Konvergenz x über n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi
Ich hatte gerade einen gaaanz langen Artikel geschrieben, (zu meiner Frage) und dann stürzt das I-net ab ?! Cache brachte auch nichts mehr ! *heul*
Nun ja, drum schreibe ich neu:
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty}=\vektor{x \\ n}
[/mm]
zu zeigen ist, dass die Reihe für alle x>-1 konvergiert, sonst divergiert.
Weiter ist angeben, dass
[mm] \vektor{x \\ n}= \bruch{x(x-1)...(x-n+1)}{n!} [/mm] ist
Wir haben noch als Tipp, wir sollten Leibniz benutzen und das sich das Konvergenzverhalten einer Folge/Reihe nicht ändert, wenn man endlich viele Glieder weglässt.
Allein bei der Def. von [mm] \vektor{x \\ n} [/mm] hab ich schon 'ne Frage:
Für n=0 was liefert die Folge ? 0 ? (weil x-n+1=x-(n-1)
Weil ansonsten ist ja x(x-1)(x-2)(x-3) für n=4 ........ oder ?
[könnte da vielleicht jemand kurz erklären, ist das jetzt die Fakultät im Zähler, oder was ist das ?)
Ich kenn sonst nur [mm] \bruch{x(x-1)!}{n!(n-k)!} [/mm] dafür..
Aber wir sollen wohl diese hier benutzen ?
Ich hatte ja gedacht, dass es mit geraden n's zu tun haben könnte, also das es (wie bei Leibniz) bei
x>-1:
zwei Teilfolgen gibt, eine monton steigende und eine fallende (daher konvergent)
x<-1 irgendwas anderes (nur negative reelle Zahlen)
Naja, ich hatte hier gerade einen Roman von Vermutungen geschrieben, die ab grob genommen nur ausdrückten, dass ich
a) nicht weiß wie ich anfangen soll
b) die Vermutung äußerten, dass der letzte Ausdruck (x-n+1)
ja eigentlich fast immer negativ ist (n läuft gegen unendlich)
Am Anfang so lange n<x+1 ist, ist er positiv,
bei n=x+1 wird der Ausdruck 0 (also das Produkt auch)
Ab n>x+1 gehts ins negative
Für negative werte von x, ist ja immer x<n,
Daher beginnen die x für die gilt x<=-1, immer schon im negativen. (n startet ja bei 0)
Ich mein, das müßte doch eigentlich bedeuten, dass für x<-1, es nur eine monton fallende Folge gibt, ansonsten gibt es wie oben vermutet, eine steigende und eine fallende..
Aber wie schreibt man das denn math. richtig auf ? [wenn's denn stimmt] und über einen Beweis, dass eine Folge mit negativen Zahlen nicht konvergieren kann, hab ich auch noch nichts gehört.
Majorantenkriterium besagen doch immer, (sei eine Folge nicht negativer reeller Zahlen gegeben)
Naja, danke fürs zuhören ! *g*
Kann mir jemand bitte helfen ?
Danke
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Ingmar |
Hi Feanol.
Die Aufgabenstellung verwirrt mich auch ziemlich. Hast du du dich vertippt, oder sollst du wirklich für x>(-1) die Konvergenz nachweisen, und für x<=(-1) die Divergenz? Falls du dich da vertippt hast, solltest du das korrigieren.
Wenn nicht übersteigt das meinem mathematischen Horizont um so einiges. (Wozu allerdings auch nicht viel gehört  )
Zu der Defintion:
Die beiden Definitionen die du geschrieben hast sind gleich.
[mm] \vektor{x \\ n} [/mm] = [mm] \bruch{x(x-1)...(x-n+1)}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{x!}{n!(x-n)!} [/mm] ( = [mm] \bruch{x(x-1)!}{n!(x-n)!} [/mm] )
Das liegt daran, dass in dem Bruch
[mm] \bruch{x!}{(x-n)!} [/mm]
die Elemente (x-n)! Ja im Zähler und im Nenner vorhanden sind. Wenn man hier Kürzen würde, so ergäbe sich
[mm](x-n+1)![/mm]
Um die Definitionen musst du dir also keine Sorgen machen, nimm einfach die mit der du besser klar kommst, und schreib im Zweifel noch einen Satz in die Lösung, warum die Gleichheit besteht.
Die Lösung von [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist eins, wie dir auch dein Taschenrechner bestätigen wird. Der Grund ist, dass 0! = 1 als Vereinbarung gilt.
Ich hoffe das Hilft erstmal die gröbsten Unklarheiten zu beseitigen.
Grüße Ingmar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 So 05.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Zu deiner Frage, wegen x>-1
Das ist schon richtig!
Zeigen Sie, dass die Reihe für jede reelle Zahl x>-1 konvergiert und sonst divergiert..
Naja, ich probiers weiter..
Faenôl
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Hallo, Faneol
Quotientenkriterium!
Summengliede [mm] $a_n [/mm] = [mm] \vektor{x \\ n}$
[/mm]
also
[mm] $q_n [/mm] = [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{x-n}{n+1}$
[/mm]
für
$x = -1 + d$ also [mm] $q_n [/mm] = -1 + [mm] \frac{d}{n+1}$
[/mm]
$ (x > -1) [mm] \Rightarrow [/mm] ( d > 0) [mm] \Rightarrow [/mm] | [mm] q_n [/mm] | < 1 $ ab $n+1 > d $
aber für $ x [mm] \le [/mm] -1 $ immer $ | [mm] q_n [/mm] | > 1 $ und damit Divergenz
im die Vorzeichen alternierren in beiden Fällen, für $x > -1$ ist somit das
Leibniz-Kriterium erfült, die Reihe konvergent.
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