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Newton-Verfahren
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Newton-Verfahren

Nullstellenbestimmung nach dem Newton-Verfahren


Schule

Man berechnet die Nullstellen einer Funktion mit der Newton-Methode nach folgender Vorschrift:
zunächst wählt man einen Schätzwert $ x_0 $ als Startwert, zum nächsten Näherungswert gelangt man durch folgende Rechnung:


$ x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x_{n})}{f'(x_{n})} $

Dabei ist die Wahl des Startwertes $ x_0 $ das Diffizile.


Beispiel

$ f(x) = x^{5}-2x^{2}-1 $

Zur Berechnung wird die Ableitung benötigt:

$ f^{'}(x) = 5x^{4}-4x $

Jetzt kann man die konkrete Funktion in die allgemeinen Formel einsetzen:

$ x_{n+1}=x_{n}-\bruch{x_{n}^{5}-2x_{n}^{2}-1}{5x_{n}^{4}-4x_{n}} $

Da die Funktion mit wachsendem x hoch hinaussteigt und bei x=0 horizontal verläuft, bei x=2 > 0 ist, würde ich mal mit $ x_{0}=2 $ beginnen.

Das liefert nacheinander:

$ x_{0}=2 $
$ x_{1}=x_{0}-\bruch{x_{0}^{5}-2x_{0}^{2}-1}{5x_{0}^{4}-4x_{0}}=2-\bruch{2^{5}-2\cdot{}2^{2}-1}{5\cdot{}2^{4}-4\cdot{}2}=2-\bruch{23}{72}=1.68055555555556 $
$ x_{2}=x_{1}-\bruch{x_{1}^{5}-2x_{1}^{2}-1}{5x_{1}^{4}-4x_{1}}=1.47680554899266 $
$ x_{3}=1.38379551632346 $
$ x_{4}=1.36470576335402 $
$ x_{5}=1.36396568383568 $
$ x_{6}=1.36396460210276 $
$ x_{7}=1.36396460210045 $


geometrische Deutung

Anschaulich kann man sich das Newtonverfahren folgendermaßen vorstellen. Man legt im Startpunkt eine Tangente an die Funktion an. Der nächste Punkt ist dann der Schnittpunkt dieser Tangenten mit der x-Achse. In diesem Punkt legt man wieder eine Tangente an die Funktion usw.
Anhand der Funktion $ x+e^x $ sei dies graphisch dargestellt. Die blauen Linien sind die entsprechenden Tangenten. Die Grünen markieren den entsprechenden Iterationspunkt.
{picture file=img/wiki_up//Newton2.jpeg}


Universität


Algorithmus (Newton-Interation)

  • $ f:\IR\to\IR $ stetig differenzierbar
  • f streng monoton (also $ f'(x)\not=0 $ für $ x\in\IR $

iteration:

  • $ x_0\in\IR $ geeignet;
  • $ x_{n+1}:=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)} $, $ n=0,1,2,\ldots $


Algorithmus (Vereinfachtes Newton-Verfahren)

  • $ f:[a,b]\to\IR $ stetig differenzierbar
  • f streng monoton
  • f(a)f(b)<0

Iteration:

  • $ x_0\in[a,b] $ geeignet;
  • $ x_{n+1}:=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_0)} $, $ n=0,1,2,\ldots $


Algorithmus (für zweifache Nullstellen)

  • ?

Iteration:

  • $ x_0\in $ ?
  • $ x_{n+1} := x_{n} - 2 \bruch{f(x_n)}{f'(x_n)} $
Erstellt: Do 25.11.2004 von informix
Letzte Änderung: Mi 30.05.2007 um 11:05 von Marc
Weitere Autoren: mathemaduenn
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