www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Kettenregel
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Kettenregel

Satz Kettenregel


f(x)=g(h(x))


$ \Rightarrow\ f'(x)=h'(x)\cdot{}g'(h(x)) $


("Innere Ableitung mal äußere Ableitung.")


Beispiele:


Beispiel 1: $ f(x) = (2-3x^2)^3 $

Es handelt sich hier um eine verkettete Funktion mit $ h(x) = 2-3x^2 $ sowie $ g(x) = [h(x)]^3 $.

In diesem Fall könnte man die Klammer auch ausmultiplizieren und anschließend herkömmlich ableiten.
Dabei sollte man auf das gleiche Ergebnis kommen wie mit der Kettenregel.
Der Aufwand mit dieser Methode (ausmultiplizieren) wäre aber viel zu groß.
Zudem gibt es viele Funktionen, wo diese Methode nicht möglich ist (siehe Beispiel 2).

Zurück zum Beispiel...

innere Ableitung:
$ h(x) = 2-3x^2 $ $ \Rightarrow $ $ h'(x) = (-3) \cdot{} 2 \cdot{} x^1 = -6x $

äußere Ableitung:
$ g(x) = (...)^3 $ $ \Rightarrow $ $ g'(x) = 3 \cdot{} (...)^2 $
Bei der äußeren Ableitung ist uns zunächst völlig egal, was in der Klammer steht. Wir bilden zunächst ganz "normal" die Ableitung.
Das was in der Klammer steht (hier: $ 2-3x^2 $), berücksichtigen wir erst mit der inneren Ableitung (in der Klammer könnte auch "APFELBAUM" stehen).

Denn nun wenden wir die Kettenregel an:
$ f'(x) = \underbrace{3 \cdot{} (...)^2}_{\mbox{=äussere Abl.}} \cdot{} \underbrace{(-6x)}_{\mbox{=innere Abl.}} = 3 \cdot{} (2-3x^2)^2 \cdot{} (-6x) = -18x \cdot{} (2-3x^2)^2 $


Beispiel 2: $ f(x) = e^{3x} $

Wiederum verkettete Funktion mit h(x) = 3x sowie $ g(x) = e^{h(x)} $.

Der (umständliche) Weg des Ausmultiplizierens funktioniert hier nicht!

innere Ableitung:
h(x) = 3x $ \Rightarrow $ $ h'(x) = 3 $

äußere Ableitung:
$ g(x) = e^{(...)} $ $ \Rightarrow $ $ g'(x) = e^{(...)} $, da $ (e^x)' = e^x $

Kettenregel:
$ f'(x) = \underbrace{e^{(...)}}_{\mbox{=äussere Abl.}} \cdot{} \underbrace{3}_{\mbox{=innere Abl.}} = e^{3x} \cdot{} 3 = 3 \cdot{} e^{3x} $


[link]Kettenregel bei Wikipedia

weitere Regeln: siehe Ableitungsregel

Erstellt: Sa 16.10.2004 von Marc
Letzte Änderung: Di 30.10.2007 um 22:17 von informix
Weitere Autoren: Loddar
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de