Finde Basis eines R-Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Sa 23.11.2013 | | Autor: | TaA_9 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^{4}\to\IR^{3} [/mm] die Abbildung, die [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) [/mm] auf [mm] (3x_{1}+2x_{2}-x_{3},x_{1}+x_{3},x_{1}+x_{2}-x_{3}) [/mm] schickt. Finden Sie eine Basis der [mm] \IR [/mm] -Vektorräumen [mm] f(\IR^{4}) [/mm] und [mm] Ker(f)=f^{-1}(0)
[/mm]
Ist f surjektiv oder injektiv? |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1856386#post1856386
Leider komme ich da gar nicht draus, was der einte gemacht hat. Es fehlt an Erklärung
Ich weiss, wenn ich eine Basis finden möchte, müssen sie linear unabhängig sein.
Leider fühl ich mich da überfordert mit [mm] R^{4} [/mm] und [mm] R^{3} [/mm] und dem Ker(f)
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> Sei f: [mm]\IR[/mm] ^{4} [mm]\to \IR^{3}[/mm] die Abbildung, die
> [mm](x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})[/mm] auf
> [mm](3x_{1}+2x_{2}-x_{3},x_{1}+x_{3},x_{1}+x_{2}-x_{3})[/mm]
> schickt. Finden Sie eine Basis der [mm]\IR[/mm] -Vektorräumen
> [mm]f(\IR^{4})[/mm] und [mm]Ker(f)=f^{-1}(0)[/mm]
> Ist f surjektiv oder injektiv?
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1856386#post1856386
>
> Leider komme ich da gar nicht draus, was der einte gemacht
> hat. Es fehlt an Erklärung
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mir ist gerade nicht ganz klar, warum Du nicht beim dortigen Helfer nochmal nachfragst.
Na, egal.
>
> Ich weiss, wenn ich eine Basis finden möchte, müssen sie
> linear unabhängig sein.
> Leider fühl ich mich da überfordert mit [mm]R^{4}[/mm] und [mm]R^{3}[/mm]
> und dem Ker(f)
Erstmal muß man wissen, was mit Kern(f) gemeint ist.
Weißt Du das?
Kern(f) ist die Menge, die alle Vektoren enthält, welche vermöge f auf den Nullvektor abgebildet werden.
Also mußt Du herausfinden, für welche [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\in \IR^4 [/mm] gilt
[mm] f(x)=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
<==>
[mm] \vektor{3x_{1}+2x_{2}-x_{3}\\x_{1}+x_{3}\\x_{1}+x_{2}-x_{3}}=\vektor{0\\0\\0}.
[/mm]
<==>
[mm] \vektor{3x_{1}+2x_{2}-x_{3}+0*x_4\\x_{1}+x_{3}+0*x_4\\x_{1}+x_{2}-x_{3}+0*x_4}=\vektor{0\\0\\0}.
[/mm]
Dies liefert Dir ein homogenes LGS mit drei Gleichungen in den Variablen [mm] x_1, x_2, x_3, x_4 [/mm] (!!!), welches Du nun mal lösen solltest.
Die Lösungsmenge dieses LGS ist der gesuchte Kern.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 23.11.2013 | | Autor: | TaA_9 |
Ok. Also habe ich gemacht und danach als Matrize aufgeschrieben
und bekommen dann:
[mm] \pmat{ 3 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Aber dann ist ja ein Vektor alles null. Was sagt das mir aus?
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> Ok. Also habe ich gemacht und danach als Matrize
Hallo,
das Ding heißt Matrix.
Eine Matrix, viele Matrizen.
Eine Matrize ist nämlich etwas ganz anderes.
> aufgeschrieben
> und bekommen dann:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Umfall...
Nun rate mal, warum ich extra daraufhinwies, daß wir es mit 4 Variablen zu tun haben?
Warum ich überall extra noch [mm] +0*x_4 [/mm] dazugeschrieben habe?
(Es haben doch die Vektoren, auf die wir die Abbildung f loslassen, 4 Komponenten, denn sie sind aus dem [mm] \IR^4)
[/mm]
Richtig wäre am Ende die Zeilenstufenform
[mm] \pmat{ \red{3} & 2 & -1&0 \\ 0 & \red{1 }& -2 &0\\ 0 & 0 & 0&0 }
[/mm]
> Aber dann ist ja ein Vektor alles null. Was sagt das mir
> aus?
Paß auf:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen habe ich rot markiert.
Sie sind in der 1. und 2. Spalte.
Die Variablen, in deren Spalte keine führenden Zeilenelemente sind, kannst Du als freie Variablen nehmen.
Hier im Beispiel sind das [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4.
[/mm]
Mit
[mm] x_4:=t
[/mm]
[mm] x_3:=s
[/mm]
bekommst Du aus der 2.Zeile
[mm] 1*x_2-2x_3=0 [/mm] <==> [mm] x_2=2x_3 [/mm] <==>
[mm] x_2=2s,
[/mm]
und aus der ersten Zeile
[mm] 3*x_1+2x_2-x_3 [/mm] <==> [mm] x_1=-2/3x_2+1/3x_3 [/mm] <==>
[mm] x_1=-2/3*2s+1/3*s=-s.
[/mm]
Du weißt nun: alle Vektoren x, die das LGS lösen, sind von der Bauart
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{-s\\2s\\s\\t}=s*\vektor{-1\\...\\...\\...}+t*\vektor{...\\...\\...\\...}.
[/mm]
Die beiden Vektoren, die Du bekommst, sind eine Basis des Lösungsraumes.
So funktioniert das immer, wenn Du homogene LGS löst.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Sa 23.11.2013 | | Autor: | TaA_9 |
Ok, das wäre mit dem Kern
Und wie geht das mit [mm] f(R^4)?
[/mm]
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> Ok, das wäre mit dem Kern
> Und wie geht das mit [mm]f(R^4)?[/mm]
Hallo,
[mm] f(\IR^4) [/mm] ist das Bild von f, also die Menge, die man bekommt, wenn man in f(x) nacheinander alle [mm] x\in IR^4 [/mm] einsetzt.
Du kannst Dir überlegen - oder es Dir von mir sagen lassen -, daß das Bild von den Vektoren [mm] f(e_1),...,f(e_4) [/mm] erzeugt wird. Die [mm] e_i [/mm] sind dabei die Standardbasisvektoren des [mm] \IR^4.
[/mm]
Damit kennst Du ein Erzeugendensystem des Bildes.
Fischst Du aus diesem eine maximale linear unabhängige Teilmenge heraus, so hast Du eine Basis des Bildes.
(Die Vektoren [mm] f(e_1),...,f(e_4) [/mm] sind übrigens die Spalten der Darstellungsmatrix.)
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Sa 23.11.2013 | | Autor: | TaA_9 |
Heisst das, dass ich diese Standardvektoren wieder in diese drei Gleichungen einsetzen muss?
Dann erhalte ich aber die gleiche Matrix wie vorhin
Oder wie muss ich das anwenden?
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> Heisst das, dass ich diese Standardvektoren wieder in diese
> drei Gleichungen einsetzen muss?
Hallo,
ja.
>
> Dann erhalte ich aber die gleiche Matrix wie vorhin
Naja, wenn Du nacheinander die 4 Vektoren einsetzt, bekommst Du 4 Vektoren des [mm] \IR^3.
[/mm]
Ja, das sind die Spalten der Matrix von zuvor.
Und aus diesen Spalten mußt Du nun eine möglichst große linear unabhängige Teilmenge heraussuchen.
Das ist dann eine Basis des Bildes.
LG Angela
>
> Oder wie muss ich das anwenden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 23.11.2013 | | Autor: | TaA_9 |
> Und aus diesen Spalten mußt Du nun eine möglichst große
> linear unabhängige Teilmenge heraussuchen.
> Das ist dann eine Basis des Bildes.
Wie meinst du dass mit der Teilmenge?
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> > Und aus diesen Spalten mußt Du nun eine möglichst große
> > linear unabhängige Teilmenge heraussuchen.
> > Das ist dann eine Basis des Bildes.
>
> Wie meinst du dass mit der Teilmenge?
???
Irgendwie wäre es angebracht, wenn Du das Hirn zumindest im Energiesparmodus anknipsen würdest - und vielleicht auch mal mehr als 5 Minuten über das Gesagte nachdenken.
Du hast eine Menge, bestehend aus 4 Vektoren.
Sie lauten?
Und aus dieser Menge mußt Du einen möglichst großen Teil abnehmen, halt eine Teilmenge, so daß die in ihr enthaltenen Vektoren linear unabhängig sind.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Sa 23.11.2013 | | Autor: | TaA_9 |
Ist kein Grund um unhöflich zu sein -.-
kann auch nichts dafür wenn es mir nicht liegt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo TaA!
> Ist kein Grund um unhöflich zu sein -.-
Das hat nichts mit Unhöflichkeit zu tun. Sondern das war der dezente Hinweis, dass man sich (spätestens jetzt im Studium) auch selbst mit einigen Dingen auseinandersetzen sollte und nicht innerhalb von Wimpernschlägen gleich wieder nachzufragen.
Denn daraus entnimmt man dann wirklich, dass man sich nicht mit der Antwort ausreichend auseinandergesetzt hat.
Gruß
Loddar
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