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Hallo!
Ich muss für einen Beweis zeigen, dass
[mm] (e^{u}+e^{-u})/2 \le e^{u^{2}/2}
[/mm]
gilt.
Kann mir jemand helfen, wie ich das beweise?
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Hallo,
> Ich muss für einen Beweis zeigen, dass [mm]\bruch{e^{u}+e^{-u}}{2} \le e^{\bruch{u^{2}}{2}}[/mm] gilt.
Ich weiß nicht, ob man auf diese Weise abschätzen darf, aber ich tue es mal:
Hallo Peter!
An dieser Stelle vielen Dank für deinen Hinweis! 
Man darf hier so tatsächlich nicht für alle reellen Zahlen abschätzen.
Ich denke aber, daß meine Abschätzung tatsächlich [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR-\left(0, 2\right]$ [/mm] funktioniert! Es bleibt jetzt also nur noch die Ungleichung für alle x aus (0, 2] zu beweisen. Und reicht es in diesem Fall nicht einfach aus die Ungleichung für 0 und 2 zu zeigen (einfach einsetzen), und dann mit der steigenden Monotonie der beiden Funktionen zu argumentieren?
[m]\begin{gathered}
\frac{{e^u + e^{ - u} }}
{2} \leqslant e^{\frac{{u^2 }}
{2}} \Rightarrow \frac{{e^u }}
{2} + \frac{1}
{{2e^u }} \leqslant e^{\frac{{u^2 }}
{2}} \Rightarrow \frac{{e^{2u} }}
{{2e^u }} + \frac{1}
{{2e^u }} = \frac{{e^{2u} + 1}}
{{2e^u }} \leqslant e^{\frac{{u^2 }}
{2}} \hfill \\
\Rightarrow \frac{{e^{2u} + 1}}
{2} \leqslant e^{\frac{{u^2 }}
{2} + u} \Rightarrow \frac{1}
{2} \leqslant e^{\frac{{u^2 }}
{2} + u} - \frac{{e^{2u} }}
{2} \Rightarrow 1 \leqslant 2e^{\frac{{u^2 }}
{2} + u} - e^{2u} = e^u \left( {2e^{\frac{{u^2 }}
{2}} - e^u } \right) \hfill \\
\mathop \geqslant \limits^{\blue{\text{beachte obige Anmerkung!}}} e^u \left( {2e^{\frac{{u^2 }}
{2}} - e^{\frac{{u^2 }}
{2}} } \right) = e^{\frac{{u^2 }}
{2} + u} \geqslant e^u \geqslant 1 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Weil [mm] $e^u \ge [/mm] 1$ ist, müßte das ja erst recht für die größeren e-Terme gelten, weshalb dann doch auch die ursprüngliche Ungleichung gilt, oder nicht?
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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Habe soweit alles nachvollziehen können!!
Allerdings verstehe ich nicht, was du alles in der letzten Zeile machst...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Do 23.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die letzteZzeile lautete ja so:
[mm] $e^u \left( {2e^{\frac{{u^2 }} {2}} - e^{\frac{{u^2 }} {2}} } \right) [/mm] = [mm] e^{\frac{{u^2 }} {2} + u} \ge e^u \ge [/mm] 1$
Der erste Schitt sollte ja klar sein:
Es gilt:
[mm] $2e^{\frac{u^2}{2}} [/mm] - [mm] e^{\frac{u^2}{2}} [/mm] = [mm] e^{\frac{u^2}{2}}$
[/mm]
und
[mm] $e^u \cdot e^{\frac{u^2}{2}} [/mm] = [mm] e^{\frac{u^2}{2} + u}$.
[/mm]
Im nächsten Schritt schätzt Karl [mm] $\underbrace{\frac{u^2}{2}}_{\ge 0} [/mm] + u [mm] \ge [/mm] u$ ab und nutzt die Monotonie der Exponentialfunktion.
Der letzte Schritt ist nur möglich für $u [mm] \ge [/mm] 0$. War das vorausgesetzt? Wenn nein, dann muss man es anders machen...
Edit: Man kann $u [mm] \ge [/mm] 0$ oBdA annehmen, da beiden Seiten achsensymmetrische Terme sind.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Do 23.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
Hab einen kleinen Fehler entdeckt:
[mm] e^u*(2e^{\frac{u^2}{2}}-e^u) \ge e^u*(2e^{\frac{u^2}{2}}-e^{\frac{u^2}{2}}) [/mm]
gilt ja eigentlich nur dann, wenn
[mm] e^u \le e^{\frac{u^2}{2}} [/mm]
Gegenbeispiel: [mm]u=1[/mm] !!!
bzw. allgemeiner:
[mm] e^u \le e^{\frac{u^2}{2}} [/mm]
[mm] 1 \le e^{\frac{u^2}{2}-u} [/mm]
somit
[mm] \frac{u^2}{2}-u \ge 0 [/mm]
stimmt [mm] \forall u \le 0 [/mm]
aber fuer [mm]u > 0[/mm] :
[mm] \frac{u}{2} -1 \ge 0 [/mm]
[mm] u \ge 2 [/mm] !!!
also muss fuer deinen Rechenschritt gelten: [mm] u \not\in (0,2) [/mm]
gut es waere sowieso interessant fuer welche u das ganze gelten soll. (Ich nehm mal an u ist eine reele Zahl, bei komplexen Zahlen tut man sich ein bisserl schwer mit dem groesser/kleiner )
lG
Peter
btw: [mm] cosh(u) = \frac{e^u + e^{-u}}{2} [/mm]
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Jetzt verstehe ich nur den Schritt von der zweiten zur dritten Zeile nicht!Da wird plötzlich aus [mm] e^{u} [/mm]
[mm] e^{u^{2}/2} [/mm] gemacht.
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Ich sollte das nochmal klarstellen:
Mein ursprünglicher Beweis gilt [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR-\left(0, 2\right]$.
[/mm]
Es bleibt also noch [m]\frac{{e^u + e^{ - u} }}
{2} \leqslant e^{\frac{{u^2 }}
{2}} \;\forall u \in \left( {0,2} \right][/m] zu zeigen.
Es seien [m]a\left( u \right): = \frac{{e^u + e^{ - u} }}
{2}[/m] und [m]b\left( u \right): = e^{\frac{{u^2 }}{2}}[/m].
Jetzt bilden wir die ersten Ableitungen dieser Funktionen:
[m]a'\left( u \right) = \left[ {\frac{{e^u + e^{ - u} }}
{2}} \right]' = \frac{{e^u - e^{ - u} }}
{2}[/m]
und
[m]b'\left( u \right) = \left[ {e^{\frac{{u^2 }}
{2}} } \right]' = ue^{\frac{{u^2 }}
{2}}[/m]
Wegen [mm] $a'\left(u\right) \ge [/mm] 0 [mm] \wedge b'\left(u\right) \ge 0\,\forall [/mm] u [mm] \in \left(0, 2\right]$ [/mm] sind a und b in (0, 2] monoton steigend. Jetzt betrachten wir noch die Grenzfälle 0 und 2 für unsere ursprüngliche Ungleichung:
[m]\frac{{e^0 + e^{ - 0} }}
{2} \leqslant e^{\frac{{0^2 }}
{2}} \Rightarrow 1 \leqslant 1[/m]
und
[m]\frac{{e^2 + e^{ - 2} }}
{2} \leqslant e^{\frac{{2^2 }}
{2}} \Rightarrow \frac{{e^4 + 1}}
{{2e^2 }} \leqslant e^{\frac{{2^2 }}
{2}} \Rightarrow e^4 + 1 \leqslant 2e^2 e^{\frac{{2^2 }}
{2}} = 2e^4 \Rightarrow 1 \leqslant e^4[/m]
Zusammen mit der Monotonie von a und b in (0, 2] folgt, daß die Ungleichung [mm] $\forall [/mm] u [mm] \in \left(0,2\right]$ [/mm] auch richtig ist. Zusammen mit meiner vorherigen Argumentation folgt, daß die Ungleichung [mm] $\forall [/mm] u [mm] \in \IR$ [/mm] stimmt. [mm] $\square$
[/mm]
Grüße
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi Karl!
> Ich denke aber, daß die Argumentation gerettet ist, wenn
> man sich auf alle reellen Zahlen, die nicht aus dem obigen
> Intervall sind beschränkt. Damit haben wir unser
> Ausgangsproblem trotzdem schon stark vereinfacht, weil wir
> die Ausgangsungleichung nun nur noch für (0, 2] zeigen
> müssen. Dazu setzen wir einfach die Intervallgrenzen in die
> Ausgangsungleichung ein und zeigen, daß die Ungleichung für
> diese Spezialfälle stimmt. Da beide Funktionen monoton
> wachsend sind, sind sie es auch auf (0, 2], womit die
> Ungleichung zusammen mit meiner vorigen Argumentation für
> alle reellen Zahlen bewiesen wäre.
Ich finde deinen Beweis wirklich sehr sehr elegant und ewig schad, dass es bisher nicht fuer den Bereich (0,2) gilt. das Monotonieverhalten ist zu wenig. Stell dir nur mal eine monoton steigende Gerade vor und dazu noch eine drum-herumschlaengende, monoton-steigende Linie (str. monoton steigende Kurve, die ihr Kruemmungsverhalten dauernd aendert, also viele Wendepunkte besitzt, aber keine Extremstellen hat) aber eben dauernd die Gerade schneidet. Beide sind streng monoton steigend, aber in manchen Intervallen sind alle funktions-Werte der Gerade kleiner als die der Schlagen-Kurve, in anderen Intervallen ist es genau umgekehrt.
Was ich damit demonstrieren will ist, dass man aus dem Monotonieverhalten 2er Kurven und dem Vergleich aus einem Intervall nicht unbedingt Rueckschluesse auf alle Intervalle ziehen kann.
Die Kruemmung muss man sicherlich auch noch bedenken und die ist fuer den cosh(x) und die e^(x) auf ganz R positiv.
Vielleicht reicht das dann.
lG
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Peter,
sicherlich auch noch bedenken und
> die ist fuer den cosh(x) und die e^(x) auf ganz R positiv.
> Vielleicht reicht das dann.
Was ist, wenn ich zusätzlich die 2te Ableitung von [mm] $a\!$ [/mm] und [mm] $b\!$ [/mm] betrachte? Es gilt doch:
[m]\left[ {ue^{\frac{{u^2 }}
{2}} } \right]' = e^{\frac{{u^2 }}
{2}} \left( {u^2 + 1} \right)[/m]
Was sicherlich für alle reellen Zahlen > 0 ist. Und dazu noch:
[m]\left[ {\frac{{e^u - e^{ - u} }}
{2}} \right]' = \frac{{e^u + e^{ - u} }}
{2} > 0 \Rightarrow e^u + e^{ - u} > 0 \Rightarrow e^u > - \frac{1}
{{e^u }} \Rightarrow e^{2u} > - 1[/m]
Damit können [mm] $a\!$ [/mm] und [mm] $b\!$ [/mm] keine Wendestellen mehr haben und können sich daher nicht mehr so unvorhersagbar krümmern.
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Do 23.06.2005 | | Autor: | olv |
Multipliziere deine Ungleichung mit 2 und dividiere durch [mm] e^{u^2/2}. [/mm] Du erhältst [mm] e^{u-(u^2)/2}+e^{-u-(u^2)/2}\le2. [/mm] Bilde 1. und 2. Ableitung der linken Seite nach u. Bestimme Extremstellen. Maximum für u=0, "Sattelpunkt" für u=1. => [mm] e^{u-(u^2)/2}+e^{-u-(u^2)/2} [/mm] ist für alle u ungleich 0 kleiner 2 und für u=0 eben gleich 2.
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