Invertierbare Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab hier eine Aufgabe, wo man zu einer geg. Matrix A [mm] \in \IR^{3,3} [/mm] eine invertierbare Matrix C [mm] \in \IR^{3,3} [/mm] bestimmen soll, derart, dass [mm] C^{t}AC [/mm] Diagonalgestalt hat.
Ich hab die Aufgabe so gelöst. Leider wurde meine Lösung nur durchgestrichen, und mir ist unklar, was ich da falsch gemacht habe. Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen und mir erklären, wo mein Fehler liegt.
Geg.: A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 }
[/mm]
Ich habe B = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] gesetzt und [mm] B^{t}= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Also hab ich [mm] B^{t}AB [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 } [/mm] := D
Dann hab ich die i-te Zeile und i-te Spalte von D vertauscht.
Also D = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 } [/mm]
Setze F= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] und [mm] F^{t}= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 }
[/mm]
Also folgt: [mm] F^{t}DF= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }
[/mm]
Diese Matrix ist in Diagonalgestalt.
Das gesuchte C ist also C= BF = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
C ist invertierbar, da es in Zeilenstufenform vorliegt.
Ich versteh nicht, weshalb meine Lösung falsch ist. Der Korrektor hat nur die Aufgabe durchgestrichen.
Ich bitte deshalb um Verbesserung und um eine Erklärung, was ich falsch gemacht habe.
Danke für die Hilfe.
Moe007
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Nam |
Wenn ich [mm]C^T * A * C[/mm] ausrechne (mit Derive), dann komme ich auf
[mm]C^T * A * C = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 2 & -2\end{pmatrix}[/mm]
Das ist aber keine Diagonalmatrix.
Ach so: ist die Aufgabenstellung echt so, dass [mm]C^{t} * A * C[/mm] (wobei [mm]C^{t}[/mm] die transponierte Matrix ist) Diagonalgestalt haben soll?
Steht da nicht zufällig [mm]C^{-1} * A * C[/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Julius,
danke erstmal für deine Antwort. Ich wusste nicht, dass man einfach Zeilen und Spalten vertauschen darf. Aber wir haben in der Vorlesung ein Verfahren kennengelernt, wo man eine invertierbare Matrix C bestimmen kann, so dass [mm] C^{t}AC [/mm] Diagonalgestalt hat. Ein Fall von diesem Verfahren besagt, dass man die i-te und j-te Zeile und Spalte von der Matrix vertauschen darf, um auf die Diagonalgestalt zu kommen. Ist das doch falsch????
Das Verfahren steht hier bei diesem Link http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~deiser/m1b.html beim Unterpunkt Skript, S. 74.
Wie hätte man denn die Diagonalgestalt sonst bestimmen können, ohne Vertauschen von Zeilen uns Spalten??
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen. Denn ich kenne nur dieses eine Verfahren aus dem Skript.
Anscheinend versteh ich das Verfahren nicht ganz.
Bitte um Aufklärung. Danke, Moe007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Doch, doch, du darfst Zeilen und Spalten vertauschen, nur musst du dann (quasi um das "wieder gutzumachen") von links und rechts eine Permutationsmatrix (wie angegeben) multiplizieren.
Viele grüße
Julius
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
Bzw. wenn du es machst, dann musst du dies durch Links- und Rechtsmultiplikation mit einer Permutationsmatrix wieder ausgleichen!
