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Forum "Real Analysis (Single Variable)" - Reaktion - erwünscht
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Reaktion - erwünscht: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:52 Sa 19/05/2018
Author: Maxi1995

Aufgabe
Um vom (Tunnel-)Eingang bis zur Stelle x + h zu kommen, braucht die Ameise die Zeit t(x + h), bis zur Stelle x benötigt sie die Zeit t(x), also braucht sie, um von der Stelle x bis zur Stelle x + h voranzukommen, die Zeit t(x + h) - t(x).

Was lässt sich über diese Zeitspanne aussagen?

Nun, stellen wir uns h als ein Sandkorn vor. Die Zeitspanne, um dieses Korn zum Tunneleingang zu tragen (und dort in die Tiefe fallen zu lassen), wird von der Weglänge x abhängen. Ist x etwa 2 cm, so wird die Ameise für das Hin­ und Herlaufen doppelt so lange brauchen wie für 1 cm - gleichbleibende Emsigkeit (Geschwindigkeit) vorausgesetzt. Zur doppelten Tunnellänge x gehört also (bei festem kleinen h) der doppelte Zuwachs an Bauzeit. Wir setzen also an:

Zuwachs der Bauzeit an der Stelle x proportional zu x oder

(2) | t(x + h) - t(x) proportional zu x | (h fest)

Man beachte, dass (2) nur bei festgehaltenem h gilt (nur dann hat man ein festes Sandvolumen, das transportiert wird).

Wie steht es, wenn nun bei festgehaltenem x der Zuwachs h variiert? Damit die Änderung von h keinen nennenswerten Einfluss auf die Laufstrecke hat, stellen wir uns vor, dass h nur innerhalb der Greifweite der Ameise variiert, d. h. genügend klein ist. Unter dieser Voraussetzung ist es vernünftig davon auszugehen, dass der Zeitbedarf t(x + h) - t(x) bei festem x proportional ist zum Tunnelvortrieb h. Wir setzen also an:

(3) | t(x + h)-t(x) proportional zu h| (x fest, h klein)

(Um die Berechtigung dieses Ansatzes einzusehen, mache man sich klar, dass eine Verdoppelung von h eine Verdoppelung des wegzuschaffenden Sandvolumens bedeutet, die Ameise denselben Weg x also doppelt so oft laufen muss.)

Die Ableitung kommt ins Spiel

Jetzt gilt es, die Abhängigkeiten (2) und (3) zusammenzuführen. Dazu erinnern wir uns, dass eine Größe, die zu zwei anderen proportional ist, auch zu deren Produkt proportional ist. Also haben wir

|t (x + h) - t(x) proportional zu x h| (für kleine h), d.h.

(4) |t(x + h) - t(x) = kxh| (für jedes x und kleine h).


Hallo,
ich poste bewusst hier, weil ich die fraglichen Punkte auf einem meiner Meinung nach analytisch vertieften Niveau betrachten will.
Es geht mir konkret darum es formal suaber zu zeigen, dass die Proprtionalitäten (2), (3) und (4) gelten. Meine Idee wäre gewesen, die Länge des Tunnels äquidistant mit h anzusetzen und hierdurch die Proportionalitäten bei (2) und (3) zu zeigen, dh. nachzuweisen, dass
für (2) bei h fest und x variabel [mm] $\frac{t(x+h)-t(x)}{x}*\frac{y}{t(y+h)-t(y)}=1$ [/mm] gilt
und für (3) bei x fest und h (klein) variabel [mm] $\frac{t(x+h_1)-t(x)}{h_1}*\frac{h_2}{t(y+h_2)-t(y)}=1$ [/mm] gilt.
Jetzt stehen ja oben schon Argumente, ich würde es gerne aber formal zeigen. Ich stehe jetzt vor dem Problem, dass ich mit dem äquidistanten Ansatz für (2) etwas zeigen konnte, mir aber nicht sicher bin, ob es passt. Bei (3) stehe ich leider ziemlich auf dem Schlauch, weil ich es nicht hinkriege, auf 1 zu kürzen.
Allgemein war meine Idee, die Erkenntnisse zu der Proportionalität auf Basis der äquidistanten Zerlegung auf stetige Abläufe hochzukriegen. In anderen Worten soll $h [mm] \rightarrow [/mm] 0$ gelten, was mich aber vor das Problem stellt, dass dann die Wegstrecke der Ameise gegen unendlich geht. Hat nämlich ein Tunnel die Länge x und ich teile ihn in n Teile, so ist die Länge h dieser Teile [mm] $h=\frac{x}{n}$. [/mm] Lasse ich dieses h jetzt gegen 0 gehen, so gilt $n [mm] \rightarrow \infty$. [/mm] Für die zurückgelegte Wegstrecke s gilt (also alle Hin- und Herbewegungen zum Ausräumen eines Tunnelstückes der Länge x), dass $s(x)=n(n+1)h$. Aber mit unserem h wird s(x) zu $(n+1)x$, in anderen Worten wird die Ameise also niemals fertig.
Grundsätzlich stellt sich also die Frage, wie zeige ich es allgemein? Kennt jemand einen Beweis zu (4)?
Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe, da ich das für eine Prüfung brauche.


        
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Reaktion - erwünscht: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:08 Sa 19/05/2018
Author: leduart

Hallo
ich verstehe deinen Ansatz nicht, die Ameise läuft mit konsanter Geschwindigkeit v den Weg 2x
dann ist 2x=t*v  oder t(x)= 2/v*x  t(x+h)-t(x)=2/v*2h  und sicher nicht proportional zu x . unabhängig davon, wie groß h ist . Anscheinend suchst du eine Differentialgleichung? Aber da die funktion unter deiner Annahme so einfach ist idt wohl die einzige mögliche Dgl dx/dt=v=konst.
Gruß ledum

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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 14:29 Mo 21/05/2018
Author: Maxi1995

Lieber Leduart,
ich danke dir für deine Antwort. Ich kann es leider nicht mehr in einen Fragenartikel umwandeln. Genau, das letzte Ziel ist die Suche nach einer DGL, die uns t liefert. Leider scheint sich aber ein Missverständnis eingeschlichen zu haben, die Zeit t gibt an, wie lange die Ameise für einen Tunnel der Länge x braucht, damit kann man also auch mehrere Wegpassagen haben um etwas zum Tunnelausgang zu tragen. Das t zu dem wir letzten Endes wollen ist eine Funktion 2-ten Grades.

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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 23:06 Do 24/05/2018
Author: leduart

Hallo
ist es nicht richtig, dass x die Länge des Weges der Ameise bedeutet? diesen läuft sie mit fester Geschwindigkeit v, und kann dabei ein Sandkorn tragen? (oder läuft sie auch mit 2 Sk und dann langsamer?)
dann ist immer noch [mm] t(x)=x/v_i; [/mm] ( i= Zahl der getragenen Sk)
jetz kommt offensichtlich die Zeit um ein Sandkorn zu greifen dazu, dann wäre t(x+h)-t(x) =Arbeitszeit
irgendwie verstehe ich deinen Ansatz mit (t(x+h)-t(x) proportional x nicht.
wenn du eine quadratische Funktion vermutest, warum setzt du nicht einfach eine an und bestimmst die Koeffizienten aus deinen Annahmen.
Sandkorn hat die Länge h und Ameise kann h weit greifen? wieviel länger wird der Tunnel bei Wegtransport von 1 oder n Sk?
Gruß leduart

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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 17:25 Mo 18/06/2018
Author: Maxi1995

Hallo Leduart,
es handelt sich hierbei um einen Unterrichtsvorschlag für eine 11. Klasse. Der Vorschlag soll im Rahmen der Differenzialrechnung die Möglichkeit bieten die Vorstellung der Ableitung als momentane Änderungsrate zu vertiefen. Entsprechend wird über die 2 Proportionalität versucht einen Differenzenquotienten zu kriegen, mit dem man dann die Vorstellung der Ableitung aufgreift und zu der Funktion 2. Grades gelangt. Im Endeffekt ist also die Antwort auf deine Frage, warum diese Vorgehensweise verwendet wird, weil es der Unterrichtsvorschlag so vorsieht.
Die Proportionalität zu x habe ich schon, wohingegen die Proportionalität zu h bei (3) wesentlich schwieriger zu finden ist. Im Endeffekt ist die Idee dann zu sagen, dass die Funktion in einer Variablen proportional zu x bzw. h ist und somit proportional zu xh. Dann kann man durch h teilen und erhält einen Differenzenquotienten.

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Reaktion - erwünscht: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:49 Do 24/05/2018
Author: meili

Hallo Maxi,

meiner Ansicht nach gelten (2) und (3) wegen den Vorausetzungen der
Aufgabe, des Ameisenmodells und stehen formal schön genug da.

Daraus wird dann (4) gefolgert. Zum Beweis wird ein Satz sinngemäß zitiert.


Um nun weiter zu einer Funktion t(x) zu kommen, würde ich folgendermaßen vorgehen:

Für h klein, aber h [mm] $\not=0 [/mm] (4) durch h teilen:

[mm] $\bruch{t(x+h)-t(x)}{h} [/mm] = kx$


Linke Seite sieht aus wie der Differenzenquotient der Funktion t(x).
Mit dem Grenzübergang [mm] $\limes_{h\rightarrow 0}$, [/mm] entsteht der Differenzialquotient,
also erhält man die Ableitung (auf der rechten Seite ist
kein h dabei, so ändert sich nichts beim Grenzübergang):

$t'(x) = kx$


Um zu t(x) zukommen, integrieren:

$t(x) = [mm] \bruch{1}{2}kx^2 [/mm] +c$

Wenn t(0)=0 vorausgestzt werden kann, ist c = 0.

Gruß
meili

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Reaktion - erwünscht: Frage (offen)
Status: (Question) without status Status 
Date: 17:43 Mo 18/06/2018
Author: Maxi1995

Hallo Meili,
ich danke dir für deine Antwort. Mein Kommilitone und ich haben versucht das allgemeiner zu zeigen, weil uns die dargebotenen Argumente nicht ausgereicht haben. Wir haben den Ansatz gewählt $d(x,h)=t(x+h)-t(x)$, was mit festem [mm] $x_0$ [/mm] zu [mm] $d(x_0,h)$ [/mm] wird. Offenbar ist für h kleiner der maximalen Traglast der Ameise die Annahme passend, dass sie ohne Verzögerung zugreift und wendet. Mit dieser Annahme erhält man [mm] $d(x_0,h)=2*\text{Zeit zum Ausgang}$, [/mm] gehen wir jetzt über zur physikalischen Arbeit und unterstellen eine pro Zeiteinheit konstante Arbeit $ A _ Z $, so ergibt sich [mm] $d(x_0,h)=2*\text{Zeit zum Ausgang} =\frac{A}{A_Z} [/mm] $, was man weiter unter Verwendung von $A = [mm] F*x_o$ [/mm] sowie F = m*a umformen konnte (insbesondere ist die Masse proportional zu h vermittelst der Formel m=„Tunnelquerschnitt“*h).

Man erhält abschließend:

[mm] $d(x_0,h)=\frac{a*x_0*\text{Tunnelquerschnitt}}{A_Z}*h$. [/mm]

Geht man von vereinfachenden Annahmen aus, so kann man den 1. Teil als konstant annehmen. Allerdings bereitete uns a Kopfzerbrechen, weil bei einer konstanten Geschwindigkeit die Beschleunigung ja 0 ist. Dementsprechend könnten wir mit diesem Ansatz höchstens für eine sehr kleine konstante Beschleunigung [mm] $\epsilon>0 [/mm] $ eine Aussage treffen.
Wie würdest du diesen Ansatz einschätzen und siehst du eventuell einen Weg, der diese Zusatzannahme der konstanten Beschleunigung umgehen würde?

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