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Hi,
Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen $n>1$ die folgenden Ungleichungen gelten:
a) [mm] $(1+\bruch{1}{5})^n\ge 1+\bruch{n}{5}$
[/mm]
b) [mm] $(n+6)!>1000*3^n$
[/mm]
Ich vermute mal es kann mit Vollständiger Induktion gezeigt werden. Irgendwie hab ich so meine Schwirigkeiten mit VI, obwohl es eigentlich etwas relativ einfaches ist. Irgendwie weiß ich nie genau, was jetzt die Annahme ist und wo ich hin will, bzw. was ich zeigen will. Ich versuche es mal:
a)
1. Schritt: n=1
[mm] $(1+\bruch{1}{5})^1\ge1+ \bruch{1}{5}$
[/mm]
[mm] $1+\bruch{1}{5} \ge 1+\bruch{1}{5}$
[/mm]
2. Schritt: n=n+1
[mm] $(1+\bruch{1}{5})^{n+1}\ge 1+\bruch{n+1}{5}$
[/mm]
[mm] $(\bruch{6}{5})^{n+1}\ge \bruch{n+6}{5}$
[/mm]
3. Schritt:
Jetzt müsste ja irgendeine Schlussfolgerung kommen die es zeigt. Ich "sehe" zwar, dass die linke Seite immer größer ist als die rechte, weil die Potenz natürlich schneller wächst, aber reicht das so hinzuschreiben?
b)
1. Schritt: n=1
[mm] $(1+6)!>1000*3^1$
[/mm]
$7!>3000$
$5040>3000$
2. Schritt: n=n+1
[mm] $(n+1+6)!>1000*3^{n+1}$
[/mm]
[mm] $(n+7)!>1000*3^{n+1}$
[/mm]
So, an diesem Punkt bin ich auch nicht schlauer als vorher. Oder hab ich jetzt erst den Teil den ich zeigen muss? Ich hab mir nun folgendes überlegt:
$(n+7)!>(n+6)!$ und
[mm] $1000*3^{n+1}>1000*3^{n}$
[/mm]
Aber die Beziehung zwischen beiden ist immer noch nicht klarer.
Bestimmt ist es wieder ganz einfach, aber ich sehe den Weg nicht. Irgendwie hab ich bei der Vollst. Induktion immer noch nicht den richtigen Dreh raus :-(
Gruß
Andreas
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Hallo Andreas!
> Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen [mm]n>1[/mm] die
> folgenden Ungleichungen gelten:
>
> a) [mm](1+\bruch{1}{5})^n\ge 1+\bruch{n}{5}[/mm]
> b)
> [mm](n+6)!>1000*3^n[/mm]
>
> Ich vermute mal es kann mit Vollständiger Induktion gezeigt
> werden. Irgendwie hab ich so meine Schwirigkeiten mit VI,
> obwohl es eigentlich etwas relativ einfaches ist. Irgendwie
> weiß ich nie genau, was jetzt die Annahme ist und wo ich
> hin will, bzw. was ich zeigen will. Ich versuche es mal:
>
> a)
> 1. Schritt: n=1
> [mm](1+\bruch{1}{5})^1\ge1+ \bruch{1}{5}[/mm]
> [mm]1+\bruch{1}{5} \ge 1+\bruch{1}{5}[/mm]
>
>
> 2. Schritt: n=n+1
> [mm](1+\bruch{1}{5})^{n+1}\ge 1+\bruch{n+1}{5}[/mm]
>
> [mm](\bruch{6}{5})^{n+1}\ge \bruch{n+6}{5}[/mm]
>
> 3. Schritt:
> Jetzt müsste ja irgendeine Schlussfolgerung kommen die es
> zeigt. Ich "sehe" zwar, dass die linke Seite immer größer
> ist als die rechte, weil die Potenz natürlich schneller
> wächst, aber reicht das so hinzuschreiben?
Mit Schlussfolgerung meinst du wohl den Induktionsschritt. Dabei soll gezeigt werden, dass aus der Induktionsvoraussetzung [mm] (1+\bruch{1}{5})^n\ge 1+\bruch{n}{5}\; \forall [/mm] n die Aussage auch für n+1 und somit für alle n gilt.
Du musst also zeigen:
[mm] (1+\bruch{1}{5})^{n+1}\ge 1+\bruch{n+1}{5} [/mm] wie du ja auch unter 2. schon richtig geschrieben hast. Nun kannst du den linken Teil aber folgendermaßen schreiben (und das macht man sehr oft bei vollständiger Induktion):
[mm] (1+\bruch{1}{5})^n*(1+\bruch{1}{5})
[/mm]
Nun weißt du, dass nach IV der erste Teil hiervon [mm] \ge 1+\bruch{n}{5} [/mm] ist, also ist das Ganze
[mm] \ge (1+\bruch{n}{5})(1+\bruch{1}{5})
[/mm]
Nun musst du also nur noch folgende Ungleichung beweisen:
[mm] (1+\bruch{n}{5})(1+\bruch{1}{5})\ge\bruch{n+6}{5}
[/mm]
ist der Schritt nun klar?
> b)
> 1. Schritt: n=1
> [mm](1+6)!>1000*3^1[/mm]
> [mm]7!>3000[/mm]
> [mm]5040>3000[/mm]
>
> 2. Schritt: n=n+1
> [mm](n+1+6)!>1000*3^{n+1}[/mm]
> [mm](n+7)!>1000*3^{n+1}[/mm]
>
> So, an diesem Punkt bin ich auch nicht schlauer als vorher.
> Oder hab ich jetzt erst den Teil den ich zeigen muss? Ich
> hab mir nun folgendes überlegt:
>
> [mm](n+7)!>(n+6)![/mm] und
> [mm]1000*3^{n+1}>1000*3^{n}[/mm]
>
> Aber die Beziehung zwischen beiden ist immer noch nicht
> klarer.
Also ich würde das so machen:
es gilt:
(n+7)!=(n+7)(n+6)!
Nach IV weißt du, dass [mm] (n+6)!>1000*3^n
[/mm]
Nun kannst du noch [mm] 1000*3^{n+1} [/mm] schreiben als: [mm] 1000*3^n*3
[/mm]
und dann müsstest du hoffentlich weiterkommen. Jedenfalls ist damit der wichtige Induktionsschritt schon gemacht. 
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
Ach ja: noch ein Tipp: schreib die Sachen doch richtig ordentlich auf mit IA, IV und IS - jedenfalls hilft mir das immer.
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo Bastiane,
danke für die ganzen Tips. Ich habs jetzt nochmal versucht und möchte wissen ob es jetzt richtig ist und auch formal richtig hingeschrieben.
a)
$\left(1+\bruch{1}{5}\left)^n\ge 1+\bruch{n}{5}$
$\Rightarrow$ Vollständige Induktion
1. Induktionsanfang (n=1)
$\left(1+\bruch{1}{5}\left)^1\ge 1+\bruch{1}{5}$
2. Induktionsvoraussetzung (n=1)
$\left(1+\bruch{1}{5}\left)^n\ge 1+\bruch{n}{5}$
3. Induktionsschritt (n=n+1)
zu zeigen ist:
$\left(1+\bruch{1}{5}\left)^{n+1}\ge 1+\bruch{n+1}{5}$
$\left(1+\bruch{1}{5}\left)^{n+1}= \left( 1+\bruch{1}{5} \right)^n*\left(1+\bruch{1}{5}\right)$
aufgrund 2. ergibt sich:
$\left(1+\bruch{n}{5}\right)*\left(1+\bruch{1}{5}\right)\ge 1+\bruch{n+1}{5}$
$\left(1+\bruch{n}{5}\right)*\left(1+\bruch{1}{5}\right)\ge \bruch{n+6}{5}$
$\bruch{n+5}{5}*\bruch{6}{5}\ge \bruch{n+6}{5}$
$\bruch{6}{5}n+6\ge n+6$
b)
$(n+6)!>1000*3^n$
$\Rightarrow$ Vollständige Induktion
1. Induktionsanfang (n=1)
$(1+6)!>1000*3^1$
$7!>3000$
$5040>3000$
2. Induktionsvoraussetzung (n=1)
$(n+6)!>1000*3^n$
3. Induktionsschritt (n=n+1)
zu zeigen ist:
$((n+1)+6)!>1000*3^{n+1}$
$(n+7)!>1000*3^{n+1}$
$(n+7)!=(n+7)*(n+6)!$
aufgrund 2. ergibt sich:
$(n+7)*1000*3^n>1000*3^{n+1}$
$(n+7)*1000*3^n>1000*3^n*3$
$7+n>3$
Jetzt richtig?
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Do 17.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Ich persönlich würde das anders aufschreiben.
Du mußt Dich davon lösen, daß Du hier immer (Un-)Gleichungen dazustehen hast.
Mit meiner Schreibweise wird das einfach in einer langen Ungleichheitskette formuliert:
Zu zeigen: $[(n+1)+6]! \ = \ (n+7)! \ > \ 1000 * [mm] 3^{n+1}$
[/mm]
$(n+7)! \ = \ [mm] \underbrace{(n+6)!}_{IV: \ > \ 1000*3^n} [/mm] * \ (n+7) \ > \ [mm] 1000*3^n [/mm] * [mm] \underbrace{(n+7)}_{> \ 3 \ \forall n \in \IN} [/mm] \ > [mm] 1000*3^n [/mm] * 3 \ = \ 1000 * [mm] 3^{n+1}$
[/mm]
Ähnlich funktioniert dann auch Aufgabe a.) ...
Gruß
Loddar
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Hallo nochmal Andreas!
Tut mir leid, ich war den halben Nachmittag weg und dann hatte ich noch zu tun, sodass ich deine Frage erst jetzt lese. Reicht dir die Antwort von Loddar denn?
> a)
> [mm]\left(1+\bruch{1}{5}\left)^n\ge 1+\bruch{n}{5}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Vollständige Induktion
>
> 1. Induktionsanfang (n=1)
> [mm]\left(1+\bruch{1}{5}\left)^1\ge 1+\bruch{1}{5}[/mm]
>
> 2. Induktionsvoraussetzung (n=1)
> [mm]\left(1+\bruch{1}{5}\left)^n\ge 1+\bruch{n}{5}[/mm]
Vielleicht noch kurz eine Erklärung hierzu: Ich würde da nicht n=1 in die Klammer schreiben, das gehört eigentlich nur zum Induktionsanfang. Prinzip der Induktionsvoraussetzung ist ja, dass man annimmt, es gilt bis zu einem gewissen n für alle kleineren n und man möchte nun zeigen, dass es dann auch für das nächste n, also für n+1 gilt. Und wenn es dafür gilt, dann gilt es natürlich auch von diesem n aus gesehen für das nächste, also dann für n+2 usw. usw. bis man eben in der Unendlichkeit angekommen ist.  Alles klar? Jedenfalls würde ich diese Klammer da einfach weglassen.
> 3. Induktionsschritt (n=n+1)
> zu zeigen ist:
> [mm]\left(1+\bruch{1}{5}\left)^{n+1}\ge 1+\bruch{n+1}{5}[/mm]
>
>
> [mm]\left(1+\bruch{1}{5}\left)^{n+1}= \left( 1+\bruch{1}{5} \right)^n*\left(1+\bruch{1}{5}\right)[/mm]
>
>
> aufgrund 2. ergibt sich:
>
>
> [mm]\left(1+\bruch{n}{5}\right)*\left(1+\bruch{1}{5}\right)\ge 1+\bruch{n+1}{5}[/mm]
>
> [mm]\left(1+\bruch{n}{5}\right)*\left(1+\bruch{1}{5}\right)\ge \bruch{n+6}{5}[/mm]
>
> [mm]\bruch{n+5}{5}*\bruch{6}{5}\ge \bruch{n+6}{5}[/mm]
>
> [mm]\bruch{6}{5}n+6\ge n+6[/mm]
Ich denke, das ist richtig. Ich hab's jetzt auch nochmal so wie Loddar als Ungleichung aufgeschrieben:
zz: [mm] (1+\bruch{1}{5})^{n+1}\ge 1+\bruch{n+1}{5}
[/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{5})^{n+1}=(1+\bruch{1}{5})^n(1+\bruch{1}{5})\ge(1+\bruch{n}{5})(1+\bruch{1}{5})=\bruch{30+
6n}{25}>\bruch{30+5n}{25}=1+\bruch{n+1}{5}
[/mm]
Ich hoffe, dass ich mich hier nirgendwo verrechnet habe - es ist schon wieder etwas spät...
Man kommt nicht unbedingt direkt auf so eine Ungleichung, aber wenn man alles so umgeformt hat, wie du es ja gemacht hast, dann weißt du ja, worauf du hinauswillst, und dann kann man es auch am Ende als Ungleichung aufschreiben. Loddar hat recht, das sieht eigentlich schöner und vor allem kürzer aus. Muss aber nicht unbedingt sein.
Ist nun alles klar oder hast du sonst noch Fragen?
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane und Andreas!
Es mag ja vielleicht etwas kleinkariert wirken (normalerweise sind hier ja Marcel und/oder Stefan für zuständig ), aber eine minimale Korrektur möchte ich hier doch vornehmen:
Aus dem ">" am Ende der Ungleichung bitte ein [mm] "$\ge$" [/mm] machen, damit auch die gesamte Ungleichung, sprich: von vorne bis hinten als [mm] "$\ge$" [/mm] gelesen werden kann.
Dies' ist nunmal unsere zu zeigende Ungleichung ...
[mm]\left(1+\bruch{1}{5}\right)^{n+1} \ \red{\ge} \ \ 1+\bruch{n+1}{5}[/mm]
[mm]\left(1+\bruch{1}{5}\right)^{n+1} \ = \ \left(1+\bruch{1}{5}\right)^n * \left(1+\bruch{1}{5}\right) \ \ge \ \left(1+\bruch{n}{5}\right) * \left(1+\bruch{1}{5}\right) \ = \ \bruch{30+6n}{25} \ \red{\ge} \ \bruch{30+5n}{25} \ = \ 1+\bruch{n+1}{5}[/mm]
Grüße
Loddar
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