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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - quadratische Matrizen Gruppe
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quadratische Matrizen Gruppe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 Di 25.10.2016
Autor: nightsusi

Aufgabe
[mm] (M_n(\IC),*) [/mm] sei die Menge der [mm] n\times [/mm] n-Matrizen mit Multiplikation als Verknüpfung.
Ist [mm] (M_n(\IC),*) [/mm] eine Gruppe? Beweisen Sie Ihre Aussage.

Guten Morgen, ich habe ein kleines Problem bei obiger Aufgabe und vielleicht könnt Ihr mir da helfen. DANKE schon mal im Voraus.

Um zzg., dass [mm] (M_n(\IC),*) [/mm] eine Gruppe bildet muss ich folgendes zeigen:
i) Abgeschlossenheit, also [mm] A,B\in (M_n(\IC),*), [/mm] dann auch [mm] (A*B)\in (M_n(\IC),*) [/mm]
ii) Assoziativität, d.h. A,B,C [mm] \in (M_n(\IC),*), [/mm] dann gilt (A*B)*C=A*(B*C)
iii) neutrales Element, d.h. es existiert ein [mm] I\in (M_n(\IC),*) [/mm] mit A*I=I*A=A
iv) inverses Element, d.h. es existiert ein [mm] A^{-1}\in (M_n(\IC),*) [/mm] mit [mm] A*A^{-1}=A^{-1}*A=I [/mm]

Meines erachtens nach scheitert es an iv), da das inverse einer Matrix nur dann exsistiert, wenn deren Determinante [mm] \not= [/mm] 0 ist. Was ich aber hier nicht in allgmeiene sagen kann.

Ist die Argumentation so okay, oder hab ich was übersehen.

Liebe Grüße Susi

        
Bezug
quadratische Matrizen Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Di 25.10.2016
Autor: fred97


> [mm](M_n(\IC),*)[/mm] sei die Menge der [mm]n\times[/mm] n-Matrizen mit
> Multiplikation als Verknüpfung.
> Ist [mm](M_n(\IC),*)[/mm] eine Gruppe? Beweisen Sie Ihre Aussage.
>  Guten Morgen, ich habe ein kleines Problem bei obiger
> Aufgabe und vielleicht könnt Ihr mir da helfen. DANKE
> schon mal im Voraus.
>  
> Um zzg., dass [mm](M_n(\IC),*)[/mm] eine Gruppe bildet muss ich
> folgendes zeigen:
>  i) Abgeschlossenheit, also [mm]A,B\in (M_n(\IC),*),[/mm] dann auch
> [mm](A*B)\in (M_n(\IC),*)[/mm]
>  ii) Assoziativität, d.h. A,B,C [mm]\in (M_n(\IC),*),[/mm]
> dann gilt (A*B)*C=A*(B*C)
>  iii) neutrales Element, d.h. es existiert ein [mm]I\in (M_n(\IC),*)[/mm]
> mit A*I=I*A=A
>  iv) inverses Element, d.h. es existiert ein [mm]A^{-1}\in (M_n(\IC),*)[/mm]
> mit [mm]A*A^{-1}=A^{-1}*A=I[/mm]
>  
> Meines erachtens nach scheitert es an iv), da das inverse
> einer Matrix nur dann exsistiert, wenn deren Determinante
> [mm]\not=[/mm] 0 ist. Was ich aber hier nicht in allgmeiene sagen
> kann.
>  
> Ist die Argumentation so okay,


Ja

> oder hab ich was
> übersehen.

Nein

FRED

>  
> Liebe Grüße Susi


Bezug
        
Bezug
quadratische Matrizen Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Di 25.10.2016
Autor: tobit09

Hallo zusammen!

Nur im Falle n=0 liegt eine Gruppe vor.
Für $n>0$ ist die 0-Matrix ein Beispiel für ein Element von [mm] $M_n(\IC)$, [/mm] das kein multiplikativ Inverses besitzt.

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
quadratische Matrizen Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:53 Di 25.10.2016
Autor: fred97


> Hallo zusammen!
>  
> Nur im Falle n=0 liegt eine Gruppe vor.

Hallo Tobias,

was für Objekte sind denn in [mm] M_0(\IC) [/mm] ???




>  Für [mm]n>0[/mm] ist die 0-Matrix ein Beispiel für ein Element
> von [mm]M_n(\IC)[/mm], das kein multiplikativ Inverses besitzt.
>  
> Viele Grüße
>  Tobias


Bezug
                        
Bezug
quadratische Matrizen Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Di 25.10.2016
Autor: tobit09

Hi Fred!


> was für Objekte sind denn in [mm]M_0(\IC)[/mm] ???

Genau eines, nämlich die eindeutig bestimmte [mm] $0\times [/mm] 0$-Matrix.


Vermutlich willst du per Definitionem [mm] $M_0(\IC)$ [/mm] verbieten?
Das halte ich nicht für sinnvoll.

Erstes Argument: Warum soll man eine Definition künstlich einschränken, wenn sie genauso gut auch ohne diese Einschränkung funktioniert?

Zweites Argument: Zentrale Motivation zur Einführung von Matrizen ist die Repräsentation linearer Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen.Wenn man nun nur [mm] $n\times [/mm] m$-Matrizen für [mm] $n,m\ge [/mm] 1$ zulässt, muss man ständig mitdenken: Die Repräsentation linearer Abbildungen endlich-dimensionaler Vektorräume durch Matrizen funktioniert nur, wenn die beteiligten Vektorräume Dimensionen $>0$ besitzen. Alle gewonnenen Erkenntnisse sind dann nur auf solche Vektorräume anwendbar. Das führt zu eigentlich völlig überflüssigen Fallunterscheidungen.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
quadratische Matrizen Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:56 Di 25.10.2016
Autor: fred97


> Hi Fred!
>  
>
> > was für Objekte sind denn in [mm]M_0(\IC)[/mm] ???
>  Genau eines, nämlich die eindeutig bestimmte [mm]0\times 0[/mm]-Matrix.
>  
>

Hallo Tobias,


> Vermutlich willst du per Definitionem [mm]M_0(\IC)[/mm] verbieten?

Nö, will ich nicht.

Gruß FRED


>  Das halte ich nicht für sinnvoll.
>  
> Erstes Argument: Warum soll man eine Definition künstlich
> einschränken, wenn sie genauso gut auch ohne diese
> Einschränkung funktioniert?
>  
> Zweites Argument: Zentrale Motivation zur Einführung von
> Matrizen ist die Repräsentation linearer Abbildungen
> zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen.Wenn man nun
> nur [mm]n\times m[/mm]-Matrizen für [mm]n,m\ge 1[/mm] zulässt, muss man
> ständig mitdenken: Die Repräsentation linearer
> Abbildungen endlich-dimensionaler Vektorräume durch
> Matrizen funktioniert nur, wenn die beteiligten
> Vektorräume Dimensionen [mm]>0[/mm] besitzen. Alle gewonnenen
> Erkenntnisse sind dann nur auf solche Vektorräume
> anwendbar. Das führt zu eigentlich völlig überflüssigen
> Fallunterscheidungen.
>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias


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