hilfreich sind:
>
> [mm]f^{-1}(\overline{S})[/mm]
> Sei a [mm]\in f^{-1}(\overline{S})[/mm]
> => f(a) = [mm]\overline{S}[/mm]
aua. Bitte nachschlagen: Wie ist [mm] $f^{-1}(\overline{S})$ [/mm] definiert? Hier ist [mm] $f^{-1}$ [/mm]
i.a. NICHT die Umkehrfunktion (wir haben ja gar keine Bijektivität von
[mm] $f\,$) [/mm] - mal abgesehen davon, dass Du Dir bei Deinen Behauptungen auch
Gedanken zur Sinnhaftigkeit machen solltest:
Wenn [mm] $\overline{S} \subseteq [/mm] B$ und $f [mm] \colon [/mm] A [mm] \to B\,,$ [/mm] wie kann dann [mm] $f(a)=\overline{S} \subseteq [/mm] B$ sein,
wenn doch $f(a) [mm] \in [/mm] B$ gelten muss...?
Zum Nachlesen: ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung und Definition 1.7 (Urbild)
Es folgt also nur $f(a) [mm] \in \overline{S}\,.$
[/mm]
> Und [mm]\overline{f^{-1}(S)}[/mm]
> Sei a [mm]\in \overline{f^{-1}(S)}[/mm]
> [mm]\overline{f(a)}[/mm] = s
>
> Bringt mich das weiter ?
???
S.o.!
Pass auf: Wenn Du [mm] $f^{-1}(\overline{S})\;\subseteq \; \overline{f^{-1}(S)}$ [/mm] UND [mm] $\overline{f^{-1}(S)}\;\subseteq \; f^{-1}(\overline{S})$ [/mm] nachgewiesen
hast, dann folgt daraus
[mm] $\overline{f^{-1}(S)}= f^{-1}(\overline{S})\,.$
[/mm]
(Erinnerung: Für Mengen [mm] $X,Y\,$ [/mm] gilt
[mm] $X=Y\,$ $\iff$ [/mm] ($X [mm] \,\subseteq\, [/mm] Y$ und $Y [mm] \;\subseteq\; [/mm] X$).
Wir benutzen oben also die Folgerung [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] des letzten [mm] $\iff$'s.)
[/mm]
Nebenbei: Wofür steht hier die Bezeichnung [mm] $\overline{S}$? [/mm] Ist es die komplementäre
Menge (oft mit [mm] $S^C$ [/mm] bezeichnet)? (Siehe auch Definition 1.1.)
D.h. die Aussage
[mm] $f^{-1}(\overline{S})=\overline{f^{-1}(S)}$
[/mm]
besagt eigentlich
[mm] $f^{-1}(B \setminus [/mm] S)=A [mm] \setminus f^{-1}(S)$?
[/mm]
(Du siehst hier auch, dass wir bzgl. verschiedener Grundmengen die
Komplemente stehen haben!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Puhhh... ich verstehe grad nur Bahnhof. Gibt es eine andere Möglichkeit , die Aussage zu beweisen. Also so , dass ich es als Anfänger auch verstehen kann ? Ich wäre nie im Leben darauf gekommen , es so zu machen. Selbstverständlich ein großes Dankeschön für deine Mühe , aber ich kann da wirklich nichts nachvollziehen( bis auf paar Definitionen)..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Do 21.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Puhhh... ich verstehe grad nur Bahnhof. Gibt es eine andere
> Möglichkeit , die Aussage zu beweisen. Also so , dass ich
> es als Anfänger auch verstehen kann ? Ich wäre nie im
> Leben darauf gekommen , es so zu machen.
> Selbstverständlich ein großes Dankeschön für deine
> Mühe , aber ich kann da wirklich nichts nachvollziehen(
> bis auf paar Definitionen)..
Du hast halt immer noch nicht gesagt, was [mm] $\overline{S}$ [/mm] überhaupt sein soll.
Ich habe Dir nur gesagt, was Du zu tun hast. Das kannst Du aber erst
dann überhaupt machen, wenn Du selbst mal weißt, was dieser "Überstrich"
bedeutet. Ich habe auf die Komplementärmenge getippt, weil das für mich
hier momentan das einzig sinnvolle erscheint (da ihr den Begriff der
Abgeschlossenheit sicher noch nicht hattet, und da die Aussage dann i.A.
auch gar nicht stimmt).
Für $R [mm] \subseteq [/mm] A$ sei also [mm] $A^C:=\overline{R}:=A \setminus [/mm] R$ und für $S [mm] \subseteq [/mm] B$ sei [mm] $\overline{S} :=S^C:=B \setminus S\,.$
[/mm]
(Das mache ich vor allem deshalb, weil ich die "Überstrich-Notation" in dem
Zshg. hier nicht mag. Ich ersetze das also durch ein "hoch C"!)
1. Behauptung: Es gilt [mm] $f^{-1}(S^C)\;\subseteq\; (f^{-1}(S))^C\,.$
[/mm]
Dazu sei $a [mm] \in f^{-1}(S^C)$ [/mm] ansonsten beliebig, und auch fest. Nach Definition
des Begriffs "Urbild" folgt damit
(Voraussetzung/Wissen) $a [mm] \in [/mm] A$ UND $f(a) [mm] \in S^C\,.$
[/mm]
Wir haben zu zeigen: Dann gilt
(Behauptung) $a [mm] \in (f^{-1}(S))^C\,.$
[/mm]
Es ist also
$a [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus f^{-1}(S)$
[/mm]
zu begründen.
Aus der Voraussetzung ergibt sich sofort, dass $a [mm] \in [/mm] A$ erfüllt ist. Wir müssen
also noch nachweisen, dass $a [mm] \notin f^{-1}(S)\,$ [/mm] gilt:
Nehmen wir an, dass doch $a [mm] \in f^{-1}(S)$ [/mm] gelten würde (Annahme - diese
wollen wir zum Widerspruch führen!). Nach Definition des Begriffs Urbild
folgt damit
[mm] ($\*$) [/mm] $f(a) [mm] \in S\,.$
[/mm]
Nach Voraussetzung war aber (s.o.) doch $f(a) [mm] \in S^c\,,$ [/mm] also $f(a) [mm] \in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] S$ und
damit insbesondere
[mm] ($\*\*$) [/mm] $f(a) [mm] \notin S\,.$
[/mm]
Da [mm] ($\*$) [/mm] und [mm] ($\*\*$) [/mm] sich offenbar widersprechen, muss also doch $a [mm] \notin f^{-1}(S)\,,$ [/mm] also
$a [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus f^{-1}(S)=(f^{-1}(S))^C$
[/mm]
gelten. Da $a [mm] \in f^{-1}(S^c)$ [/mm] ansonsten beliebig war, haben wir also
[mm] $\forall$ [/mm] $a [mm] \in f^{-1}(S^c)$ $\Longrightarrow$ [/mm] $a [mm] \in (f^{-1}(S))^C$
[/mm]
nachgewiesen. Damit ist also
[mm] $f^{-1}(S^C)\;\subseteq\; (f^{-1}(S))^C\,.$ [/mm]
bewiesen!
-------------------------------------------
-------------------------------------------
-------------------------------------------
-------------------------------------------
So, was fehlt jetzt noch? Richtig, die
2. Behauptung: Es gilt [mm] $(f^{-1}(S))^C\;\subseteq\; f^{-1}(S^C)\,.$
[/mm]
muss noch bewiesen werden. Und jetzt bist Du mal dran!
(Hinweis, grob: Wenn $a [mm] \in (f^{-1}(S))^C$ [/mm] ist, dann überlege Dir, ob dann
$f(a) [mm] \in [/mm] S$
sein kann. Wenn das nicht möglich ist, dann muss $f(a) [mm] \in S^C$ [/mm] sein. Jetzt denke
wieder an die Definition des Begriffs "Urbild"!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 So 24.11.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Sorry für die späte Antwort.. Ich habs jetzt mehrmals durchgelesen und verstanden, was was sein soll. Sorry für das späte Danke. Hat mir weitergeholfen !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 So 24.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hey,
> Sorry für die späte Antwort.. Ich habs jetzt mehrmals
> durchgelesen und verstanden, was was sein soll. Sorry für
> das späte Danke. Hat mir weitergeholfen !
kein Problem. So spät kam das Danke nicht, und eigentlich ist die Hauptsache,
dass es kommt (wobei ich das hier in einem Forum auch nicht begutachte,
denn das ist nun mal so, dass das untergehen kann, weil man sich stark
mit dem inhaltlichen beschäftigt).
Also, wie gesagt: Gerne! 
P.S.: Hast Du nun den Rest hinbekommen?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich machs mal als Frage , weil mir beim Weitermachen eine Frage eingefallen ist.
Also wir müssen ja beim zweiten Teil zeigen:
[mm] \overline{f^{-1}(S)} \subseteq f^{-1}( \overline{S})
[/mm]
[mm] A^{C} [/mm] = [mm] \overline{R} [/mm] := A \ R
S [mm] \subseteq [/mm] B : [mm] \overline{S} [/mm] = [mm] S^{C} [/mm] : B \ S
Da a [mm] \in [/mm] A und a [mm] \in (f^{-1}(S))^{C}
[/mm]
Dann muss f(a) [mm] \in S^{C} [/mm] gelten.
Dann gilt a [mm] \in f^{-1}(S^{C}) [/mm] (Annahme)
Also: a [mm] \in [/mm] B \ S
Die Frage , die sich mir stellt: Kann a [mm] \in [/mm] B \ S richtig sein , wenn a [mm] \in [/mm] A ist ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 So 24.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich machs mal als Frage , weil mir beim Weitermachen eine
> Frage eingefallen ist.
>
> Also wir müssen ja beim zweiten Teil zeigen:
> [mm]\overline{f^{-1}(S)} \subseteq f^{-1}( \overline{S})[/mm]
>
> [mm]A^{C}[/mm]
Du meinst [mm] $R^C\,,$ [/mm] oder?
> = [mm]\overline{R}[/mm] := A \ R
> S [mm]\subseteq[/mm] B : [mm]\overline{S}[/mm] = [mm]S^{C}[/mm] : B \ S
Am Ende steht da sicher [mm] $:=\,$ [/mm] anstatt nur [mm] $:\,$.
[/mm]
>
> Da a [mm]\in[/mm] A und a [mm]\in (f^{-1}(S))^{C}[/mm]
Moment, Du musst schon anfangen mit
Sei $a [mm] \in (f^{-1}(S))^C\,.$ [/mm] (Das ist doch hier die Voraussetzung!)
> Dann muss f(a) [mm]\in S^{C}[/mm] gelten.
Das ist die Behauptung, die es zu beweisen gilt!
Also: Das ist richtig, aber das ist nun nicht gänzlich trivial. Ich schreibe es
mal ausführlich, damit Du siehst, dass da was passiert:
Wäre dem nämlich nicht so, also wäre $f(a) [mm] \in S\,,$ [/mm] so wäre nach
Definition des Begriffs "Urbild" dann $a [mm] \in f^{-1}(S)\,.$ [/mm] Es folgt dann
[mm] $\underbrace{a \in (f^{-1}(S))^C}_{\text{nach Vorraussetzung!}} \cap\;\, f^{-1}(S)=\varnothing,$
[/mm]
was unmöglich ist. ($a [mm] \in \varnothing$ [/mm] ist unmöglich!)
> Dann gilt a [mm]\in f^{-1}(S^{C})[/mm] (Annahme)
Nein, das ist doch nicht die Annahme. Das ist doch das, wo Du hinwillst:
[mm] ($\forall$) [/mm] $a [mm] \in (f^{-1}(S))^C$ $\Longrightarrow$ [/mm] $a [mm] \in f^{-1}(S^C)\,.$
[/mm]
(Oftmals wird der All-Quantor da weggelassen, weil man davon ausgeht,
dass man das ohne ihn richtig zu verstehen weiß. Ich finde aber, er hat
durchaus seine Berechtigung, mitgeführt zu werden. Deswegen habe ich
ihn wenigstens in Klammern mitgenommen!)
> Also: a [mm]\in[/mm] B \ S
Das macht doch keinen Sinn: Es war $a [mm] \in [/mm] A$ und mit $f [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ ist dann $f(a) [mm] \in B\,.$
[/mm]
Wie soll für $a [mm] \in [/mm] A$ dann $a [mm] \in [/mm] B$ gelten?
> Die Frage , die sich mir stellt: Kann a [mm]\in[/mm] B \ S richtig
> sein , wenn a [mm]\in[/mm] A ist ?
Nein, wie gesagt:
$f(a) [mm] \in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] S$
und das liefert dann auch
$f(a) [mm] \in S^C\,.$
[/mm]
Das passt dann auch zu
$a [mm] \in f^{-1}(S^C)\,.$
[/mm]
Am Besten:
Mach' Dir einfach mal eine Skizze. Skizziere eine Menge [mm] $A\,$ [/mm] und skizziere Dir
eine Menge [mm] $B\,.$ [/mm] Mach einen Pfeil von [mm] $A\,$ [/mm] nach [mm] $B\,$ [/mm] und schreibe an
diesen [mm] $f\,$ [/mm] dran. Skizziere eine Teilmenge $W [mm] \subseteq B\,,$ [/mm] diese soll [mm] $=f(A)\,$
[/mm]
sein, also der Wertebereich (d.h. die Menge aller Elemente aus [mm] $B\,,$ [/mm] für die
es in [mm] $A\,$ [/mm] tatsächlich mindestens ein Urbild gibt). Skizziere eine Teilmenge
$S [mm] \subseteq W\,.$
[/mm]
Dann siehst Du besser, wo sich welche Elemente bewegen. Insbesondere
kannst Du ja auch mal [mm] $f^{-1}(S) \subseteq [/mm] A$ irgendwie zu skizzieren versuchen.
Was Du hier mindestens siehst:
[mm] $\forall$ [/mm] $a [mm] \in [/mm] A$ gilt $f(a) [mm] \in [/mm] W [mm] \subseteq B\,.$
[/mm]
Es ist $S [mm] \subseteq [/mm] B$ und damit
[mm] $S^C=B \setminus [/mm] S$
eine "Komplementbildung bzgl. [mm] $B\,.$"
[/mm]
Es ist [mm] $f^{-1}(S) \subseteq [/mm] A$ und damit
[mm] $(f^{-1}(S))^C=A \setminus f^{-1}(S)$
[/mm]
eine "Komplementbildung bzgl. [mm] $A\,.$"
[/mm]
Weiterer Tipp:
Du kannst auch mal
[mm] $A:=\{\text{Apfel, }\text{Birne, }\text{Nuss, }\text{Schokolade }\}$
[/mm]
und
[mm] $B:=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
[/mm]
und
[mm] $f(\text{Apfel}):=1\,,$ $f(\text{Birne}):=1,\,$ $f(\text{Nuss}):=7$ [/mm] und [mm] $f(\text{Schokolade}):=5$ [/mm]
betrachten. Was ist dann [mm] $f(A)\,$?
[/mm]
Und nimm' mal [mm] $S:=\{1,5,6,8\}\,.$ [/mm] Und dann schau' Dir die ganzen Aussagen
im obigen Beweis an.
Hier siehst Du zum Beispiel: $A [mm] \subseteq \text{Nahrungsmittel}\,.$ [/mm] $B [mm] \subseteq \IN\,.$ [/mm] Am Anfang
nehmen wir also ein Nahrungsmittel $a [mm] \in A\,.$ [/mm] Und am Ende sagst Du
dann:
$a [mm] \in [/mm] B [mm] \setminus S\,.$
[/mm]
Jetzt mal etwas spaßig formuliert fragst Du also: "Kann sich das
Nahrungsmittel [mm] $a\,$ [/mm] gänzlich in eine Zahl transformiert haben?"
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
