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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:00 Mi 08.07.2009 | | Autor: | chrissi2709 |
| Aufgabe | Der affine Unterraum A [mm] \subset \IR^3 [/mm] sei gegeben durch die Gleichung
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - 3 [mm] x_3 [/mm] = 1
a) Gib drei affin unabhängige Punkte [mm] a_1, a_2, a_3 \in [/mm] A an
b) Stelle x = [mm] (x_1, x_2, x_3) \in [/mm] A als Affinkombination von [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] dar. |
Hallo!
zu a)
ich hab die normalform in parameterform gebracht:
E: [mm] \pmat{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lamda*\pmat{0 \\ 3 \\ 1} [/mm] + [mm] \mu*\pmat{1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
und diese Punkte wären dann meine affin unabhängigen Punkte
stimmt das?
zu b)
[mm] \pmat{0 & 1 & x_1 \\ 2 & -3 & x_2 \\ 1 & 0 & x_3}
[/mm]
wäre dann meine Matrix
diese aufgelöst ergibt:
[mm] \pmat{0 & 3+x_2-2x_3 & 0 \\ 0 & 0 & x_2+3x_1-2x_3 \\ 2+x_2+3x_1 & 0 & 0}
[/mm]
das hab ich dann in eine erneute Matrix geschrieben mit den koeffizienten von [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3, [/mm] das ergab dann:
[mm] \pmat{3 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2}
[/mm]
aufgelöst ergebibt sich für x:
x = [mm] \pmat{1\\-5\\-1}
[/mm]
ist das so korrekt oder kann ich das so nicht machen?
schonmal danke für die antworten.
lg
chrissi
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> Der affine Unterraum A [mm]\subset \IR^3[/mm] sei gegeben durch die
> Gleichung
> [mm]2x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] - 3 [mm]x_3[/mm] = 1
> a) Gib drei affin unabhängige Punkte [mm]a_1, a_2, a_3 \in[/mm] A
> an
> b) Stelle x = [mm](x_1, x_2, x_3) \in[/mm] A als Affinkombination
> von [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] dar.
Hallo,
bevor hier irgendwas passierst, schreib erstmal die Definitionen auf von
- [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] sind affin unabhängig
- x ist eine Affinkombination von [mm] a_1, a_2, a_3.
[/mm]
Dann kannst Du Deine Vorgehensweise mal auf diese Definitionen bezugnehmend kommentieren.
> zu a)
> ich hab die normalform in parameterform gebracht:
>
> E: [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]\lamda*\pmat{0 \\ 3 \\ 1}[/mm] +
> [mm]\mu*\pmat{1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> und diese Punkte wären dann meine affin unabhängigen
> Punkte
Welche Punkte?
>
> stimmt das?
>
> zu b)
>
> [mm]\pmat{0 & 1 & x_1 \\ 2 & -3 & x_2 \\ 1 & 0 & x_3}[/mm]
> wäre
> dann meine Matrix
Was bezweckst Du weshalb?
Gruß v. Angela
>
> diese aufgelöst ergibt:
> [mm]\pmat{0 & 3+x_2-2x_3 & 0 \\ 0 & 0 & x_2+3x_1-2x_3 \\ 2+x_2+3x_1 & 0 & 0}[/mm]
>
> das hab ich dann in eine erneute Matrix geschrieben mit den
> koeffizienten von [mm]x_1, x_2[/mm] und [mm]x_3,[/mm] das ergab dann:
> [mm]\pmat{3 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2}[/mm]
>
> aufgelöst ergebibt sich für x:
> x = [mm]\pmat{1\\-5\\-1}[/mm]
>
> ist das so korrekt oder kann ich das so nicht machen?
>
> schonmal danke für die antworten.
>
> lg
>
> chrissi
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affin unabhängig:
linear unabhängig und [mm] \lambda_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_n [/mm] = 1
affinkombination:
[mm] x=a_1 [/mm] + [mm] \mu (a_2 [/mm] - [mm] a_1) [/mm] + [mm] \nu [/mm] ( [mm] a_3 [/mm] - [mm] a_1)
[/mm]
aber mit der def hab ich drei gleichungen mit fünf unbekannten also nicht lösbar
die affinen Punkte sind die drei Punkte aus der Parameterform
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> affin unabhängig:
> linear unabhängig und [mm]\lambda_1[/mm] + ... + [mm]\lambda_n[/mm] = 1
???
Hallo,
Du mußt die komplette Definition zu Papier bringen. Ohne jegliche Sparsamkeit.
Man weiß ja noch nichtmal, was die [mm] \lambda_i [/mm] darstellen sollen.
>
> affinkombination:
> [mm]x=a_1[/mm] + [mm]\mu (a_2[/mm] - [mm]a_1)[/mm] + [mm]\nu[/mm] ( [mm]a_3[/mm] - [mm]a_1)[/mm]
> aber mit der def hab ich drei gleichungen mit fünf
> unbekannten also nicht lösbar
>
> die affinen Punkte sind die drei Punkte aus der
> Parameterform
Was sind "affine Punkte"?
Welche drei Punkte meinst Du? In der Parameterform sehe ich einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Kannst Du nicht mal explizit aufschreiben, was du meinst? Schlimmer als falsch kann's ja nicht sein.
Du hast hier drei Gleichungen mit den beiden Unbekannten [mm] \lambda, \mu.
[/mm]
Das [mm] x=(x_1, x_2, x_3) [/mm] kannst Du als fest vorgegeben betrachten. Es ist x zwar beliebig, aber fest, also sind die [mm] x_i [/mm] keine Variablen. Behandle sie beim Rechnen wie irgendwelche festen Zahlen.
Gruß v. Angela
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also mit der affinkombination hab ich dann ja drei gleichungen:
[mm] x_1 [/mm] = 1 + [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = -1 + [mm] \lambda +4\mu
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] +2 [mm] \mu
[/mm]
wenn ich nach [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] auflöse bekomme ich [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] in abhänggkeit von [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] raus.
[mm] \lambda [/mm] = -1 - [mm] x_2 [/mm] - [mm] 2x_3
[/mm]
[mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x_2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x_3
[/mm]
und das dann in die erste gleichung eingesetzt.
dann hab ich für [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x_2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}x_3
[/mm]
Und was mache ich dann?
lg
chrissi
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> also mit der affinkombination hab ich dann ja drei
> gleichungen:
Hallo,
Du arbeitest jetzt mit GreatBritains Punkten?
>
> [mm]x_1[/mm] = 1 + [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = -1 + [mm]\lambda +4\mu[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\lambda[/mm] +2 [mm]\mu[/mm]
>
> wenn ich nach [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] auflöse bekomme ich [mm]\lambda[/mm]
> und [mm]\mu[/mm] in abhänggkeit von [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] raus.
> [mm]\lambda[/mm] = -1 - [mm]x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm]
> [mm]\mu[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}x_2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x_3[/mm]
> und das dann in die erste gleichung eingesetzt.
> dann hab ich für [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x_2[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{2}x_3[/mm]
>
> Und was mache ich dann?
Ich rechne das jetzt nicht nach.
Du weißt dann, daß
x= [mm] a_1 [/mm] + (-1 - [mm]x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm][mm] )\overrightarrow{a_1a_2} [/mm] + ( [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}x_2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x_3[/mm]) [mm] \overrightarrow{a_1a_3} [/mm] ist.
Falls Ihr es als x= [mm] ...a_1 +...a_2 [/mm] + [mm] ...a_3 [/mm] angeben sollt, kannst Du das ja daraus auch erhalten. (Ich kenne Eure Definitionen nicht)
Gruß v. Angela
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hi
habe dieselbe aufgabe.
zur a:
ich habe mir zuerst 3 punkte gesucht, die die gegebene gleichung erfüllen. also:
[mm] $$a_1 [/mm] = (1, -1, 0), [mm] a_2 [/mm] = (2, 0, 1), [mm] a_3 [/mm] = (2, 3, 2)$$
die drei punkte sind affin unabhängig, wenn die verbindungsvektoren [mm] $a_1a_2$ [/mm] bzw [mm] $a_1a_3$ [/mm] linear unabhängig sind. kurz überprüft:
[mm] $$a_1a_2 [/mm] = [mm] \pmat{1 \\ 1 \\1}, \quad a_1a_3 [/mm] = [mm] \pmat [/mm] {1 [mm] \\ [/mm] 4 [mm] \\ [/mm] 2}$$
passt, die beiden vektoren sind linear unabhängig.
zur b.:
hier verstehe ich nicht, was genau mit dem vektor x gemeint ist. ich dachte mir erst, damit sind die koeffizieten meiner gleichung gemeint, also $x = [mm] \pmat{2\\1\\-3}$. [/mm]
das habe ich dann in eine matrix aus meinen [mm] $a_1, a_2, a_3$ [/mm] und rechter seite $x$ gepackt, berechnet und komme auf
[mm] $$26a_1 [/mm] - [mm] 21a_2+9a_3 [/mm] = x$$
gut, das stimmt aber wohl nicht, weil die koeffizieten ja 1 ergeben müssen, was sie bei mir nicht tun ($26-21+9 [mm] \ne [/mm] 1$)
was genau ist also mit dem vektor x gemeint? und wenn ich einen vektor als affinkombination darstellen soll, kann ich das doch grundsätzlich durch lösen des inhomogenen gleichungssystems machen - oder nicht?
Gruß & Dank,
GB
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> hi
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> habe dieselbe aufgabe.
> zur a:
> ich habe mir zuerst 3 punkte gesucht, die die gegebene
> gleichung erfüllen. also:
> [mm]a_1 = (1, -1, 0), a_2 = (2, 0, 1), a_3 = (2, 3, 2)[/mm]
>
> die drei punkte sind affin unabhängig, wenn die
> verbindungsvektoren [mm]a_1a_2[/mm] bzw [mm]a_1a_3[/mm] linear unabhängig
> sind. kurz überprüft:
>
> [mm]a_1a_2 = \pmat{1 \\ 1 \\1}, \quad a_1a_3 = \pmat {1 \\ 4 \\ 2}[/mm]
>
> passt, die beiden vektoren sind linear unabhängig.
Hallo,
genau so geht das.
>
> zur b.:
> hier verstehe ich nicht, was genau mit dem vektor x
> gemeint ist.
Damit ist ein beliebiger Punkt [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] der Ebene A gemeint.
Die Tatsache, daß er der Ebene entstammt, macht, daß die 3. Komponente mithilfe der 1. und 2. ausgedrückt werden kann (bzw. die 2. durch die 1. und 3.)
Und nun würde ich mal sagen, daß Du ihn schreiben sollst als
[mm] (x_1, x_2, x_3)= [/mm] (1, -1, 0) + [mm] \lambda*(1, [/mm] 1, 1) + [mm] \mu*(1,4,2) [/mm] [ [mm] =(1-\lambda-\mu)a_1+\lambda a_2 [/mm] + [mm] \mu a_3, [/mm] und [mm] (1-\lambda-\mu)+\lambda+\mu=1]
[/mm]
Du mußt feststellen, welche łambda, [mm] \mu [/mm] Du wählen mußt (in Abhängigkeit von [mm] x_1, x_2, x_3)
[/mm]
> kann ich
> das doch grundsätzlich durch lösen des inhomogenen
> gleichungssystems machen
Ja.
Gruß v. Angela
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