Maximum-Likehood-Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 21.12.2010 | | Autor: | brittag |
| Aufgabe | Seien X1,...,Xn unabhängig und gleichverteilt auf [a − [mm]\bruch {1}{2}[/mm]], [a + [mm]\bruch {1}{2}[/mm]].
Geben Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für a an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitte um Hilfe!
Ich weiß leider nicht, wie man den ML-Schätzer anwendet.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Do 23.12.2010 | | Autor: | brittag |
Ist denn keiner da, der helfen kann?
Normalerweise würde ich ja als erstes die Dichte ausrechnen, aber egal wie ich es mache, kommt da immer 1/ 0 raus.
Das macht ja wenig Sinn?!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Do 23.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Seien X1,...,Xn unabhängig und gleichverteilt auf [a −
> [mm]\bruch {1}{2}[/mm]], [a + [mm]\bruch {1}{2}[/mm]].
> Geben Sie einen
> Maximum-Likelihood-Schätzer für a an.
Wie sieht die Dichte eines [mm] X_i [/mm] aus?
Wie ist der ML-Schätzer definiert?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Do 23.12.2010 | | Autor: | brittag |
Danke zunächst für die Antwort.
Mir ist schon klar, wie die Gleichverteilung aussieht und wie der ML-Schätzer gebildet werden muss, also erst die Dichte berechnet werden muss
[mm] f(n)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{1}{d-c} , & \mbox{wenn }a-\bruch{1}{2}\le x \le a+ \bruch{1}{2} \\
0, & \mbox{ sonst}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Wenn ich aber in diese Dichtefunktion die Werte für c und d einsetze, erhalte ich für [mm]\bruch{1}{d-c}[/mm] die Lösung 1. Das macht ja keinen Sinn und ich weiß nicht, wie ich dann weiter damit verfahren soll?!?
wenn d=a+1/2
und c= a-1/2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Do 23.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Danke zunächst für die Antwort.
>
> Mir ist schon klar, wie die Gleichverteilung aussieht und
> wie der ML-Schätzer gebildet werden muss, also erst die
> Dichte berechnet werden muss
>
>
> [mm]f(n)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{1}{d-c} , & \mbox{wenn }a-\bruch{1}{2}\le x \le a+ \bruch{1}{2} \\
0, & \mbox{ sonst}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Wenn ich aber in diese Dichtefunktion die Werte für c und
> d einsetze, erhalte ich für [mm]\bruch{1}{d-c}[/mm] die Lösung 1.
> Das macht ja keinen Sinn und ich weiß nicht, wie ich dann
> weiter damit verfahren soll?!?
>
> wenn d=a+1/2
> und c= a-1/2
Eine Gleichverteilung G auf einer Teilmenge A des [mm] \IR^n [/mm] besitzt die Darstellung
[mm] G(B)=\frac{1}{\lambda^n(A)}\integral_B 1_Ad^n\lambda\left(=\frac{1}{\lambda^n(A)}\integral 1_B*1_Ad^n\lambda=\frac{1}{\lambda^n(A)}\integral 1_{A\cap B}d^n\lambda=\frac{\lambda^n(A\cap B)}{\lambda^n(A)}\right)
[/mm]
Die Dichte ist also
[mm] g(x)=\frac{1}{\lambda^n(A)}1_A(x)
[/mm]
Hier ist n=1, A=[a-1/2,a+1/2], [mm] \lambda(A)=1 [/mm] und damit
[mm] g(x)=1_{[a-1/2,a+1/2]}(x)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Do 23.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo brittag,
ich kann nicht nachvollziehen, wie Du auf die weiter unten angegebene Gleichung kommst, Du hast doch nur eine Variable, nämlich das a, das zu schätzen ist. Ich habe es lange nicht mehr gemacht, aber ad hoc würde ich als Likelihoodfunktion die Gleichverteilung der n Zufallsvariablen ausnutzen und dann käme man auf so einen Ausdruck
[mm] L(x_1, x_2, \dots, x_n;a) = \bruch{1}{1^n} \cdot 1_{[a-\bruch{1}{2}, a+\bruch{1}{2}]} (x_1) \cdot 1_{[a-\bruch{1}{2}, a+\bruch{1}{2}]} (x_2)\dots \cdot 1_{[a-\bruch{1}{2}, a+\bruch{1}{2}]} (x_n) [/mm]
Hiervon wäre das Maximum zu bestimmen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Do 23.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich glaube Du hast das falsche Intervall genommen. Angegeben war [mm] [a-\br{1}{2}, a+\br{1}{2}] [/mm] und dann ist die Intervalllänge 1 und die Likelihoodfunktion wäre [mm] 1_{[a-\br{1}{2}, a+\br{1}{2}]}(x_1)*...*1_{[a-\br{1}{2}, a+\br{1}{2}]}(x_1)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 23.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo ullim,
vielen Dank für den Hinweis, werde ich gleich korrigieren.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 23.12.2010 | | Autor: | brittag |
Hi, danke schonmal.
Dieser Schritt war mir schon klar, aber ich steh´aufm Schlauch.
Wie berechne ich denn nun den Schätzer?
Ich muss doch die Dichte berechnen, oder? Also ich hab grad gar keine Ahnung, wie es weitergehen muss...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Do 23.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin brittag,
zeichne mal die Likelihoodfunktion fuer [mm] $x_1=0.1$ [/mm] und [mm] $x_2=0.5$. [/mm] Faellt dir etwas auf?
vg Luis
PS: Was ist eigentlich $a_$? Dazu finde ich nichts in deiner Aufgabenstellung.
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Du musst ja a so wählen, dass die Dichte [mm] 1_{[a-\br{1}{2}, a+\br{1}{2}]}(x_1)\cdot{}...\cdot{}1_{[a-\br{1}{2}, a+\br{1}{2}]}(x_n) [/mm]
maximal wird. Die Dichte wird 1(und damit maximal) für [mm] a\in(maxX_{i}-1/2,minX_{i}+1/2 [/mm] ).
Ist die Differenz von [mm] maxX_{i} [/mm] und [mm] minX_{i} [/mm] 1, bleibt z.B nur noch ein a wo die dichte 1 wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Sa 25.12.2010 | | Autor: | brittag |
Hey,das ist mir alles klar aber wie genau komme ich dann auf den Schätzer? Stehe irgendwie aufm Schlauch.
Bitte um weihnachtliche Unterstützung.
LG
Britta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 So 26.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Britta,
bitte beschreibe doch mal in Deinen eigenen Worten, was dir noch unklar ist. Wenn ich sehe, dass Dein Ansatz zur Likelihood-Funktion verkehrt war und dass Du nach unseren Kommentaren auch nicht erkennst, dass Dir Pillendreher die Lösung schon mehr oder weniger deutlich angegeben hat, dann befürchte ich, dass Dir nichts klar ist.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Mo 27.12.2010 | | Autor: | brittag |
Hi,
Also mein Problem war folgendes:
Bei anderen Beispielen konnte ich nach Betechnung der Dichte immer nach a auflösen.
Das geht ja aber hier nicht.
Die likelihood Funktion ist mir klar, auch dass der Abstand 1 ist -logisch-,auch klar dass ich das Max xi nehmen muss. Aber wie berechne ich hier das a?
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Di 28.12.2010 | | Autor: | brittag |
Hi,
also mir ist der Ansatz nun klar...
Die Dichte ist eben die Funktion der Gleichverteilung und es ergibt sich die Likelihood-Funktion, die oben mehrfach angegeben wurde.
Nun muss a so gewählt werden, dass die Dichte (also obige Gleichung) maximal wird.
Und die Dichte wird genau dann maximal (also 1), wenn max Xi -min Xi = 1 wird.
Aber wie zum Teufel bekomme ich dieses blöde a jetzt in die Gleichung?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 28.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Aber wie zum Teufel bekomme ich dieses blöde a jetzt in
> die Gleichung?!?
Moin,
Mit der Schreibweise von Infinit ist:
$ [mm] L(x_1, x_2, \dots, x_n;a) =1_{[a-\bruch{1}{2}, a+\bruch{1}{2}]} (x_1) \cdots 1_{[a-\bruch{1}{2}, a+\bruch{1}{2}]} (x_n)= 1_{[x_1-\bruch{1}{2}, x_1+\bruch{1}{2}]} [/mm] (a) [mm] \cdots 1_{[x_n-\bruch{1}{2}, x_n+\bruch{1}{2}]} [/mm] (a)$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Do 30.12.2010 | | Autor: | brittag |
Hey, irgendwie versteht mich keiner.
Die Gleichung ist mir klar aber ich muss ja gucken, wann die Differenz von max und min 1 wird.
Ich weiß nicht, wie ich das errechnen soll.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Do 30.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hey, irgendwie versteht mich keiner.
*Du* verstehst uns nicht.
> Die Gleichung ist mir klar aber ich muss ja gucken, wann
> die Differenz von max und min 1 wird.
Das ist, mit Verlaub, Quatsch!
vg Luis
> Ich weiß nicht, wie ich das errechnen soll.
> Danke
Bitte.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Do 30.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Dichte ist ja
[mm] L(x_1, x_2, \dots, x_n;a)=\produkt_{i=1}^{n}1_{[a-\bruch{1}{2}, a+\bruch{1}{2}]} (x_i)
[/mm]
und für a gilt die Beziehung
[mm] a\in\left[Max_{X_{i}}-\br{1}{2},Min_{X_{i}}+\br{1}{2}\right]
[/mm]
D.h. jedes a aus diesem Intervall ist ein ML-Schätzwert für a so denn das Intervall nicht leer ist. D.h. es gibt in diesem Fall keinen eindeutig bestimmten Schätzwert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Do 30.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> D.h. jedes a aus diesem Intervall ist ein ML-Schätzwert
> für a so denn das Intervall nicht leer ist. D.h. es gibt
> in diesem Fall keinen eindeutig bestimmten Schätzwert.
Amen!
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Di 04.01.2011 | | Autor: | brittag |
Danke 
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