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trigonometrische_Funktion
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trigonometrische Funktion

Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen


$ \sin(x) $; $ \cos(x) $; $ \tan(x) $


Sinusfunktion:


Bild:sinus.jpg


Kosinusfunktion:


Bild:cosinus.jpg


Schule

Aus der Definition der beiden Funktionen am Einheitskreis liest man ab, dass

  • der Wertebereich beider Funktionen $ \IW = [-1;+1] $ ist;
  • die Sinusfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist: $ \sin(-x) = -\sin (x) $;
  • die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist: $ \cos(-x) = \cos (x) $;
  • beide Funktionen periodisch sind mit einer Periodenlänge von $ 2\cdot{}\pi $:
    • $ \sin (x + k \cdot{} 2\cdot{}\pi) = \sin (x) $ für $ k \in \IZ $
    • $ \cos (x + k \cdot{} 2\cdot{}\pi) = \cos (x) $ für $ k \in \IZ $
  • sich folgende spezielle Funktionswerte als sehr nützlich erweisen:

$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\alpha \text{ im Gradmaß}&0°&30°&45°&60°&90°&180°&270°&360°\\\hline \text{b im Bogenmaß} &0& \bruch{\pi}{6}&\bruch{\pi}{4}&\bruch{\pi}{3}&\bruch{\pi}{2}&\pi&\bruch{3\pi}{2}&2\pi\\\hline\hline \sin \alpha &0& \bruch{1}{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha & \bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}&0&-1&0&1\end{array} $

Dabei gilt für die Umrechnung von Gradmaß ins Bogenmaß: $ \bruch{\alpha}{180°} = \bruch{b}{\pi} $

Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion


Bild:sinus_cosinus.jpg

Vergleicht man die beiden Graphen, so erkennt man, dass die Kosinusfunktion
exakt den Steigungsverlauf der Sinusfunktion widerspiegelt:
An den Extremstellen von $ \sin x $ hat $ \cos x $ die Nullstellen,
die Nullstellen von $ \sin x $ sind zugleich auch ihre Wendepunkte, dort erreicht $ \cos x $ seine Extremwerte.
Analog:
An den Extremstellen von $ \cos x $ hat $ \sin x $ die Nullstellen,
die Nullstellen von $ \cos x $ sind zugleich auch ihre Wendepunkte, dort erreicht $ \sin x $ seine Extremwerte.
Es gilt offenbar:

$ f(x) = \sin (x) \Rightarrow f'(x) = \cos (x) $


$ g(x) = \cos (x) \Rightarrow g'(x) = -\sin (x) $

(Beweis mit Hilfe der Additionstheoreme und dem Grenzwert der Sekantensteigungen)

Die Ableitung der allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion erhält man mit der Kettenregel:

$ f(x) = a \sin (c\cdot{}x) \Rightarrow f'(x) = a\cdot{}c\cdot{}\cos(c\cdot{}x) $


$ g(x) = a \cos (c\cdot{}x) \Rightarrow g'(x) = -a\cdot{}c\cdot{}\sin(c\cdot{}x) $

Stammfunktion der Sinus- und Kosinusfunktion


$ \integral {\sin (x) dx} = - \cos (x) + C $


$ \integral {\cos (x) dx} = \sin (x)  + C $


Bemerkungen.

siehe auch: Additionstheorem


Beispiele.


Beweis.


Universität


Bemerkungen.


Beispiele.


Beweis.



siehe auch: [link]Formelsammlung

siehe auch: Tangensfunktion

Erstellt: Mo 17.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Fr 26.01.2007 um 23:10 von informix
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