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Kurvendiskussion: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Fr 04.03.2005
Autor: Kimi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,
schreibe heute hier meinen ersten Eintrag und würde mich über Anregungen euerseits für meine Aufgabe sehr´freuen, ich hänge nämlich momentan total!
Also Aufgabe:
4x quadrat mal e hoch-x
wäre super lieb, wenn mir jemand damit helfen könnte!
Lieben Gruß
Kimi
        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Fr 04.03.2005
Autor: Julius

Hallo Kimi!

[willkommenmr]

Ich möchte dich zuallererst mal auf unsere Forenregeln hinweisen.

Insbesondere erwarten wir von dir eigene Ansätze und Ideen, wir sind keine Lösungsmaschine.

Die Funktion lautet also:

[mm] $f(x)=x^2 \cdot e^{-x}$. [/mm]

Schau mal in den Quelltext oder besser noch in unsere Erklärungen zum Formelsystem, wie man solche Formeln schreibt und mache das demnächst dann bitte auch.

Für die Nullstellen muss man ja die Gleichung

[mm] $x^2 \cdot e^{-x}=0$ [/mm]

lösen. Da ein Produkt genau dann gleich $0$ ist, wenn mindestens einer der beiden Faktoren gleich $0$ ist, und da für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] bekanntlich [mm] $e^y>0$ [/mm] gilt, ist die Gleichung [mm] $x^2 \cdot e^{-x}=0$ [/mm] genau dann erfüllt, wenn [mm] $x^2=0$ [/mm] erfüllt ist. Und dies wird genau durch $x=0$ gelöst.

Wir haben also eine (zweifache) Nullstelle, nämlich $x=0$.

Wie geht es nun weiter?

Versuche mal die Grenzwerte für $x [mm] \to [/mm] + [mm] \infty$ [/mm] und $x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] zu bestimmen sowie die Ableitung zu bilden. Die Regeln dafür findest du hier: MBAbleitungsregel.

Liebe Grüße
Julius
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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Fr 04.03.2005
Autor: Kimi

Hallo,
erstmal Entschuldigung, dass ich die Forenregeln nicht gleich gefunden habe!
Also hier noch mal die Aufgabe:
[mm] 4x^2*e^-x. [/mm]
Es ist ja nicht so, dass ich noch nichts gerechnet habe!
Also hier meine Überlegungen:
Ableitungen:
f'(x)= e^-x [mm] *(8x+4x^2) [/mm]
f''(x)= e^-x [mm] *(16x+4x^2+8) [/mm]
f'''(x) = e^-x [mm] *(24x+4x^2+24) [/mm]

Symmetrie:
Weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch, da sowohl für f(-x) als auch für f(x) ungleich.

Nullstellen:
keine vorhanden,
da [mm] 4x^2 [/mm] ungleich zu -e^-x

Bei den Extremstellen klappt das umstellen der f´´(x) nicht, bekomme einfach nichts raus!

Wäre über Hilfe sehr dankbar!
LG Kimi


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Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:58 Fr 04.03.2005
Autor: Kimi

Habe total das Verhalten für x --> unendlich( bekomme das Zeichen einfach nicht hin)
Beide laufen gegen + unendlich
Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Lösungsansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Fr 04.03.2005
Autor: payon

Hi Kimi,
du hast da ein paar Sachen falsch berechnet. Ich helf dir mal ein bisschen auf die Sprünge.
1.  Definitionsgebiet von x:   [mm] x\in\IR [/mm]

2. Nullstellenanalyse: Hier hast du leider einen Fehler gemacht, denn die Gleichung
[mm] 4x^2e^{-x} = 0[/mm] läßt sich relativ gut lösen. Da
[mm] e^{-x} [/mm] niemals zu Null wird bleibt übrig und zu lösen
[mm] 4x^2 = 0[/mm] Und hier sieht man, dass x = 0 eine doppelte Nullstelle uns somit ohne Vorzeichenwechsel ist.

3. Unendlichkeitsverhalten: Hier ist es sinnvoll zu wissen, dass sich das x im Exponenten immer gegenüber dem normalen x durchsetzt. Das heißt hier, dass man nur [mm] e^{-x} [/mm] anschauen muß, und desses Verhalten deuten muß.
Somit bei  
[mm] \limes_{x \to \infty}e^{-x} = \bruch{1}{e^{\infty}} \rightarrow 0[/mm]
[mm] \limes_{x \to -\infty}e^{-x} = e^{\infty} \rightarrow \infty [/mm]

4. Ableitungen: Hier hast du auch ein paar Vorzeichenfehler gemacht:
[mm] f'(x) = e^{-x}(8x-4x^2) [/mm]
[mm] f''(x) = e^{-x}(8+4x^2) [/mm]
[mm] f'''(x) = e^{-x}(16x+4x^2) [/mm]
Wenn du nun die erste Ableitung auflöst, dann hast du bei 0 und bei 1/2 eine Nullstelle. Eingesetzt in die zweite Ableitung ergibt es bei 0 ein Minimum und bei 1/2 ein Maximum.

So weiter kann du sicherlich alleine rechnen. Sprich genaue y- Position der Nullstellen und Extrema. Also ich hoffe dir soweit ein bisschen geholfen zu haben. alle ngaben natürlich ohne Gewähr.

gruss

martin


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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Fr 04.03.2005
Autor: Kimi

Hallo Martin, hast mir in der Tat sehr geholfen!
werde mich jetzt mal an den Rest setzen!
LG
Kimi
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